Fandom

Math Wiki

Curbă plană

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Offset curve.png

Definiţie Edit

Definiţia 1. Se numeşte curbă plană o aplicaţie \gamma : I \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathcal E^2 \! de clasă \mathcal C^k, \; k \in \mathbb N, \! definită pe intervalul real I. (\mathcal E^2 \! este spaţiul afin euclidian de dimensiune 2.)


Observaţie

1. Dacă \gamma \in \mathcal C^0(I), \! vom spune că \gamma \! este o curbă continuă.

2. Dacă \gamma \in \mathcal C^k(I), \; k \ge 1, \! vom spune că \gamma \! este o curbă diferenţiabilă de clasă \mathcal C^k. \!

3. Dacă \gamma \in \mathcal C^{\infty}(I), \! adică \gamma \! este o curbă ce admite derivate continue de orice ordin, atunci vom spune că \gamma \! este o curbă netedă.


Mulţimea \Gamma \overset {not}{=} \gamma (I) = \mathit {Im} (\gamma) = \{ \gamma (t) | t \in I \} \! se numeşte imaginea geometrică a curbei şi este o submulţime de puncte din plan:

\Gamma = \{ M \in \mathcal E^2 \; | \; \exists t \in I \; : \; M = \gamma (t) \}. \!

În practică, această mulţime de puncte-imagine se numeşte curbă.

Reprezentări Edit

Pentru a obţine diferite reprezentări ale unei curbe plane, considerăm un reper afin al spaţiului euclidian \mathcal E^2, \mathcal R_a = \{ O; \vec e_1, \vec e_2 \}. \! Fie M \in \Gamma (\subset \mathcal E^2), \vec r= \vec {OM}, t \in I. \! Atunci \vec r : I \rightarrow \mathcal E^2, \vec r (t) = \vec {OM} \! este numită o reprezentare parametrică a curbei \Gamma. \! Ecuaţia:

\vec r = \vec r (t), \; t \in I \!   (1)

se numeşte ecuaţia vectorială a curbei.


Dacă descompunem vectorii din ecuaţia (1): \vec r = x \vec e_1 + y \vec e_2 \! şi \vec r(t) = x(t) \vec e_1 + y(t) \vec e_2, \! atunci obţinem:

\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases} \; \; t \in I. \!   (2)

numite ecuaţii parametrice ale curbei plane \Gamma. \!


Prin eliminarea parametrului t, se obţine o ecuaţie carteziană de forma:;

F(x, y) =0. \!   (3)

numită ecuaţie carteziană implicită a curbei.


Dacă putem exprima x=g(y) \! sau:

y=f(x)  \!   (4)

atunci spunem că am obţinut ecuaţia explicită a curbei.


Notă. În unele scrieri se pun şi condiţiile ca funcţiile F, f, x, y, \vec r:\!

  • să fie reale, uniforme şi continue;
  • funcţiile x, y stabilesc o corespondenţă biunivocă şi bicontinuă între punctele M \in (\Gamma) \! şi mulţimea valorilor parametrului real t \; (t \in  (t_1, t_2)) \!
  • să admită derivate de ordinul întâi continue.


Definiţia 2.

Vertical evolute.png

Se numeşte arc regulat de curbă plană, mulţimea (\Gamma), \! a punctelor M din \mathbb R^2, \! ale căror coordonate carteziene x, y în raport cu reperul ortonormat \mathcal R = \{ 0, \overline i, \overline j \} \! al lui \mathbb R^2 \! şi vectori de poziţie \vec r \! satifac ecuaţia (1.1), sau ecuaţia (1.2), sau sistemul (1.3), sau ecuaţia (1.4), unde funcţiile F, f, x, y, \dot {\vec r} \! îndeplinesc condiţiile numite de regularitate:

  • sunt reale, uniforme şi continue;
  • funcţiile x, y stabilesc o corespondenţă biunivocă şi bicontinuă între punctele M \in (\Gamma) \! şi mulţimea valorilor parametrului real t \; (t \in (t_1, t_2)); \!
  • în intervalele considerate sunt îndeplinite relaţiile:
 (F_x)^2 + (F_y)^2  \neq 0,  \; \dot x ^2 (t) + \dot y^2(t) \neq 0, \; \| \dot {\vec r}(t) \| \neq 0, \!

unde:

F_x= \frac{\partial F}{\partial x}, \; F_y= \frac{\partial F}{\partial y}, \; \dot x(t)= \frac {dx}{dt}(t), \; \dot y(t)= \frac {dy}{dt}(t), \; \dot {\vec r}(t) = \frac {d \vec r}{dt}(t). \!

Se numeste arc regulat de ordinul n, sau clasă n un arc regulat de curba plană (\Gamma), \! pentru care funcţiile F, f, x, y, \dot {\vec r} \! admit derivate (partiale, respectiv ordinare) continue până la şi inclusiv ordinul n > 1 \! , astfel încât nu toate derivatele de acelaşi ordin să se anuleze.

3° Se numeşte curbă regulată de ordinul n, sau curbă de clasă n, pe scurt: curbă, o reuniune de arce regulate de ordinul n, care au extremităţile, eventual, puncte singulare (în sensul definiţiei 1.3), adică:

(\Gamma) = \underset {i \in I}{\bigcup}(\Gamma_i). \!


Definiţia 3.

1° Se numeşte punct singular al unei curbe plane, punctul în care nu este îndeplinită cel puţin una din condiţiile de regularitate. 2° Se numeste punct ordinar al unei curbe plane, punctul în care sunt îndeplinite toate condiţiile de regularitate.


