Fandom

Math Wiki

Derivata unui vector

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Vectorii pot fi o funcție de unul sau mai mulți parametri scalari, devenind astfel vectori variabili. De exemplu, dacă un vector (notat la modul generic cu \vec V \!) ia o infinitate de valori în funcție de un parametru scalar t, atunci \vec V \! este o funcție vectorială de variabilă t, ceea ce se scrie sub forma:

\vec V = \vec V (t). \!   (1)


Prin același procedeu din teoria funcțiilor scalare, se introduc și în studiul funcțiilor vectoriale noțiunile de limită, continuitate, derivată, diferențială, derivată parțială, integrală etc.

Astfel, derivata unei funcții vectoriale de un singur parametru scalar t este prin definiție:

\vec V' (t) = \frac{d \vec V}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec V (t+ \Delta t) - \vec V(t)}{\Delta t}, \!   (2)

iar diferențiala unei funcții vectoriale de un singur parametru scalar t este:

d \vec V = \vec V' dt. \!   (3)


Dacă vectorul este dat prin proiecțiile sale pe un triedru trirectangular (de exemplu: componentele vectorului reprezentat în coordonate carteziene, cu versorii \vec i \! pe axa x, \vec j \! pe axa y și \vec k \! pe axa z), adică:

\vec V = V_x \vec i + V_y \vec j + V_z \vec k, \!   (4)

derivata acestuia poate pusă sub forma:

\frac{d \vec V}{dt} = \frac{d V_x}{dt} \vec i +  \frac{d V_y}{dt} \vec j +  \frac{d V_z}{dt} \vec k. \!   (5)

Considerând doi vectori, \vec u \! și \vec v, \! atunci regulile de derivare sunt:

\frac{d}{dt} (\vec u + \vec v) = \frac{d \vec u}{dt} + \frac{d \vec v}{dt}, \!   (6)
\frac{d}{dt} (\lambda \vec u) = \frac{d \lambda}{dt} \vec u + \lambda \frac{d \vec u}{dt}, \!   (7)
\frac{d}{dt}(\vec u \cdot \vec v) = \frac{d \vec u}{dt} \vec v + \frac{d \vec v}{dt} \vec u, \!   (8)
\frac{d}{dt} (\vec u \times \vec v) = \frac {d \vec u}{dt} \times \vec v + \vec u \times \frac{d \vec v}{dt} = \frac{d \vec u}{dt} \times \vec v - \frac{d \vec v}{dt} \times \vec u, \!   (9)
\frac{d}{dt} \left \{ \vec u [\varphi (t)]   \right \} = \frac{d \vec u}{d \varphi} \cdot \frac{d \varphi}{dt}, \!   (10)

unde \lambda \! este un parametru scalar, \vec u [\varphi (t)] \! este o funcție vectorială de o funcție scalară \varphi \! de un parametru scalar t.


Derivatele scalare ale vectorului \vec V = V_x \vec i + V_y \vec j + V_z \vec k \! sunt:

\frac{\partial \vec V}{\partial x} =  \frac{\partial V_x}{\partial x} \vec i + \frac{\partial V_y}{\partial x} \vec j + \frac{\partial V_z}{\partial x} \vec k \!
\frac{\partial \vec V}{\partial y} =  \frac{\partial V_x}{\partial y} \vec i + \frac{\partial V_y}{\partial y} \vec j + \frac{\partial V_z}{\partial y} \vec k \!   (11)
\frac{\partial \vec V}{\partial z} =  \frac{\partial V_x}{\partial z} \vec i + \frac{\partial V_y}{\partial z} \vec j + \frac{\partial V_z}{\partial z} \vec k \!


Diferențiala vectorului \vec V (x, y, z) \! este:

d \vec V = \frac{\partial \vec V}{\partial x} d  +  \frac{\partial \vec V}{\partial y} d  +  \frac{\partial \vec V}{\partial z} dz .\!   (12)


Vezi şi Edit



Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki