FANDOM


Considerăm suprafața parametrizată $ \Sigma = Im \; r. \! $

Definiţia 1. Funcţia matriceală:

$ L : \Sigma \rightarrow \mathcal M_2(\mathbb R), \! $ definită prin:
$ P= r(u, v) \in \Sigma \rightarrow \; L_P \overset {def}{=} (g^{-1} \cdot b)_P = \! $
$ = \frac {1}{EG-F^2} \cdot \begin{pmatrix} lG-mF & mG - nF \\ mE-lF & nE-mF \end{pmatrix} \! $

se numeşte aplicaţia Weingarten a suprafeţei $ \Sigma = Im \; r. \! $


Observaţia 1. Termenul de "aplicație" utilizat în definiţia anterioară este folosit deoarece matricea $ L_P \! $ poate fi privită ca matricea în baza $ \{r_u, r_v\} \subset T_P \Sigma \! $ a unui endomorfism:

$ L_P : T_P \Sigma \rightarrow T_P \Sigma, \! $ numit de asemenea aplicaţia Weingarten.

Cu alte cuvinte, din definiţia matricii unui endomorfism într-o anumită bază rezultă că aplicaţia Weingarten $ L_P \! $ este definită pe baza $ \{r_u, r_v\} \subset T_P \Sigma \! $ după cum urmează:

$ L_P(r_u) = \frac{1}{EG-F^2} \cdot \bigg [ (lG-mF) \cdot r_u + (mE-lF) \cdot r_v \bigg ] \! $

şi

$ L_P(r_v) = \frac{1}{EG-F^2} \cdot \bigg [ (mG-nF) \cdot r_u + (nE-mF) \cdot r_v \bigg ]. \! $

Prin urmare, dacă $ w=c_1 \cdot r_u +c_2 \cdot r_v, \! $ unde $ c_1, c_2 \in \mathbb R, \! $ este un vector oarecare din planul tangent $ T_P \Sigma, \! $ atunci din liniaritatea aplicaţiei Weingarten $ L_P \! $ deducem că avem:

$ L_P(w) = c_1 \cdot L_P(r_u) + c_2 \cdot L_P(r_v) . \! $


Teorema 1. Dacă $ U=\frac{1}{\|r_u \times r_v \|} \cdot [r_u \times r_v] \! $ este versorul normal la suprafaţa $ \Sigma = Im \; r, \! $ atunci următoarele formule sunt adevărate:

$ L(r_u) = - \frac{\partial U}{\partial u} \! $ şi $ L(r_v) = - \frac{\partial U}{\partial v}. \! $


Demonstraţie. Vom demonstra doar prima egalitate cerută în teoremă deoarece cea de-a doua se demonstrează în mod analog.

Derivând parţial în raport cu u, egalitatea $ \langle U, U \rangle =1, \! $ deducem că:

$ \langle \frac{\partial U}{\partial u}, U \rangle =0, \! $

adică vectorul $ \frac{\partial U}{\partial u} \! $ este tangent în punctul $ P = r(u, v) \! $ la suprafaţa $ \Sigma = Im \; r. \! $ Atunci există $ \alpha, \beta \in \mathbb R \! $ astfel încât:

$ \frac{\partial U}{\partial u}= \alpha \cdot r_u + \beta \cdot r_v. \! $

Efectuând în acestă egalitate produsul scalar, pe rând cu $ r_u \! $ şi $ r_v, \! $ găsim sistemul Cramer:

$ \begin{cases} \alpha \cdot E+ \beta \cdot F =\langle \frac{\partial U}{\partial u}, r_u \rangle \\ \alpha \cdot F+ \beta \cdot G =\langle \frac{\partial U}{\partial u}, r_v \rangle. \end{cases} \! $

Pe de altă parte, derivând parţial în raport cu u, egalităţile:

$ \langle U, r_u \rangle = \langle U, r_v \rangle =0, \! $

deducem că:

$ \bigg \langle \frac{\partial U}{\partial u}, r_u \bigg \rangle = - \langle U, r_{uu} \rangle = -l \! $ şi $ \bigg \langle \frac{\partial U}{\partial u}, r_v \bigg \rangle = - \langle U, r_{uv} \rangle = -m, \! $

Sistemul Cramer devine:

$ \begin{cases} \alpha \cdot E + \beta \cdot F = -l \\ \alpha \cdot F + \beta \cdot G = -m. \end{cases} \! $

Soluţia sistemului este:

$ \alpha = - \frac {lG- mF}{EG-F^2} \! $ şi $ \beta = - \frac{mE-lF}{EG-F^2}, \! $

adică:

$ \frac{\partial U}{\partial u} = - \frac {lG- mF}{EG-F^2} \cdot r_u - \frac{mE-lF}{EG-F^2} \cdot r_v = - L(r_u). \! $


Curbura unei supraf 3 Curbura unei supraf 4 Curbura unei supraf 5 Curbura unei supraf 6 Curbura unei supraf 7 Curbura unei supraf 8 Curbura unei supraf 9 Curbura unei supraf 10 Curbura unei supraf 11 Curbura unei supraf 12 Curbura unei supraf 13 Curbura unei supraf 14 Curbura unei supraf 15 Curbura unei supraf 16 Curbura unei supraf 17

Curbura unei supraf fig. 1 Curbura unei supraf fig. 2 Curbura unei supraf fig. 3 Curbura unei supraf fig. 4 Curbura unei supraf fig. 5

Vezi şi Edit

Resurse Edit