FANDOM


Dându-se o formă pătratică de rang r pe \mathbb R^n , \! se pune problema stabilirii unui algoritm prin care să o scriem sub forma unei sume şi diferenţe de pătrate de r forme liniare independente.


Metoda lui Gauss este următoarea:

Mai întâi scriem forma pătratică ntr-o bază:

Q(x) = \sum_{i=1}^n a_{i, i}x_i^2 + \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i x_j. \!

Avem următoarele cazuri:

  • Cazul 1.

Unul din numerele întregi a_{i, i} \! este nenul. Presupunem că acesta este a_{1, 1} \! şi notăm cu a acest coeficient. Atunci putem scrie Q sub forma:

Q(x) = ax_1^2 + x_1 B(x_2, \cdots , x_n) + C(x_2, \cdots , x_n) \!

unde B este o formă liniară în x_2, \cdots , x_n \! iar C o formă pătratică de aceleaşi variabile. Mai departe, scriem sub forma unui pătrat:

Q(x) = a \left ( x_1 + \frac {B(x_2, \cdots , x_n)}{2a} \right )^2 + C(x_2, \cdots , x_n) - \frac {B(x_2, \cdots , x_n)^2}{4a}.  \!
  • Cazul 2.

Toţi întregii a_{i, i} \! sunt nuli. Dacă Q este identic nulă, problema este rezolvată. În caz contrar, unul dintre a_{i, j} \! şi fie acesta a=a_{1,2} \! este nenul şi scriem:

Q(x) = ax_1x_2 + x_1 B(x_3, \cdots x_n) + x_2 C(x_3, \cdots x_n) + D(x_3, \cdots x_n), \!

unde B şi C sunt forme liniare în x_3, \cdots x_n \! şi D o formă pătratică de aceleaşi variabile. Mai departe:

Q(x) = a \left ( x_1 + \frac{C}{a} \right )  \left ( x_2 + \frac{C}{a} \right ) + \left ( D - \frac {BC}{a} \right ). \!

Deci este suficient să realizăm iteraţia metodei cu forma pătratică D - \frac{BC}{a}, \! în care nu intervin decât x_3, \cdots x_n. \!

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki