Fandom

Math Wiki

Distanța de la un punct la un plan

1.032pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share
Point-Plane Distance.gif

Varianta I Edit

Dacă ecuaţia planului este:

ax+by+cz+d=0, \!

punctul fiind \mathbf x_0 = (x_0, y_0, z_0) \! iar normala la plan fiind:

\mathbf v = \begin{bmatrix} a \\b \\ c  \end{bmatrix}, \!

atunci vectorul curent dus de la punct la plan este:

\mathbf w = \begin{bmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \\ z-z_0  \end{bmatrix}. \!

Proiectând \mathbf w \! pe \mathbf v \! obţinem distanţa de la punct la plan:

D = |pr_v w| = \frac{\mathbf v \cdot \mathbf w}{|\mathbf v|} = \frac{|a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0)|}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} = \!
= \frac{|ax+by+cz-ax_0-by_0-cz_0|}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} = \frac {|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} \!

Eliminând valoarea absolută, obţinem distanţa înzestrată cu semn:

D =\frac {ax_0+by_0+cz_0+d}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}}  \!

care este pozitivă dacă punctul \mathbf x_0 \! se află de aceeaşi parte a planului ca şi normala \mathbf v. \!

Varianta II Edit

Distanţa de le un punct M_0 \! la un plan (\Pi) \; Ax+By+Cz+D=0 \! este dată de distanţa dintre punctul M_0 (x_0, y_0, z_0) \! şi punctul M' (x', y', z'), \! proiecţia ortogonală a acestuia pe planul \pi. \!

Determinăm coordonatele(x', y', z') \! ale punctului M' \! rezolvând sistemul format de ecuaţia planului şi ecuaţiile dreptei prin punctul M_0 \! ortogonală pe plan, adică:

\begin{cases} Ax+By+Cz+D=0 \\ x=x_0+ \lambda A \\ y=y_0+ \lambda B \\ z=z_0+\lambda C \end{cases} \!


Parametrul pe dreaptă corespunzător punctului M',  \! notat cu \lambda', \! este dat de:

\lambda'=-\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2} \! şi obţinem:
\delta (M_0, M') = \sqrt{(x'-x_0)^2+(y'-y_0)^2+(z'-z_0)^2} = \!
= \sqrt{A^2 \lambda'^2+B^2 \lambda'^2+C^2 \lambda'^2} = |\lambda'| \sqrt{A^2+B^2+C^2} \!

iar distanţa de la punctul M_0 \! la planul \pi \! este dată de:

\delta(M_0, \pi) = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \!


Observaţie: Distanţa de la un punct M_0 \! la un plan \pi \! se obţine luând modulul expresiei obţinute prin înlocuirea coordonatelor punctului dat în membrul stâng al ecuaţiei normalizate a planului.

Vezi şi Edit


Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki