Wikia

Math Wiki

Divizibilitate

Comments16
1.005pages on
this wiki

Definiţii Edit

Considerăm două numere naturale a şi b. Spunem că a divide b şi scriem a | b \! dacă există un număr natural c astfel încât b = a \cdot c. \!

În acest caz, a se numeşte divizor al lui b.

Este evident că orice număr n >1 \! are cel puţin doi divizori: pe 1 şi pe el însuşi. Prin divizor propriu al lui n înţelegem un divizor diferit de numărul n, iar prin divizor netrivial al lui n, un divizor diferit de 1 şi n.

Relaţia | definită pe \mathbb N \! este o relaţie de divizibilitate pe \mathbb N. \! Se arată uşor că aceasta este o relaţie de ordine pe \mathbb N. \!

Teoremă Edit

Orice număr natural, mai mare decât 1, are un divizor prim.

Demonstraţie.

Presupunem prin reducere la absurd că există un număr n>1 \! care nu are divizori primi. Notăm cu \mathcal S mulţimea acestor numere pe care deci am presupus-o nevidă şi cum \mathbb N \! este bine ordonată, există un cel mai mic element în \mathcal S pe care îl notăm n_0 \!. Atunci n_0 \! este număr compus, deci există a, b \in \mathbb N \!, cu 1< a, b < n_0 \! şi n_0 = ab. \!

Pentru a nu contrazice alegerea lui n_0 \!, avem a \notin \mathcal S, adică a are un divizor prim care va fi un divizor şi pentru n_0 \!, ceea ce contrazice faptul că n_0 \in \mathcal S. \!

Relaţia de divizibilitate pe mulţimea numerelor întregi Edit

Ca şi pe mulţimea \mathbb N, \! divizibilitatea pe \mathbb Z \! este reflexivă şi tranzitivă, dar nu mai este antisimetrică. Astfel dacă a \in \mathbb N, avem a | (-a) \! dar şi -a |a. \!

Criterii de divizibilitate Edit

  • Criteriul de divizibilitate cu 2.

Un nr. este divizibil cu 2 daca ultima sa cifra este para. Nr. care sunt divizibile cu 2 se numesc nr.pare.

  • Criteriul de divizibilitate cu 5

Un nr. este divizibil cu 5 daca ultima sa cifra este 0 sau 5.

  • Criteriul de divizibilitate cu 4

Un nr.este divizibil cu 4,daca nr.format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 4.

  • Criteriul de divizibilitate cu 8

Un nr.este divizibil cu 8,atunci cand nr. format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 8.

  • Criteriul de divizibilitate cu 25

Un nr. este divizibil cu 25,daca nr. format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 25 , adica daca ultimele sale 2 cifre sunt:00;25;50; 75.

  • Criteriul de divizibilitate cu 125

Un nr. este divizibil vu 125,daca nr.format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 125.

  • Criteriul de divizibilitate cu o putere a lui 10

Un nr. este divizibil cu o putere a lui 10,daca ultimele sale n cifre sunt zerouri.

  • Criteriul de divizibilitate cu 3

Un nr.este divizibil cu 3,daca suma cifrelor sale este un nr.divizibil cu 3.

  • Criteriul de divizibilitate cu 9

Un nr.este divizibil cu 9,daca suma cifrelor sale este divizibila cu 9.

  • Criteriul de divizibilitate cu 6

Un nr. este divizibil cu 6,daca este divizibil cu 2 si cu 3.

  • Criteriul de divizibilitate cu 15

Un nr. este divizibil cu 15,daca este divizibil cu 5 si cu 3.

  • Criteriul de divizibilitate cu 11

Un nr. este divizibil cu 11,daca diferenta dintre suma cifrelor situate pe locurile impare si suma cifrelor situate pe locurile pare este un nr. divizibil cu 11.

  • Criterii de divizibilitate cu 7, 11, 13

Un numar este divizibil cu 7, 11, 13 daca diferenta dintre numarul format din ultimele 3 cifre ale numarului dat si cel ramas este divizibila cu 7, 11, 13.

Criterii de divizibilitate cu 7 Edit

  Inmultiti prima cifra din stanga a numarului cu 3 apoi la rezultat adunati urmatoarea cifra ,rezultatul il inmultit cu 3 apoi adunati urmatoarea cifra...pa fiecare operatie se scade 7 sau un multiplu de 7 si asa mai departe pana la ultima cifra pe care o adunam rezultatului.daca nr obtinut se divide cu 7 atunci si nr nostru se divide cu 7 .Pentru simplificare dupa fiecare operatie scadem 7 sau un multiplu de 7.

