Fandom

Math Wiki

Curbură

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Introducere Edit

Teorema 1: Dacă curba \Gamma \! este dată vectorial:

\overrightarrow {r(t)} = x(t) \vec i + y(t) \vec j + z(t) \vec k, \; t \in [a, b]

atunci:

K = \frac {\left | \overrightarrow {r'(t)} \times \overrightarrow {r''(t)} \right | }{\left | \overrightarrow {r'(t)} \right |^3}


T = \frac {\left ( \overrightarrow {r'(t)}, \overrightarrow {r''(t)}, \overrightarrow {r'''(t)} \right )}{\left | \overrightarrow {r'(t)} \times \overrightarrow {r''(t)} \right |^2}


Teorema 2: Dacă curbura unei curbe este identic nulă, atunci curba este un segment dintr-o dreaptă.

Teorema 3: Dacă torsiunea unei curbe este identic nulă, atunci curba este o curbă plană, planul curbei fiind planul osculator într-un punct arbitrar.

Curbura unei curbe plane Edit

Fie \Gamma \subset \mathcal E^2 \! dată prin reprezentarea vectorială:

\vec r = \vec r (s), \; \; s \in [0, L] \!


Fie M \in \Gamma \! un punct regulat de pe curbă al cărui vector de poziţie este \vec r (s) \! pentru care s=l (\Gamma_{\Omega M}), \! unde \Omega \in \Gamma \! este "punctul origine" al curbei corespunzător lui s=0. \!

Fie M' \in \Gamma \! un punct din vecinătatea lui M având vectorul de poziţie \vec r(s') \! astfel încât |s'-s| < \varepsilon, \; \forall \varepsilon >0 \! fixat.

Considerăm tangentele la curbă în punctele M \! şi M', \! care formează cu axa Ox unghiurile \theta \! respectiv \theta'. \! Aceasta înseamnă că unghiul \varphi \! dintre cele două tangente va fi: \varphi = \theta'-\theta. \!

Curbura unei curbe plane.png

Curbura unei curbe plane


Definiţie Numarul real \frac{\varphi}{l(\Gamma_{MM'})} \! se numeşte curbură medie a lui \Gamma \! în vecinătatea lui M.


Observaţie Lungimea arcului de curbă l(\Gamma_{MM'})= const, \! iar \varphi \! descreşte sau creşte după cum \Gamma \! este mai puţin curbată respectiv mai mult curbată.


Definiţie. Dacă limita k(s) = \lim_{s' \to s} \frac{\varphi (s, s')}{s-s'} \! există, atunci această limită se numeşte curbura curbei \Gamma \! în punctul M.


Dacă exprimăm prin \theta = \theta (s) \! dependenţa unghiului făcut de tangenta la curbă în punctul M cu axa Ox, atunci în M' \! avem \theta'=\theta'(s') \; \Rightarrow \; \varphi (s, s') = \theta'(s') - \theta (s), \! de unde:

k(s) = \frac{d \theta}{ds} \!

Raportul R_M = \frac{1}{|k(s)|} \! se numeşte raza de curbură în punctul regulat M.


Observaţie. Dacă k=0 \! atunci curba \Gamma \! este o dreaptă.

Expresii ale curburii unei curbe plane pentru diferite reprezentări ale acesteia Edit

Reprezentare parametrică Edit

Dacă curba plană este dată prin reprezentarea parametrică:

\begin{cases} x=x(y) \\ y=y(t) \end{cases} \!

iar  M(x(t), y(t))\! este un punct pe curba \Gamma, \! atunci panta tangentei în M este k_T=\tan \theta = \frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}, \! de unde avem: \theta = \arctan \frac {\dot y(t)}{\dot x(t)}. \! Calculăm derivata lui \theta \! în raport cu s şi obţinem:

\frac{d \theta}{ds} = \frac{d \theta}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac {\ddot y(t) \dot x(t) - \ddot x(t) \dot y(t)}{\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2} \frac{dt}{ds} \!

unde ds = \sqrt{\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2} \; \Rightarrow \; \frac{dt}{ds} = \frac{1}{\sqrt{\dot x(t)^2+ \dot y(t)^2}}. \!