Element de arc Edit

Fiind dată \Gamma \! o curbă plană dată de reprezentarea vectorială \vec r = \vec r (t), \; t \in I, \! considerăm o nouă valoare a parametrului t' = t+h \in I, \; h \in \mathbb R. \! Obţinem astfel două puncte ale curbei \Gamma: \; M (\vec r(t)) \! şi M' (\vec r(t+h)). \! Lungimea arcului \Gamma_{MM'} \! curpins între punctele M \! şi M' \! se aproximează prin:

l(\Gamma_{MM'}) = \| \vec r(t+h) - \vec r(t) \| = \| \vec {MM'} \|. \!
Element de arc.png

Elementul de arc ds \! este dat de relaţia:

ds= \lim_{h \to 0} \| \vec r(t+h) - \vec r(t) \| = \| d \vec r \|. \!

În continuare, vom exprima elementul de arc pentru diferite reprezentări ale curbei \Gamma. \!


  • Dacă curba \Gamma \! este dată sub formă parametrică, adică:
\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases} \; \; t \in I, \!

atunci elementul de arc este:

ds = \|d \vec r \| = \| \frac {dx}{dt} \vec i + \frac {dy}{dt} \vec j  \|  = \sqrt {[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt \!


  • Dacă curba \Gamma \! este dată prin ecuaţia carteziană, atunci pentru scrierea elementului de arc vom face o parametrizare naturală, şi anume:
\begin{cases} x=t \\ y=y(t) \end{cases} \; \; t \in I. \!

Înlocuind în relaţiile de mai sus, obţinem pentru elementul de arc următoarea relaţie:

ds = \sqrt {1 + [y'(x)]^2} dx. \!


Observaţie Pentru a obţine o reprezentare polară a elementului de arc, trebuie să exprimăm coordonatele carteziene în coordonate polare, în următorul mod:

\begin{cases} x= \rho(\varphi) \cos \varphi, & \rho >0 \\ y = \rho(\varphi) \sin \varphi, & \varphi \in [0, 2 \pi] \end{cases} \!


Elementul de arc în coordonate polare este:

ds = \sqrt {\rho^2 + [\rho']^2}d \varphi \!


În toate cazurile, lungimea unui arc finit de curbă corespunzător punctelor M_0 (\vec r (t_0)), M_1 (\vec r (t_1)) \! se calculează cu formula:

l(\Gamma_{M_0 M_1}) = \int_{t_0}^{t_1} ds. \!   (5)


Exemplu. Fie curba plană dată prin ecuaţia vectorială:

\Gamma: \; \; \vec r =(t-1) \vec i + (t^2 +2) \vec j \!

Ecuaţiile parametrice asociate curbei sunt:

\begin{cases} x=t-1 \\ y= t^2 +2  \end{cases} t \in \mathbb R \!

iar ecuaţia carteziană asociată curbei este:

y=(x+1)^2+ 2 \!

Elementul de arc în cazul parametric este:

ds = \sqrt {[x'(t)]^2 +[y'(t)]^2} dt = \sqrt {1+4t^2} dt \!

iar în cazul cartezian:

ds= \sqrt {1 +4 (x+1)^2}dx \!


Dacă considerăm punctele M_0 (t_0=0) \! şi M_1 (t_1=1) \! de pe curbă, atunci lungimea arcului cuprins între punctele M_0 \! şi M_1 \! este:

l(\Gamma_{M_0 M_1}) = \int_{t_0}^{t_1} ds = \int_0^1 (1+4t^2) dt = \frac 7 3. \!

Parametrizare curbe plane Edit

Parametrizare curbe plane 1.png Parametrizare curbe plane 2.png Parametrizare curbe plane 3.png Parametrizare curbe plane 4.png Parametrizare curbe plane 5.png Parametrizare curbe plane 6.png Parametrizare curbe plane 7.png Parametrizare curbe plane 8.png Parametrizare curbe plane 9.png Parametrizare curbe plane 10.png Parametrizare curbe plane 11.png Parametrizare curbe plane 12.png Parametrizare curbe plane 13.png Parametrizare curbe plane 14.png Parametrizare curbe plane 15.png Parametrizare curbe plane 16.png


Parametrizare curbe plane fig. 1.png Parametrizare curbe plane fig. 2.png Parametrizare curbe plane fig. 3.png Parametrizare curbe plane fig. 4.png Parametrizare curbe plane fig. 5.png Parametrizare curbe plane fig. 6.png Parametrizare curbe plane fig. 7.png Parametrizare curbe plane fig. 8.png Parametrizare curbe plane fig. 9.png Parametrizare curbe plane fig. 10.png Parametrizare curbe plane fig. 11.png Parametrizare curbe plane fig. 12.png Parametrizare curbe plane fig. 13.png Parametrizare curbe plane fig. 14.png Parametrizare curbe plane fig. 15.png Parametrizare curbe plane fig. 16.png Parametrizare curbe plane fig. 17.png Parametrizare curbe plane fig. 8.png Parametrizare curbe plane fig. 19.png Parametrizare curbe plane fig. 20.png Parametrizare curbe plane fig. 21.png Parametrizare curbe plane fig. 22.png Parametrizare curbe plane fig. 23.png Parametrizare curbe plane fig. 24.png Parametrizare curbe plane fig. 25.png Parametrizare curbe plane fig. 26.png Parametrizare curbe plane fig. 27.png Parametrizare curbe plane fig. 28.png Parametrizare curbe plane fig. 29.png Parametrizare curbe plane fig. 30.png Parametrizare curbe plane fig. 31.png Parametrizare curbe plane fig. 32.png Parametrizare curbe plane fig. 33.png Parametrizare curbe plane fig. 34.png Parametrizare curbe plane fig. 35.png Parametrizare curbe plane fig. 36.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki