Fandom

Math Wiki

Curbă circulară

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

O curbă algebrică C_n \! de gradul n care trece prin punctele ciclice al planului se numeşte curbă circulară. Dacă C_n \! trece de m (2m \le n \!) ori prin fiecare punct ciclic, curba se numeşte m-circulară.

Pentru a determina ecuaţia unei astfel de curbe luăm:

\varphi_k(x, y) = a_{k0}x^k + a_{k-1 \; 1} x^{k-1}y + \cdots + a_0y^k \; \; k= 0, 1, \cdots , n \!   (1)

Avem:

C_n \ : F(x, y) = \varphi_n (x, y) + \varphi_{n-1}(x, y) + \cdots + \varphi_1 (x, y) + \varphi_0=0. \!   (2)

Dacă C_n \! este circulară, deci I(1, i, 0) \in C_n \! şi J (1, -i, 0) \in C_n, \! obţinem \varphi_n (1, i) =0, \; \varphi_n(1, -i)=0; \! deci C_n \! are ecuaţia (1) de forma:

\varphi_n(x, y) = (x^2 + y^2) \zeta_{n-2} (x, y). \!   (3)


Dacă C_n \! este o curbă m-circulară, atunci:

\varphi_n = (x^2 + y^2)^m \zeta_{n-2m}, \; \; \varphi_{n-1} = \!
= (x^2 + y^2)^{m-1} \zeta_{n-2m+1}, \cdots , \varphi_{n-m+1} = (x^2 + y^2) \zeta_{n-m-1} \!

Căci, dacă C_n \! e bicirculară, atunci I şi J sunt puncte duble (puncte multiple de ordinul doi) pentru curbă. Deci, în (3) avem:

\zeta_{n-2}(x, y) = (x^2 + y^2) \zeta_{n-4}(x, y). \!

Pe de altă parte, dreapta y=ix + \lambda \! (respectiv y=-ix + \lambda \!), trecând prin I, (respectiv J), taie pe C_n \! în două puncte confundate în I(J) şi în alte n-2 puncte la distanţă finită; abscisele acestor puncte sunt rădăcinile ecuaţiei:

F(x, ix + \lambda) = \varphi_{n-1}(1, i) x^{n-1} + \!
+ \left [ -4 \lambda^2 \zeta_{n-4}(1, i) + \frac {\partial \varphi_{n-1}(1, i)}{\partial y} + \varphi_{n-2}(1, i)  \right ] x^{n-2} + \cdots + a_{00}=0. \!

Deci I e punct dublu dacă \varphi_{n-1}(1, i) =0; \! deci \varphi_{n-1}= (x^2+y^2) \zeta_{n-3}. \!

Aşadar, ecuaţia unei curbe bicirculare C_n \! este:

(x^2+y^2)^2 \zeta_{n-4} +(x^2+y^2) \zeta_{n-3} + \varphi_{n-2} + \cdots + \varphi_1 + \varphi_0 =0. \!

Also on Fandom

Random Wiki