FANDOM


Dreapta Newton-Gauss

Teoremă. Mijloacele diagonalelor unui patrulater circumscriptibil şi centru cercului înscris sunt situate pe aceeaşi dreaptă (numită dreapta lui Newton-Gauss).


Demonstraţie: Considerăm că originea sistemului de axe de coordonate ortogonale coincide cu centrul al cercului înscris în patrulaterul ABCD, notat I, iar raza acestui cerc se consideră că este egală cu unitatea.

Fie $ M \in AB, \; N \in BC, \; P \in CD \! $ şi $ Q \in DA, \! $ punctele de tangenţă ale patrulaterului ABCD cu cercul înscris. Notăm cu $ a, b, c, d \! $ afixele vârfurilor patrulaterului ABCD şi cu $ m, n, p, q \! $ afixele punctelor de tangenţă. Aşadar, $ |m|=|n|=|p|=|q|=1. \! $

Deoarece $ IP \perp DP, \! $ rezultă că:

$ (p-0) \circ (p-d) =0 \! $

şi având în vedere definiţia produsului real al numerelor complexe rezultă că:

$ \bar p (p-0) + p(\bar p -\bar d) =0 \! $

sau

$ \bar p d + p \bar d=2 \! $   (1)

În mod similar, din $ IQ \perp DQ \! $ se ajunge la:

$ \bar q d + q \bar d=2 \! $   (2)

Relaţiile (1) şi (2) permit exprimarea numărului d astfel:

$ d= \frac{2pq}{p+q}. \! $

În mod analog, se obţin egalităţile:

$ a= \frac{2qm}{q+m} \;\; b= \frac{2mn}{m+n} \; \; c=\frac{2np}{n+p}. \! $

Afixele punctelor E şi F, mijloacele diagonalelor [AC], respectiv [BD], se exprimă astfel:

$ e= \frac{a+c}{2} = \frac{mnq+mpq+mnp+npq}{(m+q)(n+p)} = \frac{x}{(m+n)(p+q)} \! $

şi

$ f= \frac{b+d}{2} = \frac{mnp+mnq+mpq+npq}{(m+n)(p+q)} = \frac{x}{(m+q)(p+q)}. \! $

Dar punctele $ E(e) \! $ şi $ F(f) \! $, distincte şi diferite de $ I(i) \! $ sunt coliniare dacă şi numai dacă $ e \times f =0 \! $ (unde prin "$ \times \! $" s-a notat produsul complex al numerelor e şi f). Utilizând definiţia produsului complex, avem:

$ e \times f = \frac 1 2 (\bar e f - e \bar f) = \! $
$ = \frac 1 2 \left [ \frac{|x|^2}{(\bar m + \bar q)(\bar p + \bar q)(m+n)(p+q)} - \frac{|x|^2}{(m+q)(p+q)(\bar m + \bar n)(\bar p + \bar q)} \right ] = 0. \! $

Deci punctele $ E, I, F \! $ sunt coliniare.

Altă demonstraţie Edit

Dreapta Newton-Gauss

Considerăm patrulaterul complet de dreptele $ AA', BB', CC' \! $ şi fie $ \alpha, \beta, \gamma \! $ mijloacele diagonalelor $ [AA'], [BB'], [CC']. \! $ Dacă $ a, b, c \! $ sunt mijloacele segmentelor $ [BC], [CA], [AB], \! $ observăm că $ \alpha, b, c \! $ sunt coliniare deoarece $ \alpha c \! $ este linie mijlocie în triunghiul $ ABA', \! $ iar $ \alpha b \! $ în $ ACA'. \! $ La fel se raţionează pentru tripletele $ \beta, c, a \! $ şi $ \gamma, a, b. \! $

Se aplică reciproca teoremei lui Menelaus pentru triunghiul $ abc \! $ şi tripletul $ \alpha, \beta, \gamma. \! $

Resurse Edit