FANDOM


Considerăm o curbă plană $ \mathcal C \! $ definită prin ecuaţia explicită:

$ y= f(x), \; x \in \mathbf I \; (\mathbf I \subset \mathbb R). $

Dacă ecuaţia nu este algebrică, numim curba $ \mathcal C \! $ transcendentă.

Propoziţia 1. Dacă f(x) este o funcţie periodică, atunci curba este transcendentă.

Demonstraţie Dacă $ \omega \! $ este perioada, deci $ f(x_0+ k \omega) = f(x_0) \! $ iar $ P_0(x_0, y_0= f(x_0)) \in \mathcal C, \! $ atunci şi $ P_k(x_0+ k \omega, y_0) \in \mathcal C \! $ (k - număr întreg). Dreapta $ y=y_0 \! $ având o infinitate de puncte comune cu $ \mathcal C, \! $ fără a fi conţinută în $ \mathcal C \! $, rezultă că $ \mathcal C \! $ este transcendentă.

Propoziţia 2. Dacă $ f(x)= a e ^{bx} \; (b \neq 0),\! $ atunci curba este transcendentă.

Demonstraţie. Să presupunem că punctele lui $ \mathcal C \! $ ar verifica o ecuație algebrică:

$ F(x, y) = y^n f_0 (x) + y^{n-1} f_1(x) + \cdots + y f_{n-1}(x) =0, \! $

unde $ f_i , \; i = 0,1, \cdots , n \! $ sunt polinoame. Dacă $ b>0 (b<0), \! $ din $ \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^m} F(x, ae^{bx})=0 \! $ obţinem $ A_0 =0, \! $ contrar ipotezei (că $ f_n \! $ e de grad m). Curba

$ \mathcal C \ : y = ae^{bx} \! $ se numeşte curba exponențială.

Aceasta taie pe Oy în A(0, a). E transformata afină a curbei $ Y= e^X. \! $

Resurse Edit