Fandom

Math Wiki

Distanță

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Distanţa în ℝn Edit

Definiţie. Fie punctele \mathbf x = (x_1, x_2, \cdots , x_n) \! şi \mathbf y=(y_1, y_2, \cdots , y_n) \! în \mathbb R^n. \! Definim distanţa dintre acestea ca fiind:

|\mathbf x - \mathbf y| = \left ( \sum_{k=1}^n |x_k - y_k|^2  \right )^{1/2}. \!


Definim bila deschisă de centru \mathbf a \! şi rază r ca fiind:

B(\mathbf a, r) = \{ \mathbf x \in \mathbb R^n : | \; |\mathbf x - \mathbf a| < r \}. \!

Aceasta conţine toate punctele din \mathbb R^n \! a căror distanţă până la \mathbf a \! este mai mică decât r.


Lema următoare este o formă a inegalităţii Cauchy-Buniakovski-Schwarz:


Lemă. Fie punctele \mathbf x = (x_1, x_2, \cdots , x_n) \! şi \mathbf y=(y_1, y_2, \cdots , y_n) \! în \mathbb R^n. \! Atunci:

\left | \sum_{i=1}^n x_i y_i \right | \le |x| |y|. \!

Demonstraţie Luăm un \theta = \pm 1 . \! Atunci:

\theta \sum_{i=1}^n x_i y_i = \sum_{i=1}^n x_i (\theta y_i) = \left | \sum_{i=1}^n x_i y_i \right |  \!

şi să considerăm p(t) = \sum_{i=1}^n (x_i+ t \theta y_i)^2. \! Atunci pentru orice t \in \mathbb R, \!

0 \le p(t) = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2t \sum_{i=1}^n x_i \theta y_i + t^2 \sum_{i=1}^n y_i^2 =  \!
= |\mathbf x|^2 + 2t \sum_{i=1}^n x_i \theta y_i + t^2 |\mathbf y|^2 \!

Să presupunem |\mathbf y| \neq 0. \! (În caz contrar, inegalitatea de demonstrat e evidentă). Atunci p(t) este o funcție polinomială al cărei grafic ţine apa. Deci fie nu are zerouri, fie are două sau unul care se repetă. Dacă ar avea două zerouri, inegalitatea de demonstrat este contrazisă. Înseamnă că admite cel mult un zero, deci:

4 \left ( \sum_{i=1}^n x_i \theta y_i \right )^2  - 4 |\mathbf x|^2 |\mathbf y|^2 \le 0. \!

deci:

\sum_{i=1}^n x_i \theta y_i = \left | \sum_{i=1}^n x_iy_i \right | \le |\mathbf x| |\mathbf y|  \!

şi inegalitatea este dovedită.


Observaţie. Pentru orice \mathbf x, \mathbf y \in \mathbb R^n \! avem proprietăţile evidente:

|\mathbf x - \mathbf y| = |\mathbf y - \mathbf x| \!
|\mathbf x - \mathbf y| \le 0, \! cu egalitate dacă şi numai dacă \mathbf x = \mathbf y. \!

A treia proprietate fundamentală a distanţei se numeşte inegalitatea triunghiului:

Într-un triunghi, suma lungimilor a două laturi este mai mare sau egală cu lungimea celei de-a treia.


Corolar. Fie \mathbf x, \mathbf y \in \mathbb R^n. \! Atunci:

|\mathbf x + \mathbf y| \le |\mathbf x| + |\mathbf y|. \!

Demonstraţie. Utilizând inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz, deducem:

|\mathbf x + \mathbf y|^2 = \sum_{i=1}^n (x_i + y_i)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 +2 \sum_{i=1}^n x_i y_i + \sum_{i=1}^n y_i^2 \le \!
\le |\mathbf x|^2 + 2 |\mathbf x| |\mathbf y| + |\mathbf y|^2 = (|\mathbf x| + |\mathbf y|)^2. \!

Extragem rădăcina pătrată din ambii membri.

Aplicaţie Edit

Folosind formula lungimii unui arc de curbă şi ecuațiile parametrice ale unei drepte în spațiu, să se obţină formula distanţei dintre două puncte în spaţiu.

Soluţie. Fie punctele distincte M_1(x_1, y_1, z_1), M_2(x_2, y_2, z_2) \! şi d dreapta care le uneşte. Ecuaţia lui d este:

\bar r(t) = \left ( x_1 + t(x_2-x_1), \; y_1 +t(y_2-y_1), \; z_1 +t(z_2-z_1) \right ). \!

Punctul M_1 \! corespunde lui t=0 \! iar punctul M_2 \! lui t=1 deci:

d(M_1, M_2) = \int_0^1 \| \bar r' (t) \| dt = \int_0^1 \sqrt {(x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2 +(z_2-z_1)^2} dt= \!
= \sqrt {(x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2 +(z_2-z_1)^2}. \!

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki