Fandom

Math Wiki

Distanța de la un punct la un plan

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Point-Plane Distance.gif

Varianta I Edit

Dacă ecuaţia planului este:

ax+by+cz+d=0, \!

punctul fiind \mathbf x_0 = (x_0, y_0, z_0) \! iar normala la plan fiind:

\mathbf v = \begin{bmatrix} a \\b \\ c  \end{bmatrix}, \!

atunci vectorul curent dus de la punct la plan este:

\mathbf w = \begin{bmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \\ z-z_0  \end{bmatrix}. \!

Proiectând \mathbf w \! pe \mathbf v \! obţinem distanţa de la punct la plan:

D = |pr_v w| = \frac{\mathbf v \cdot \mathbf w}{|\mathbf v|} = \frac{|a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0)|}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} = \!
= \frac{|ax+by+cz-ax_0-by_0-cz_0|}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} = \frac {|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} \!

Eliminând valoarea absolută, obţinem distanţa înzestrată cu semn:

D =\frac {ax_0+by_0+cz_0+d}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}}  \!

care este pozitivă dacă punctul \mathbf x_0 \! se află de aceeaşi parte a planului ca şi normala \mathbf v. \!

Varianta II Edit

Distanţa de le un punct M_0 \! la un plan (\Pi) \; Ax+By+Cz+D=0 \! este dată de distanţa dintre punctul M_0 (x_0, y_0, z_0) \! şi punctul M' (x', y', z'), \! proiecţia ortogonală a acestuia pe planul \pi. \!

Determinăm coordonatele(x', y', z') \! ale punctului M' \! rezolvând sistemul format de ecuaţia planului şi ecuaţiile dreptei prin punctul M_0 \! ortogonală pe plan, adică:

\begin{cases} Ax+By+Cz+D=0 \\ x=x_0+ \lambda A \\ y=y_0+ \lambda B \\ z=z_0+\lambda C \end{cases} \!


Parametrul pe dreaptă corespunzător punctului M',  \! notat cu \lambda', \! este dat de:

\lambda'=-\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2} \! şi obţinem:
\delta (M_0, M') = \sqrt{(x'-x_0)^2+(y'-y_0)^2+(z'-z_0)^2} = \!
= \sqrt{A^2 \lambda'^2+B^2 \lambda'^2+C^2 \lambda'^2} = |\lambda'| \sqrt{A^2+B^2+C^2} \!

iar distanţa de la punctul M_0 \! la planul \pi \! este dată de:

\delta(M_0, \pi) = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \!


Observaţie: Distanţa de la un punct M_0 \! la un plan \pi \! se obţine luând modulul expresiei obţinute prin înlocuirea coordonatelor punctului dat în membrul stâng al ecuaţiei normalizate a planului.

Vezi şi Edit


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki