Fandom

Math Wiki

Curbura unei suprafețe

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Considerăm suprafața parametrizată \Sigma = Im \; r. \!

Definiţia 1. Funcţia matriceală:

L : \Sigma \rightarrow \mathcal M_2(\mathbb R), \! definită prin:
P= r(u, v) \in \Sigma \rightarrow \; L_P \overset {def}{=} (g^{-1} \cdot b)_P = \!
= \frac {1}{EG-F^2} \cdot \begin{pmatrix} lG-mF & mG - nF \\ mE-lF & nE-mF  \end{pmatrix} \!

se numeşte aplicaţia Weingarten a suprafeţei \Sigma = Im \; r. \!


Observaţia 1. Termenul de "aplicație" utilizat în definiţia anterioară este folosit deoarece matricea L_P \! poate fi privită ca matricea în baza \{r_u, r_v\} \subset T_P \Sigma \! a unui endomorfism:

L_P : T_P \Sigma \rightarrow T_P \Sigma, \! numit de asemenea aplicaţia Weingarten.

Cu alte cuvinte, din definiţia matricii unui endomorfism într-o anumită bază rezultă că aplicaţia Weingarten L_P \! este definită pe baza \{r_u, r_v\} \subset T_P \Sigma \! după cum urmează:

L_P(r_u) = \frac{1}{EG-F^2} \cdot \bigg [ (lG-mF) \cdot r_u + (mE-lF) \cdot r_v \bigg ] \!

şi

L_P(r_v) = \frac{1}{EG-F^2} \cdot \bigg [ (mG-nF) \cdot r_u + (nE-mF) \cdot r_v \bigg ]. \!

Prin urmare, dacă w=c_1 \cdot r_u +c_2 \cdot r_v, \! unde c_1, c_2 \in \mathbb R, \! este un vector oarecare din planul tangent T_P \Sigma, \! atunci din liniaritatea aplicaţiei Weingarten L_P \! deducem că avem:

L_P(w) = c_1 \cdot L_P(r_u) + c_2 \cdot L_P(r_v) . \!


Teorema 1. Dacă U=\frac{1}{\|r_u \times r_v \|} \cdot [r_u \times r_v] \! este versorul normal la suprafaţa \Sigma = Im \; r, \! atunci următoarele formule sunt adevărate:

L(r_u) = - \frac{\partial U}{\partial u} \! şi L(r_v) = - \frac{\partial U}{\partial v}. \!


Demonstraţie. Vom demonstra doar prima egalitate cerută în teoremă deoarece cea de-a doua se demonstrează în mod analog.

Derivând parţial în raport cu u, egalitatea \langle U, U \rangle =1, \! deducem că:

\langle \frac{\partial U}{\partial u}, U \rangle =0, \!

adică vectorul \frac{\partial U}{\partial u} \! este tangent în punctul P = r(u, v) \! la suprafaţa \Sigma = Im \; r. \! Atunci există \alpha, \beta \in \mathbb R \! astfel încât:

\frac{\partial U}{\partial u}= \alpha \cdot r_u + \beta \cdot r_v. \!

Efectuând în acestă egalitate produsul scalar, pe rând cu r_u \! şi r_v, \! găsim sistemul Cramer:

\begin{cases} \alpha \cdot E+ \beta \cdot F =\langle \frac{\partial U}{\partial u}, r_u \rangle \\ \alpha \cdot F+ \beta \cdot G =\langle \frac{\partial U}{\partial u}, r_v \rangle. \end{cases} \!

Pe de altă parte, derivând parţial în raport cu u, egalităţile:

\langle U, r_u \rangle = \langle U, r_v \rangle =0, \!

deducem că:

\bigg \langle \frac{\partial U}{\partial u}, r_u \bigg \rangle = - \langle U, r_{uu} \rangle = -l \! şi \bigg \langle \frac{\partial U}{\partial u}, r_v \bigg \rangle = - \langle U, r_{uv} \rangle = -m, \!

Sistemul Cramer devine:

\begin{cases} \alpha \cdot E + \beta \cdot F = -l \\ \alpha \cdot F + \beta \cdot G = -m.  \end{cases} \!

Soluţia sistemului este:

\alpha = - \frac {lG- mF}{EG-F^2} \! şi \beta = - \frac{mE-lF}{EG-F^2}, \!

adică:

\frac{\partial U}{\partial u} = - \frac {lG- mF}{EG-F^2} \cdot r_u -  \frac{mE-lF}{EG-F^2} \cdot r_v = - L(r_u). \!


Curbura unei supraf 3.png Curbura unei supraf 4.png Curbura unei supraf 5.png Curbura unei supraf 6.png Curbura unei supraf 7.png Curbura unei supraf 8.png Curbura unei supraf 9.png Curbura unei supraf 10.png Curbura unei supraf 11.png Curbura unei supraf 12.png Curbura unei supraf 13.png Curbura unei supraf 14.png Curbura unei supraf 15.png Curbura unei supraf 16.png Curbura unei supraf 17.png

Curbura unei supraf fig. 1.png Curbura unei supraf fig. 2.png Curbura unei supraf fig. 3.png Curbura unei supraf fig. 4.png Curbura unei supraf fig. 5.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki