FANDOM


Diferenţiala implicită este diferenţiala aplicată unei ecuaţii implicite luând în considerare una din variabile, celelalate fiind considerate ca funcţii de prima.

Exemple Edit

1. Considerăm ecuaţia implicită:

$ xy=1. \! $

Prin explicitare, devine:

$ y = \frac 1 x. \! $

şi astfel putem efectua diferenţiala ca fiind:

$ \frac{dy}{dx} = - \frac {1}{x^2}. \! $

Dar putem calcula şi diferenţiala implicită:

$ \frac{d}{dx}[xy] =\frac{d}{dx} [1] \! $
$ x \frac{dy}{dx} + y \frac{dx}{dx} =0 \! $
$ x \frac{dy}{dx} +y=0 \! $
$ \frac{dy}{dx}= -\frac y x. \! $

Înlocuind $ y = \frac 1 x, \! $ obţinem acelaşi rezultat ca la diferenţiala explicită.


2. Determinaţi $ y' \! $ prin diferenţiere implicită, unde:

$ xy = \cot (xy) \! $

Soluţie. Prin diferenţiere implicită obţinem:

$ y+xy' = -\csc (xy)^2 (y+xy') \! $

Rezolvăm după $ y' \! $

$ \left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) (y + xy') =0 \! $
$ \left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) y =-xy' \left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) \! $
$ y' = \frac{\left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) \cdot y}{\left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) \cdot (-x)} \! $

Putem efectua reducerea prin $ \csc (xy)^2 +1 \! $ deoarece acesta este pozitiv.

$ y' = -\frac y x. \! $


Determinarea tangentei la o elipsa

3. Stabiliţi ecuaţia tangentei la elipsa de ecuaţie:

$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} =1 \! $

şi care trece prin punctul $ \left ( 1, \frac{3 \sqrt 3}{2} \right ) \! $

Soluţie. Prin diferenţiere obţinem:

$ \frac{2x}{4}+ \frac{2yy'}{9} =0 \! $
$ y' = - \frac{9}{4} \cdot \frac{x}{y} \! $

Panta tangentei prin punctul dat:

$ -\frac 9 4 \frac{1}{\frac{3 \sqrt 3}{2}} =- \frac 12 \sqrt 3 \! $
Tangenta la concoida lui Nicomede

Având în vedere formula $ y-y_1 = m(x-x_1) \! $ şi substituind, obţinem:

$ y - \frac{3 \sqrt 3}{2} = - \frac 1 2 \sqrt 3 \cdot (x-1) \! $

Obţinem:

$ y = -\frac{3 \sqrt 3}{2} x + 2 \sqrt 3. \! $


3. Să se determine tangenta care trece prin punctul $ (1, 0) \! $ la concoida lui Nicomede, de ecuație implicită:

$ x^2y^2 = (x+1)^2 \cdot (4-x^2). \! $
Cerc descris prin 2 functii

Soluţie. Diferenţiind ambii membri ai ecuaţiei, obţinem:

$ 2xy^2 + 2x^2y \frac{dy}{dx} = 2 (x+1) (4-x^2) + (x+1)^2 (-2x) \! $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{2(x+1) (4-x^2) + (x+1)^2 (-2x) - 2xy^2}{2x^2y} = \frac{6x- 4x^3 +8 - 6x^2 -2xy^2}{2x^2y} \! $

Dacă punem $ x=1, y=0, \! $ obţinem:

Doua ramuri ale concoidei
$ \frac{6x- 4x^3 +8 - 6x^2 -2xy^2}{2x^2y} = \frac 0 0 \! $


Asemeni cercului alăturat care este descris prin două funcţii:

  • semicercul roşu: $ y= \sqrt {1-x^2} \! $
  • semicercul albastru: $ y= - \sqrt {1-x^2} \! $
Cele doua tangente la concoida

în mod similar pentru concoidă avem două ramuri:

  • ramura roşie: $ y = \frac{(x+1)\sqrt {4-x^2}}{x} \! $
  • ramura albastră: $ y =- \frac{(x+1)\sqrt {4-x^2}}{x} \! $

Considerăm ramura roşie:

$ y'(x) = \frac{x \left [ (x+1) \frac{-2x}{2 \sqrt {4-x^2}} + \sqrt {4-x^2} \right ] - (x+1) \sqrt {4-x^2}}{x^2} \! $
$ y'(x) = \frac{-1-x}{\sqrt {4-x^2}} - \frac {\sqrt {4-x^2}}{x^2} \! $
$ y'(x) = -1 \sqrt 3 \! $

Pentru cealaltă ramură, obţinem acelaşi rezultat dar cu semn opus.

Deci cele două tangente sunt:

$ T_1(x) = - \sqrt 3 x -\sqrt 3 \; \; T_1(x) = \sqrt 3 x +\sqrt 3. \! $


Resurse Edit