FANDOM


Derivative of a function

Derivata unei funcții reale de variabilă reală $ f: E \rightarrow \mathbb R, \! $ într-un punct $ x_0, \; x_0 \in E \! $ notată $ f'(x_0), \! $ este limita:

$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}, \! $

dacă există şi este finită sau infinită.

Dacă limita este finită, funcţia se numeşte derivabilă în $ x_0. \! $ Limita raportului dintre creşterea funcţiei $ f(x) - f(x_0) \! $ şi creşterea argumentului $ x-x_0, \! $ când $ x \to x_0, \! $ a fost considerată pentru prima dată de către Newton (1665), în legătură cu problema definirii vitezei, la un moment dat, a unui mobil ce se mişcă neuniform şi rectiliniu în acelaşi sens, şi de către Leibniz (1673), în legătură cu problema determinării coeficientului unghiular al tangentei la o curbă într-un punct dat.

Funcţia $ f: E \rightarrow \mathbb R \! $ se numeşte derivabilă pe A $ (A \subset E), \! $ dacă este derivabilă în orice punct din A. Dacă se aplică unor funcţii derivabile operaţiile algebrice, se obţin de asemenea funcţii derivabile.


Derivata la dreapta este limita:

$ f'_d = \lim_{x \searrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}, \! $

dacă există şi este finită.

Derivata la stânga este limita:

$ f'_s = \lim_{x \nearrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}, \! $

dacă există şi este finită.

Aceste derivate se numesc derivate laterale.


Reguli de derivare
$ (f+g)' = f' + g' \! $
$ \bigg ( \sum_{i=1}^n f_i \bigg )' = \sum_{i=1}^n f'_i \! $
$ (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' \! $
$ (f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n)' = \sum_{i=1}^n f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_{i-1} \cdot f'_1 \cdot f_{i+1} \cdot \ldots \cdot f_n \! $
$ (f^n)' = nf^{n-1}f' \! $
$ (cf)' = cf', \; (c \in \mathbb R) \! $
$ (-f)' = -f' \! $
$ (\frac f g)'= \frac {f'g - fg'}{g^2} \! $
$ (f(u))' = f'(u) \cdot u' \! $


Vezi și Edit


Resurse Edit


În alte limbi
* English