FANDOM


Fie o aplicație $ f: U \subset \mathbb R^n \rightarrow R^p, \! $ unde U este mulțime deschisă şi fie un punct $ a \in U \! $ şi un vector nenul $ \mathbf h \in \mathbb R^n. \! $ Spunem că f admite derivată după vectorul $ \mathbf h \! $ dacă funcţia de o variabilă reală $ g(t) = f(a + t \mathbf h) \! $ este derivabilă în 0. $ g'(0) \! $ se va numi derivata funcţiei f după vectorul $ \mathbf h. \! $

Acest lucru este echivalent cu existenţa limitei:

$ \lim_{t \to 0} \frac{f(a + t \mathbf h)}{t}. \! $


Derivata după un vector este o încercare de a generaliza noţiunea de derivată pentru o funcţie cu mai multe variabile. Totuşi , definiţia nu este satisfăcătoare, căci există funcţii care admit derivate după orice vector, dar nu sunt continue. De exmplu, fie funcţia:

$ f(x, y) = \begin{cases} \frac{y^2}{x} & daca \; x \neq 0 \\ 0 & in \; caz \; contrar. \end{cases} \! $

Atunci, pentru $ \mathbf h =(a, b) \! $ avem:

$ \frac{f(t \mathbf h) - f(0)}{t}= \frac{b^2}{a}, \! $

iar dacă a nu este nul, $ \frac{f(t \mathbf h) - f(0)}{t}= 0 \! $

dacă nu, f admite o derivată după $ \mathbf h. \! $ Dar $ f \left ( \frac{1}{n^2}, \frac 1 n \right ) =1 \! $ nu tinde către zero, ceea ce dovedeşte că f nu este continuă în $ (0, 0). \! $

Deriv dupa vect img 1

Directional derivative 1 Directional derivative 2 Directional derivative 3 Directional derivative 4 Directional derivative 5

Deriv dupa vect resp

Vezi şi Edit



Resurse Edit