Astfel, formula curburii pentru o curbă plană este:

k= \frac{d \theta}{ds} = \frac{\ddot y(t) \dot x(t) - \ddot x(t) \dot y(t)}{[\dot x(t)^2+ \dot y(t)^2]^{3/2}} \!


Reprezentare explicită Edit

Dacă curba plană este dată prin ecuaţia carteziană explicită: y=y(x), \! atunci trecând la parametrizarea naturală: \begin{cases} x=t \\ y=y(t) \end{cases}, \! calculând derivatele de ordinul I: \begin{cases} \dot x=1 \\ \dot y= \dot y(t) \end{cases} \! şi cele de ordinul II: \begin{cases} \ddot x=0 \\ \ddot y= \ddot y(t) \end{cases}, \! şi înlocuind pe acestea în relaţia de la paragraful anterior obţinem:

k=\frac{\ddot y(t)}{[1+ \dot y^2(t)]^{3/2}} \!

Reprezentare implicită Edit

Dacă curba plană este dată prin ecuaţia carteziană implicită F(x, y) =0 \! atunci avem F'_x + F'_y \cdot \dot y =0 \; \Rightarrow \; \dot y = - \frac{F'_x}{F'_y} \! şi \ddot y = - \frac{F''_{x^2}}{F''_{y^2}}; \! obţinem:

k = - \frac{(F'_z)^2 \cdot F''_{y^2} - 2 \cdot F'_z \cdot F'_y \cdot F'_{zy} + (F'_y)^2 \cdot F''_{z^2}}{[(F'_z)^2+(F'_y)^2]^{3/2}}. \!

Curbura şi torsiunea unei curbe spaţiale Edit

Considerăm un punct regulat şi neinflexionar M= \vec r(t) \in \Gamma. \! Vom nota în continuare versorii reperului Frenet în punctul M cu \vec t(t), \vec n(t) \! şi \vec b(t). \! Are loc următoarea teoremă:


Teorema 4. (Formulele Frenet-Serret).

\dot \vec t(t)= k(t) \nu (t) \vec n (t) \!
\dot \vec n(t) = -k(t) \nu (t) \vec t(t) + \tau (t)  \nu (t)  \vec b(t) \!
\dot  \vec b(t) = - \tau(t) \nu(t) \vec n(t) \!

unde \nu(t) = \sqrt{\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2 + \dot z(t)^2} \! este viteza curbei \Gamma, \! iar k(t) \! şi \nu(t) \! sunt curbura şi respectiv torsiunea curbei \Gamma \! în punctul M.


Pentru curbura k(t) \! avem următoarele formule:

k(t) = \frac{\|\dot \vec r(t) \times \ddot \vec r(t)\|}{\|\dot \vec r(t)\|^3} = \frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}{[[\dot x(t)]^2+[\dot y(t)]^2+[\dot z(t)]^2]^3} \!

unde A, B, C \! sunt componentele scalare ale vectorului \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \dot x(t) & \dot y(t) & \dot z(t) \\ \ddot x(t) & \ddot y(t) & \ddot z(t) \end{vmatrix}. \!


Raza de curbură a curbei \Gamma \! în punctul M este R(t) = \frac{1}{|k(t)|} \!

Pentru torsiunea \tau (t) \! avem formulele:

\tau(t) = \frac{\dot \vec r (t); \ddot \vec r (t); \overset{\cdots} {\vec r} (t)}{\| \dot \vec r(t) \times \ddot \vec r(t) \|^2} = \frac{\Delta}{A^2+B^2+C^2} \!

unde \Delta = \begin{vmatrix} \dot x(t) & \dot y(t) & \dot z(t) \\ \ddot x(t) & \ddot y(t) & \ddot z(t) \\ \overset{\cdots} x(t) & \overset{\cdots} y(t) & \overset{\cdots} z(t)  \end{vmatrix} \!


Raza de torsiune în punctul M este T(\tau) = \frac{1}{|\tau (t)|}. \!

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki