Fandom

Math Wiki

Descompunerea lui Gauss

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Dându-se o formă pătratică de rang r pe \mathbb R^n , \! se pune problema stabilirii unui algoritm prin care să o scriem sub forma unei sume şi diferenţe de pătrate de r forme liniare independente.


Metoda lui Gauss este următoarea:

Mai întâi scriem forma pătratică ntr-o bază:

Q(x) = \sum_{i=1}^n a_{i, i}x_i^2 + \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i x_j. \!

Avem următoarele cazuri:

  • Cazul 1.

Unul din numerele întregi a_{i, i} \! este nenul. Presupunem că acesta este a_{1, 1} \! şi notăm cu a acest coeficient. Atunci putem scrie Q sub forma:

Q(x) = ax_1^2 + x_1 B(x_2, \cdots , x_n) + C(x_2, \cdots , x_n) \!

unde B este o formă liniară în x_2, \cdots , x_n \! iar C o formă pătratică de aceleaşi variabile. Mai departe, scriem sub forma unui pătrat:

Q(x) = a \left ( x_1 + \frac {B(x_2, \cdots , x_n)}{2a} \right )^2 + C(x_2, \cdots , x_n) - \frac {B(x_2, \cdots , x_n)^2}{4a}.  \!
  • Cazul 2.

Toţi întregii a_{i, i} \! sunt nuli. Dacă Q este identic nulă, problema este rezolvată. În caz contrar, unul dintre a_{i, j} \! şi fie acesta a=a_{1,2} \! este nenul şi scriem:

Q(x) = ax_1x_2 + x_1 B(x_3, \cdots x_n) + x_2 C(x_3, \cdots x_n) + D(x_3, \cdots x_n), \!

unde B şi C sunt forme liniare în x_3, \cdots x_n \! şi D o formă pătratică de aceleaşi variabile. Mai departe:

Q(x) = a \left ( x_1 + \frac{C}{a} \right )  \left ( x_2 + \frac{C}{a} \right ) + \left ( D - \frac {BC}{a} \right ). \!

Deci este suficient să realizăm iteraţia metodei cu forma pătratică D - \frac{BC}{a}, \! în care nu intervin decât x_3, \cdots x_n. \!

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki