FANDOM


Point-Plane Distance

Varianta I Edit

Dacă ecuaţia planului este:

$ ax+by+cz+d=0, \! $

punctul fiind $ \mathbf x_0 = (x_0, y_0, z_0) \! $ iar normala la plan fiind:

$ \mathbf v = \begin{bmatrix} a \\b \\ c \end{bmatrix}, \! $

atunci vectorul curent dus de la punct la plan este:

$ \mathbf w = \begin{bmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \\ z-z_0 \end{bmatrix}. \! $

Proiectând $ \mathbf w \! $ pe $ \mathbf v \! $ obţinem distanţa de la punct la plan:

$ D = |pr_v w| = \frac{\mathbf v \cdot \mathbf w}{|\mathbf v|} = \frac{|a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0)|}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} = \! $
$ = \frac{|ax+by+cz-ax_0-by_0-cz_0|}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} = \frac {|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} \! $

Eliminând valoarea absolută, obţinem distanţa înzestrată cu semn:

$ D =\frac {ax_0+by_0+cz_0+d}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} \! $

care este pozitivă dacă punctul $ \mathbf x_0 \! $ se află de aceeaşi parte a planului ca şi normala $ \mathbf v. \! $

Varianta II Edit

Distanţa de le un punct $ M_0 \! $ la un plan $ (\Pi) \; Ax+By+Cz+D=0 \! $ este dată de distanţa dintre punctul $ M_0 (x_0, y_0, z_0) \! $ şi punctul $ M' (x', y', z'), \! $ proiecţia ortogonală a acestuia pe planul $ \pi. \! $

Determinăm coordonatele$ (x', y', z') \! $ ale punctului $ M' \! $ rezolvând sistemul format de ecuaţia planului şi ecuaţiile dreptei prin punctul $ M_0 \! $ ortogonală pe plan, adică:

$ \begin{cases} Ax+By+Cz+D=0 \\ x=x_0+ \lambda A \\ y=y_0+ \lambda B \\ z=z_0+\lambda C \end{cases} \! $


Parametrul pe dreaptă corespunzător punctului $ M', \! $ notat cu $ \lambda', \! $ este dat de:

$ \lambda'=-\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2} \! $ şi obţinem:
$ \delta (M_0, M') = \sqrt{(x'-x_0)^2+(y'-y_0)^2+(z'-z_0)^2} = \! $
$ = \sqrt{A^2 \lambda'^2+B^2 \lambda'^2+C^2 \lambda'^2} = |\lambda'| \sqrt{A^2+B^2+C^2} \! $

iar distanţa de la punctul $ M_0 \! $ la planul $ \pi \! $ este dată de:

$ \delta(M_0, \pi) = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \! $


Observaţie: Distanţa de la un punct $ M_0 \! $ la un plan $ \pi \! $ se obţine luând modulul expresiei obţinute prin înlocuirea coordonatelor punctului dat în membrul stâng al ecuaţiei normalizate a planului.

Vezi şi Edit


Resurse Edit