FANDOM


Figura- dreapta lui Euler

Teoremă. Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC, G centrul de greutate şi H ortocentrul triunghiului. Punctele H, G şi O se găsesc pe o dreaptă (dreapta lui Euler) şi avem: $ HG = 2 GO. \! $


Demonstraţie. Se cunoaşte că $ GA'=\frac 1 2 GA. \! $ Această proprietate a centrului de greutate ne sugerează ideea utilizării omotetiei $ H_{G, - \frac 1 2} , \! $ prin care punctul A se transformă în punctul

Deoarece prin omotetie, o dreaptă care nu trece prin centru omotetiei se transformă într-o dreaptă paralelă cu ea, înseamnă că înălţimea AH se transformă în mediatoarea segmentului BC. Analog, înălţimea BH se transformă în mediatoarea laturii AC. Prin urmare, punctul H, intersecţia înălţimilor, se transformă în punctul O, intersecţia mediatoarelor.

De aici se deduc două proprietăţi:

a) Punctele H, G şi $ O= h_{G, -\frac 1 2}(H) \! $ sunt coliniare. (definiţia omotetiei)

b) $ GO= \left | -\frac 1 2 \right | \cdot GH \; \Leftrightarrow \; HG=2 GO. \! $

Resurse Edit


Euler thumb portrait
Leonhard Euler
  • Dreapta lui Euler‎‎Cercul lui EulerEcuația Cauchy–EulerNumărul lui EulerConstanta lui EulerCaracteristica EulerTeorema lui Euler (geometrie)Teorema lui Euler (teoria numerelor)Funcția lui EulerFormula lui EulerFormula lui Euler (mecanică)Metoda EulerIntegrala Euler-PoissonFormula Euler-MaclaurinProdusul lui EulerIntegrală EulerUnghiurile lui EulerInegalitatea lui EulerRelația lui Euler pentru patrulatere