Fandom

Math Wiki

Diferențială implicită

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Diferenţiala implicită este diferenţiala aplicată unei ecuaţii implicite luând în considerare una din variabile, celelalate fiind considerate ca funcţii de prima.

Exemple Edit

1. Considerăm ecuaţia implicită:

xy=1. \!

Prin explicitare, devine:

y = \frac 1 x. \!

şi astfel putem efectua diferenţiala ca fiind:

\frac{dy}{dx} =  - \frac {1}{x^2}. \!

Dar putem calcula şi diferenţiala implicită:

\frac{d}{dx}[xy] =\frac{d}{dx} [1]  \!
x \frac{dy}{dx} + y \frac{dx}{dx} =0 \!
x \frac{dy}{dx} +y=0 \!
\frac{dy}{dx}= -\frac y x. \!

Înlocuind y = \frac 1 x, \! obţinem acelaşi rezultat ca la diferenţiala explicită.


2. Determinaţi y' \! prin diferenţiere implicită, unde:

xy = \cot (xy) \!

Soluţie. Prin diferenţiere implicită obţinem:

y+xy' = -\csc (xy)^2 (y+xy') \!

Rezolvăm după y' \!

\left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) (y + xy') =0  \!
\left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) y =-xy' \left ( \csc (xy)^2 +1 \right )  \!
y' = \frac{\left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) \cdot y}{\left ( \csc (xy)^2 +1 \right ) \cdot (-x)} \!

Putem efectua reducerea prin \csc (xy)^2 +1 \! deoarece acesta este pozitiv.

y' = -\frac y x. \!


Determinarea tangentei la o elipsa.JPG

3. Stabiliţi ecuaţia tangentei la elipsa de ecuaţie:

\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} =1 \!

şi care trece prin punctul \left ( 1, \frac{3 \sqrt 3}{2} \right ) \!

Soluţie. Prin diferenţiere obţinem:

\frac{2x}{4}+ \frac{2yy'}{9} =0 \!
y' = - \frac{9}{4} \cdot \frac{x}{y} \!

Panta tangentei prin punctul dat:

-\frac 9 4 \frac{1}{\frac{3 \sqrt 3}{2}} =- \frac  12 \sqrt 3 \!
Tangenta la concoida lui Nicomede.JPG

Având în vedere formula y-y_1 = m(x-x_1) \! şi substituind, obţinem:

y - \frac{3 \sqrt 3}{2} = - \frac  1 2 \sqrt 3 \cdot (x-1) \!

Obţinem:

y = -\frac{3 \sqrt 3}{2} x + 2 \sqrt 3.  \!


3. Să se determine tangenta care trece prin punctul (1, 0) \! la concoida lui Nicomede, de ecuație implicită:

x^2y^2 = (x+1)^2 \cdot (4-x^2). \!
Cerc descris prin 2 functii.JPG

Soluţie. Diferenţiind ambii membri ai ecuaţiei, obţinem:

2xy^2 + 2x^2y \frac{dy}{dx} = 2 (x+1) (4-x^2) + (x+1)^2 (-2x) \!
\frac{dy}{dx} = \frac{2(x+1) (4-x^2) + (x+1)^2 (-2x) - 2xy^2}{2x^2y} = \frac{6x- 4x^3 +8 - 6x^2 -2xy^2}{2x^2y} \!

Dacă punem x=1, y=0, \! obţinem:

Doua ramuri ale concoidei.JPG
\frac{6x- 4x^3 +8 - 6x^2 -2xy^2}{2x^2y} = \frac 0 0 \!


Asemeni cercului alăturat care este descris prin două funcţii:

  • semicercul roşu: y= \sqrt {1-x^2} \!
  • semicercul albastru: y= - \sqrt {1-x^2} \!
Cele doua tangente la concoida.JPG

în mod similar pentru concoidă avem două ramuri:

  • ramura roşie: y = \frac{(x+1)\sqrt {4-x^2}}{x} \!
  • ramura albastră: y =- \frac{(x+1)\sqrt {4-x^2}}{x} \!

Considerăm ramura roşie:

y'(x) = \frac{x \left [ (x+1) \frac{-2x}{2 \sqrt {4-x^2}} + \sqrt {4-x^2}  \right ] - (x+1) \sqrt {4-x^2}}{x^2} \!
y'(x) = \frac{-1-x}{\sqrt {4-x^2}} - \frac {\sqrt {4-x^2}}{x^2} \!
y'(x) = -1 \sqrt 3 \!

Pentru cealaltă ramură, obţinem acelaşi rezultat dar cu semn opus.

Deci cele două tangente sunt:

T_1(x) = - \sqrt 3 x -\sqrt 3 \; \; T_1(x) =  \sqrt 3 x +\sqrt 3. \!


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki