Fandom

Math Wiki

Curbă circulară

1.032pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

O curbă algebrică C_n \! de gradul n care trece prin punctele ciclice al planului se numeşte curbă circulară. Dacă C_n \! trece de m (2m \le n \!) ori prin fiecare punct ciclic, curba se numeşte m-circulară.

Pentru a determina ecuaţia unei astfel de curbe luăm:

\varphi_k(x, y) = a_{k0}x^k + a_{k-1 \; 1} x^{k-1}y + \cdots + a_0y^k \; \; k= 0, 1, \cdots , n \!   (1)

Avem:

C_n \ : F(x, y) = \varphi_n (x, y) + \varphi_{n-1}(x, y) + \cdots + \varphi_1 (x, y) + \varphi_0=0. \!   (2)

Dacă C_n \! este circulară, deci I(1, i, 0) \in C_n \! şi J (1, -i, 0) \in C_n, \! obţinem \varphi_n (1, i) =0, \; \varphi_n(1, -i)=0; \! deci C_n \! are ecuaţia (1) de forma:

\varphi_n(x, y) = (x^2 + y^2) \zeta_{n-2} (x, y). \!   (3)


Dacă C_n \! este o curbă m-circulară, atunci:

\varphi_n = (x^2 + y^2)^m \zeta_{n-2m}, \; \; \varphi_{n-1} = \!
= (x^2 + y^2)^{m-1} \zeta_{n-2m+1}, \cdots , \varphi_{n-m+1} = (x^2 + y^2) \zeta_{n-m-1} \!

Căci, dacă C_n \! e bicirculară, atunci I şi J sunt puncte duble (puncte multiple de ordinul doi) pentru curbă. Deci, în (3) avem:

\zeta_{n-2}(x, y) = (x^2 + y^2) \zeta_{n-4}(x, y). \!

Pe de altă parte, dreapta y=ix + \lambda \! (respectiv y=-ix + \lambda \!), trecând prin I, (respectiv J), taie pe C_n \! în două puncte confundate în I(J) şi în alte n-2 puncte la distanţă finită; abscisele acestor puncte sunt rădăcinile ecuaţiei:

F(x, ix + \lambda) = \varphi_{n-1}(1, i) x^{n-1} + \!
+ \left [ -4 \lambda^2 \zeta_{n-4}(1, i) + \frac {\partial \varphi_{n-1}(1, i)}{\partial y} + \varphi_{n-2}(1, i)  \right ] x^{n-2} + \cdots + a_{00}=0. \!

Deci I e punct dublu dacă \varphi_{n-1}(1, i) =0; \! deci \varphi_{n-1}= (x^2+y^2) \zeta_{n-3}. \!

Aşadar, ecuaţia unei curbe bicirculare C_n \! este:

(x^2+y^2)^2 \zeta_{n-4} +(x^2+y^2) \zeta_{n-3} + \varphi_{n-2} + \cdots + \varphi_1 + \varphi_0 =0. \!

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki