Fandom

Math Wiki

Determinant

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţie. Dacă A = (a_{ij}) \in \mathcal M_n(K), \! este o matrice pătratică cu elemente din K, atunci numărul:

det(A)= \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon (\sigma) a_{1 \sigma(1)} \cdots a_{n \sigma(n)} \!

se numeşte determinantul lui A.

Proprietăţi ale determinanţilor Edit

1) det(A) = det (A^t); \!

2) Dacă o linie (coloană) a matricii A este zero, atunci det (A)=0; \!

3) Dacă \sigma \in S_n, \! atunci det [a_{\sigma(i)j}] = det[a_{i \sigma(j)}] = \varepsilon (\sigma) det [a_{ij}]; \!

4) Dacă A \in \mathcal M_n(K) \! şi A' este obţinută din A prin permutarea a două linii (coloane), atunci det(A)= -det(A'); \!

5) Dacă în matricea A două linii (coloane) sunt egale, atunci det(A)=0. \!

6) Dacă A=(a_{ij}) \! şi pentru un indice k, \;  \; \forall j \in \{ 1, \cdot n  \}, \; a_{kj}=a'_{kj}+a''_{kj}, \! atunci det (A)= det(A') + det(A''), \! unde A''=(a''_{ij}) \! şi A'=(a'_{ij}) \! cu a''_{ij}= a_{ij} \! pentru i \neq k; \!

7) Dacă o linie (coloană) a matricii A este o combinaţie liniară de celelalte linii (coloane) atunci det(A)=0. \!

8) Valoarea determinantului nu se modifică dacă adăugăm la o linie (coloană) o combinaţie liniară de celelalte linii (coloane).

9) Dacă A, B \in \mathcal M_n(K) \! şi \alpha \in K, \! atunci det(AB)= det(A) \cdot det (B) \! şi det (\alpha A) = \alpha^n det(A). \! Dacă A' este obţinută din A prin înmulţirea unei linii (coloane) cu \alpha, \! atunci det (A') = \alpha det (A). \!

10) (complemenţi algebrici) Dacă A=(a_{ij}) \in \mathcal M_n(K) \! şi A_{ik} \! reprezintă matricea obţinută din A prin scoaterea liniei i şi coloanei k, atunci:

\Gamma_{ik} = (-1)^{i+k} det(A_{ik}) \!

se numeşte complementul algebric ataşat coeficientului a_{ik}. \! Au loc egalităţile:

det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ik} \Gamma_{ik} \!

(dezvoltarea determinantului după coloana k);


det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \Gamma_{ij} \!

(dezvoltarea determinantului după linia j).


Determinant 1.png Determinant 2.png Determinant 3.png Determinant 4.png Determinant 5.png Determinant 6.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki