FANDOM


Introducere Edit

Teorema 1: Dacă curba $ \Gamma \! $ este dată vectorial:

$ \overrightarrow {r(t)} = x(t) \vec i + y(t) \vec j + z(t) \vec k, \; t \in [a, b] $

atunci:

$ K = \frac {\left | \overrightarrow {r'(t)} \times \overrightarrow {r''(t)} \right | }{\left | \overrightarrow {r'(t)} \right |^3} $


$ T = \frac {\left ( \overrightarrow {r'(t)}, \overrightarrow {r''(t)}, \overrightarrow {r'''(t)} \right )}{\left | \overrightarrow {r'(t)} \times \overrightarrow {r''(t)} \right |^2} $


Teorema 2: Dacă curbura unei curbe este identic nulă, atunci curba este un segment dintr-o dreaptă.

Teorema 3: Dacă torsiunea unei curbe este identic nulă, atunci curba este o curbă plană, planul curbei fiind planul osculator într-un punct arbitrar.

Curbura unei curbe plane Edit

Fie $ \Gamma \subset \mathcal E^2 \! $ dată prin reprezentarea vectorială:

$ \vec r = \vec r (s), \; \; s \in [0, L] \! $


Fie $ M \in \Gamma \! $ un punct regulat de pe curbă al cărui vector de poziţie este $ \vec r (s) \! $ pentru care $ s=l (\Gamma_{\Omega M}), \! $ unde $ \Omega \in \Gamma \! $ este "punctul origine" al curbei corespunzător lui $ s=0. \! $

Fie $ M' \in \Gamma \! $ un punct din vecinătatea lui M având vectorul de poziţie $ \vec r(s') \! $ astfel încât $ |s'-s| < \varepsilon, \; \forall \varepsilon >0 \! $ fixat.

Considerăm tangentele la curbă în punctele $ M \! $ şi $ M', \! $ care formează cu axa Ox unghiurile $ \theta \! $ respectiv $ \theta'. \! $ Aceasta înseamnă că unghiul $ \varphi \! $ dintre cele două tangente va fi: $ \varphi = \theta'-\theta. \! $

Curbura unei curbe plane

Curbura unei curbe plane


Definiţie Numarul real $ \frac{\varphi}{l(\Gamma_{MM'})} \! $ se numeşte curbură medie a lui $ \Gamma \! $ în vecinătatea lui M.


Observaţie Lungimea arcului de curbă $ l(\Gamma_{MM'})= const, \! $ iar $ \varphi \! $ descreşte sau creşte după cum $ \Gamma \! $ este mai puţin curbată respectiv mai mult curbată.


Definiţie. Dacă limita $ k(s) = \lim_{s' \to s} \frac{\varphi (s, s')}{s-s'} \! $ există, atunci această limită se numeşte curbura curbei $ \Gamma \! $ în punctul M.


Dacă exprimăm prin $ \theta = \theta (s) \! $ dependenţa unghiului făcut de tangenta la curbă în punctul M cu axa Ox, atunci în $ M' \! $ avem $ \theta'=\theta'(s') \; \Rightarrow \; \varphi (s, s') = \theta'(s') - \theta (s), \! $ de unde:

$ k(s) = \frac{d \theta}{ds} \! $

Raportul $ R_M = \frac{1}{|k(s)|} \! $ se numeşte raza de curbură în punctul regulat M.


Observaţie. Dacă $ k=0 \! $ atunci curba $ \Gamma \! $ este o dreaptă.

Expresii ale curburii unei curbe plane pentru diferite reprezentări ale acesteia Edit

Reprezentare parametrică Edit

Dacă curba plană este dată prin reprezentarea parametrică:

$ \begin{cases} x=x(y) \\ y=y(t) \end{cases} \! $

iar $ M(x(t), y(t))\! $ este un punct pe curba $ \Gamma, \! $ atunci panta tangentei în M este $ k_T=\tan \theta = \frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}, \! $ de unde avem: $ \theta = \arctan \frac {\dot y(t)}{\dot x(t)}. \! $ Calculăm derivata lui $ \theta \! $ în raport cu s şi obţinem:

$ \frac{d \theta}{ds} = \frac{d \theta}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac {\ddot y(t) \dot x(t) - \ddot x(t) \dot y(t)}{\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2} \frac{dt}{ds} \! $

unde $ ds = \sqrt{\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2} \; \Rightarrow \; \frac{dt}{ds} = \frac{1}{\sqrt{\dot x(t)^2+ \dot y(t)^2}}. \! $

Astfel, formula curburii pentru o curbă plană este:

$ k= \frac{d \theta}{ds} = \frac{\ddot y(t) \dot x(t) - \ddot x(t) \dot y(t)}{[\dot x(t)^2+ \dot y(t)^2]^{3/2}} \! $


Reprezentare explicită Edit

Dacă curba plană este dată prin ecuaţia carteziană explicită: $ y=y(x), \! $ atunci trecând la parametrizarea naturală: $ \begin{cases} x=t \\ y=y(t) \end{cases}, \! $ calculând derivatele de ordinul I: $ \begin{cases} \dot x=1 \\ \dot y= \dot y(t) \end{cases} \! $ şi cele de ordinul II: $ \begin{cases} \ddot x=0 \\ \ddot y= \ddot y(t) \end{cases}, \! $ şi înlocuind pe acestea în relaţia de la paragraful anterior obţinem:

$ k=\frac{\ddot y(t)}{[1+ \dot y^2(t)]^{3/2}} \! $

Reprezentare implicită Edit

Dacă curba plană este dată prin ecuaţia carteziană implicită $ F(x, y) =0 \! $ atunci avem $ F'_x + F'_y \cdot \dot y =0 \; \Rightarrow \; \dot y = - \frac{F'_x}{F'_y} \! $ şi $ \ddot y = - \frac{F''_{x^2}}{F''_{y^2}}; \! $ obţinem:

$ k = - \frac{(F'_z)^2 \cdot F''_{y^2} - 2 \cdot F'_z \cdot F'_y \cdot F'_{zy} + (F'_y)^2 \cdot F''_{z^2}}{[(F'_z)^2+(F'_y)^2]^{3/2}}. \! $

Curbura şi torsiunea unei curbe spaţiale Edit

Considerăm un punct regulat şi neinflexionar $ M= \vec r(t) \in \Gamma. \! $ Vom nota în continuare versorii reperului Frenet în punctul M cu $ \vec t(t), \vec n(t) \! $ şi $ \vec b(t). \! $ Are loc următoarea teoremă:


Teorema 4. (Formulele Frenet-Serret).

$ \dot \vec t(t)= k(t) \nu (t) \vec n (t) \! $
$ \dot \vec n(t) = -k(t) \nu (t) \vec t(t) + \tau (t) \nu (t) \vec b(t) \! $
$ \dot \vec b(t) = - \tau(t) \nu(t) \vec n(t) \! $

unde $ \nu(t) = \sqrt{\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2 + \dot z(t)^2} \! $ este viteza curbei $ \Gamma, \! $ iar $ k(t) \! $ şi $ \nu(t) \! $ sunt curbura şi respectiv torsiunea curbei $ \Gamma \! $ în punctul M.


Pentru curbura $ k(t) \! $ avem următoarele formule:

$ k(t) = \frac{\|\dot \vec r(t) \times \ddot \vec r(t)\|}{\|\dot \vec r(t)\|^3} = \frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}{[[\dot x(t)]^2+[\dot y(t)]^2+[\dot z(t)]^2]^3} \! $

unde $ A, B, C \! $ sunt componentele scalare ale vectorului $ \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \dot x(t) & \dot y(t) & \dot z(t) \\ \ddot x(t) & \ddot y(t) & \ddot z(t) \end{vmatrix}. \! $


Raza de curbură a curbei $ \Gamma \! $ în punctul M este $ R(t) = \frac{1}{|k(t)|} \! $

Pentru torsiunea $ \tau (t) \! $ avem formulele:

$ \tau(t) = \frac{\dot \vec r (t); \ddot \vec r (t); \overset{\cdots} {\vec r} (t)}{\| \dot \vec r(t) \times \ddot \vec r(t) \|^2} = \frac{\Delta}{A^2+B^2+C^2} \! $

unde $ \Delta = \begin{vmatrix} \dot x(t) & \dot y(t) & \dot z(t) \\ \ddot x(t) & \ddot y(t) & \ddot z(t) \\ \overset{\cdots} x(t) & \overset{\cdots} y(t) & \overset{\cdots} z(t) \end{vmatrix} \! $


Raza de torsiune în punctul M este $ T(\tau) = \frac{1}{|\tau (t)|}. \! $

Vezi şi Edit

Resurse Edit