Math Wiki
Register
Advertisement
Offset curve

Definiţie[]

Definiţia 1. Se numeşte curbă plană o aplicaţie de clasă definită pe intervalul real I. ( este spaţiul afin euclidian de dimensiune 2.)


Observaţie

1. Dacă vom spune că este o curbă continuă.

2. Dacă vom spune că este o curbă diferenţiabilă de clasă

3. Dacă adică este o curbă ce admite derivate continue de orice ordin, atunci vom spune că este o curbă netedă.


Mulţimea se numeşte imaginea geometrică a curbei şi este o submulţime de puncte din plan:

În practică, această mulţime de puncte-imagine se numeşte curbă.

Reprezentări[]

Pentru a obţine diferite reprezentări ale unei curbe plane, considerăm un reper afin al spaţiului euclidian Fie Atunci este numită o reprezentare parametrică a curbei Ecuaţia:

  (1)

se numeşte ecuaţia vectorială a curbei.


Dacă descompunem vectorii din ecuaţia (1): şi atunci obţinem:

  (2)

numite ecuaţii parametrice ale curbei plane


Prin eliminarea parametrului t, se obţine o ecuaţie carteziană de forma:;

  (3)

numită ecuaţie carteziană implicită a curbei.


Dacă putem exprima sau:

  (4)

atunci spunem că am obţinut ecuaţia explicită a curbei.


Notă. În unele scrieri se pun şi condiţiile ca funcţiile

  • să fie reale, uniforme şi continue;
  • funcţiile x, y stabilesc o corespondenţă biunivocă şi bicontinuă între punctele şi mulţimea valorilor parametrului real
  • să admită derivate de ordinul întâi continue.


Definiţia 2.

Vertical evolute

Se numeşte arc regulat de curbă plană, mulţimea a punctelor M din ale căror coordonate carteziene x, y în raport cu reperul ortonormat al lui şi vectori de poziţie satifac ecuaţia (1.1), sau ecuaţia (1.2), sau sistemul (1.3), sau ecuaţia (1.4), unde funcţiile îndeplinesc condiţiile numite de regularitate:

  • sunt reale, uniforme şi continue;
  • funcţiile x, y stabilesc o corespondenţă biunivocă şi bicontinuă între punctele şi mulţimea valorilor parametrului real
  • în intervalele considerate sunt îndeplinite relaţiile:

unde:

Se numeste arc regulat de ordinul n, sau clasă n un arc regulat de curba plană pentru care funcţiile admit derivate (partiale, respectiv ordinare) continue până la şi inclusiv ordinul , astfel încât nu toate derivatele de acelaşi ordin să se anuleze.

3° Se numeşte curbă regulată de ordinul n, sau curbă de clasă n, pe scurt: curbă, o reuniune de arce regulate de ordinul n, care au extremităţile, eventual, puncte singulare (în sensul definiţiei 1.3), adică:


Definiţia 3.

1° Se numeşte punct singular al unei curbe plane, punctul în care nu este îndeplinită cel puţin una din condiţiile de regularitate. 2° Se numeste punct ordinar al unei curbe plane, punctul în care sunt îndeplinite toate condiţiile de regularitate.


Element de arc[]

Fiind dată o curbă plană dată de reprezentarea vectorială considerăm o nouă valoare a parametrului Obţinem astfel două puncte ale curbei şi Lungimea arcului curpins între punctele şi se aproximează prin:

Element de arc

Elementul de arc este dat de relaţia:

În continuare, vom exprima elementul de arc pentru diferite reprezentări ale curbei


  • Dacă curba este dată sub formă parametrică, adică:

atunci elementul de arc este:


  • Dacă curba este dată prin ecuaţia carteziană, atunci pentru scrierea elementului de arc vom face o parametrizare naturală, şi anume:

Înlocuind în relaţiile de mai sus, obţinem pentru elementul de arc următoarea relaţie:


Observaţie Pentru a obţine o reprezentare polară a elementului de arc, trebuie să exprimăm coordonatele carteziene în coordonate polare, în următorul mod:


Elementul de arc în coordonate polare este:


În toate cazurile, lungimea unui arc finit de curbă corespunzător punctelor se calculează cu formula:

  (5)


Exemplu. Fie curba plană dată prin ecuaţia vectorială:

Ecuaţiile parametrice asociate curbei sunt:

iar ecuaţia carteziană asociată curbei este:

Elementul de arc în cazul parametric este:

iar în cazul cartezian:


Dacă considerăm punctele şi de pe curbă, atunci lungimea arcului cuprins între punctele şi este:

Parametrizare curbe plane[]

Parametrizare curbe plane 1 Parametrizare curbe plane 2 Parametrizare curbe plane 3 Parametrizare curbe plane 4 Parametrizare curbe plane 5 Parametrizare curbe plane 6 Parametrizare curbe plane 7 Parametrizare curbe plane 8 Parametrizare curbe plane 9 Parametrizare curbe plane 10 Parametrizare curbe plane 11 Parametrizare curbe plane 12 Parametrizare curbe plane 13 Parametrizare curbe plane 14 Parametrizare curbe plane 15 Parametrizare curbe plane 16


Parametrizare curbe plane fig. 1 Parametrizare curbe plane fig. 2 Parametrizare curbe plane fig. 3 Parametrizare curbe plane fig. 4 Parametrizare curbe plane fig. 5 Parametrizare curbe plane fig. 6 Parametrizare curbe plane fig. 7 Parametrizare curbe plane fig. 8 Parametrizare curbe plane fig. 9 Parametrizare curbe plane fig. 10 Parametrizare curbe plane fig. 11 Parametrizare curbe plane fig. 12 Parametrizare curbe plane fig. 13 Parametrizare curbe plane fig. 14 Parametrizare curbe plane fig. 15 Parametrizare curbe plane fig. 16 Parametrizare curbe plane fig. 17 Parametrizare curbe plane fig. 8 Parametrizare curbe plane fig. 19 Parametrizare curbe plane fig. 20 Parametrizare curbe plane fig. 21 Parametrizare curbe plane fig. 22 Parametrizare curbe plane fig. 23 Parametrizare curbe plane fig. 24 Parametrizare curbe plane fig. 25 Parametrizare curbe plane fig. 26 Parametrizare curbe plane fig. 27 Parametrizare curbe plane fig. 28 Parametrizare curbe plane fig. 29 Parametrizare curbe plane fig. 30 Parametrizare curbe plane fig. 31 Parametrizare curbe plane fig. 32 Parametrizare curbe plane fig. 33 Parametrizare curbe plane fig. 34 Parametrizare curbe plane fig. 35 Parametrizare curbe plane fig. 36

Vezi şi[]

Resurse[]

Advertisement