CRITERIUL NR 1 Se scrie numarul in baza 10 folosind puterile lui 10, se înlocuieste numarul10 cu 3si se fac calculele; Daca rezultatul obtinut se divide cu 7,atunci si numarul initial se divide cu 7. Exemplu: fie numarul 5285; in baza 10 se scrie: 5.10 +2.10 +8.10+5 si prin înlocuirea bazei 10 cu 3 se obtine 5.3 +2.3 +8.3+5 = 182 7.deci 5285 7.

CRITERIUL NR 2 ( o varianta a primei reguli) Se înmulteste prima cifra din stânga cu 3 si se aduna cu cifra urmatoare;rezultatul se înmulteste cu 3 si se aduna cifra urmatoare s.a.m.d. pâna la ultima cifra. Pentru simplificarea rezultatului se admite ca dupa fiecare operatie sa se scada ,din rezultatul obtinut 7 sau multiplu de 7. Exemplu: fie numarul 5285; operatiile sunt urmatoarele: 5. 3 =15 , 15+2=17,dar 17=7.2+3;se renunta la 7.2 si se continua 3.3+8=17,17=7.2+3; 3.3+5=14 7

CRITERIUL NR 3 Vom proceda ca la regula precedenta dar vom începe înmultirea de la cifra unitatilor cu 5 de aceasta data:sa exemplificam pentru numarul 48902 2.5=10=7.1+3; (3+0).5=15=7.2+1; (1+9).5 =50 =7.7+1;( 1+8).5=45 =7.6+3, 3+4 =7,deci numarul 48902 7

CRITERIUL NR 4 Se dubleaza cifra unitatilor si se scade din rezultat cifra zecilor; din nou se dubleaza rezultatul apoi se aduna cu cifra sutelor;procedeul se continua alternând scaderea cu adunarea,Acolo unde este posibil rezultatul se poate micsora cu un multiplu al lui 7. Exemplu ;fie numarul 5943 3.2= 6 , 6- 4=2, 2 .2 =4, 4+9 =13, 13= 7+6 , 6.2 =12, 12-5 =7,deci numarul 5943 7 .

CRITERIUL NR 5 Este o regula comuna a divizibilitatii cu 7, 11, 13. Se imparte numarul in clase: clasa unitatilor, clasa miilor, clasa milioanelor,etc. Daca diferenta sumelor grupelor numarului dat ,adunate din 2 în 2, se divide cu 7,cu 11 sau cu13, atunci numarul se divide cu 7, 11 sau13. Exemplu: aplicam regula pentru numarul 55285783 (783+55) –285 =553 este divizibil cu 7

CRITERIUL NR 6 Este o regula comuna a divizibilitatii cu 7, cu 3 sau cu 19. Se dau deoparte ultimile doua cifre ale numarului , iar la numarul ramas se aduna numarul format din cele doua cifre date deoparte înmultit cu 4; daca e necesar se repeta procedeulpânase obtine un rezultat a carui divizibilitate cu 3, cu 7 cu 19 este evidenta. Exemplu: fie numarul 134064 64.4 = 256, 1340+256 = 1596; repetam regula;96.4 =384, 15+384 = 399 numarul 399 se divide cu 7 si cu 3

CRITERIU NR 7 Numarul natural N se divide cu 7 ( cu 11 si cu 13) daca si numai daca diferenta nenegativa dintre cele doua numere obtinute din numarul natural dat prin taierea lui in doua, astfel ca la dreapta sa ramâna trei cifre, se divide cu 7 ( cu 11 sau 13). Daca numarul are mai mullt de 6 cifre,impartim de la dreapta la stânga numarul in grupe de câte trei cifre .Daca diferenta dintre suma numerelor exprimate pringrupe de rang par si suma grupelor de rang impar se divide cu7, 11, 13, numarul dat se divide cu 7, 11, 13.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Numere
Complexe \mathbb{C}
Reale \mathbb{R}
Raţionale \mathbb{Q}
Întregi \mathbb{Z}
Naturale \mathbb{N}
Unu
Prime
Compuse
Zero
Negative
Fracţionare
Fracţie proprie
Fracţie improprie
Iraţionale
Algebrice iraţionale
Transcendente
Imaginare

Around Wikia's network

Random Wiki