FANDOM


Dându-se o formă pătratică de rang r pe $ \mathbb R^n , \! $ se pune problema stabilirii unui algoritm prin care să o scriem sub forma unei sume şi diferenţe de pătrate de r forme liniare independente.


Metoda lui Gauss este următoarea:

Mai întâi scriem forma pătratică ntr-o bază:

$ Q(x) = \sum_{i=1}^n a_{i, i}x_i^2 + \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i x_j. \! $

Avem următoarele cazuri:

  • Cazul 1.

Unul din numerele întregi $ a_{i, i} \! $ este nenul. Presupunem că acesta este $ a_{1, 1} \! $ şi notăm cu a acest coeficient. Atunci putem scrie Q sub forma:

$ Q(x) = ax_1^2 + x_1 B(x_2, \cdots , x_n) + C(x_2, \cdots , x_n) \! $

unde B este o formă liniară în $ x_2, \cdots , x_n \! $ iar C o formă pătratică de aceleaşi variabile. Mai departe, scriem sub forma unui pătrat:

$ Q(x) = a \left ( x_1 + \frac {B(x_2, \cdots , x_n)}{2a} \right )^2 + C(x_2, \cdots , x_n) - \frac {B(x_2, \cdots , x_n)^2}{4a}. \! $
  • Cazul 2.

Toţi întregii $ a_{i, i} \! $ sunt nuli. Dacă Q este identic nulă, problema este rezolvată. În caz contrar, unul dintre $ a_{i, j} \! $ şi fie acesta $ a=a_{1,2} \! $ este nenul şi scriem:

$ Q(x) = ax_1x_2 + x_1 B(x_3, \cdots x_n) + x_2 C(x_3, \cdots x_n) + D(x_3, \cdots x_n), \! $

unde B şi C sunt forme liniare în $ x_3, \cdots x_n \! $ şi D o formă pătratică de aceleaşi variabile. Mai departe:

$ Q(x) = a \left ( x_1 + \frac{C}{a} \right ) \left ( x_2 + \frac{C}{a} \right ) + \left ( D - \frac {BC}{a} \right ). \! $

Deci este suficient să realizăm iteraţia metodei cu forma pătratică $ D - \frac{BC}{a}, \! $ în care nu intervin decât $ x_3, \cdots x_n. \! $

Vezi şi Edit

Resurse Edit