FANDOM


Decagonul este poligonul cu zece laturi.

Decagonul regulat Edit

Construcția unui decagon regulat înscris într-un cerc dat Edit

Decagon in a circle

Această problemă de geometrie face parte din categoria construcțiilor geometrice cu rigla și compasul.


Se dă: Un cerc de centru A şi de rază $ [AB]. \! $

Se cere: Să se înscrie un decagon regulat în acest cerc.

To inscribe a regular decagon in a circle

Procedura:

  • se împarte segmentul [AB] în secțiunea de aur[1] astfel în $ \frac {\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac {\overline{AC}}{\overline{CB}}. \! $
  • se trasează cercul de centru B şi rază AC, care ca intersecta cercul dat într-un punct D
  • BD este latura decagonului cerut.

Demonstraţie.

$ \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{BC} \! $

Rezultă:

$ \frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC} \! $

Deci triunghiurile ABD şi DBC sunt asemenea (au câte un unghi congruent şi laturile care îl formează sunt asemenea).

Rezultă că triunghiul DBC este isoscel de unde obţinem:

$ DB=DC=CA. \! $

De aici deducem:

$ \angle {ABD} = \angle {ADB} \; \angle {ABD} = \angle {BCD} \; \angle {ADC} = \angle{BAD} \! $

Dar $ \angle{BCD} = \angle {BAD}+\angle{ADC}. \! $

Din $ \angle {BCD}= 2 \angle{BAD} \! $ şi $ \angle {BDA}= 2 \angle{BAD} \! $ deducem:

$ \angle{BAD} + 2 \angle{BAD} + 2 \angle{BAD} =180^{\circ}. \! $

Deci $ \angle {BAD} = 36^{\circ}. \! $

Note Edit

  1. Vezi Împărțirea unui segment în secțiunea de aur

Resurse Edit