FANDOM


O curbă algebrică $ C_n \! $ de gradul n care trece prin punctele ciclice al planului se numeşte curbă circulară. Dacă $ C_n \! $ trece de m ($ 2m \le n \! $) ori prin fiecare punct ciclic, curba se numeşte m-circulară.

Pentru a determina ecuaţia unei astfel de curbe luăm:

$ \varphi_k(x, y) = a_{k0}x^k + a_{k-1 \; 1} x^{k-1}y + \cdots + a_0y^k \; \; k= 0, 1, \cdots , n \! $   (1)

Avem:

$ C_n \ : F(x, y) = \varphi_n (x, y) + \varphi_{n-1}(x, y) + \cdots + \varphi_1 (x, y) + \varphi_0=0. \! $   (2)

Dacă $ C_n \! $ este circulară, deci $ I(1, i, 0) \in C_n \! $ şi $ J (1, -i, 0) \in C_n, \! $ obţinem $ \varphi_n (1, i) =0, \; \varphi_n(1, -i)=0; \! $ deci $ C_n \! $ are ecuaţia (1) de forma:

$ \varphi_n(x, y) = (x^2 + y^2) \zeta_{n-2} (x, y). \! $   (3)


Dacă $ C_n \! $ este o curbă m-circulară, atunci:

$ \varphi_n = (x^2 + y^2)^m \zeta_{n-2m}, \; \; \varphi_{n-1} = \! $
$ = (x^2 + y^2)^{m-1} \zeta_{n-2m+1}, \cdots , \varphi_{n-m+1} = (x^2 + y^2) \zeta_{n-m-1} \! $

Căci, dacă $ C_n \! $ e bicirculară, atunci I şi J sunt puncte duble (puncte multiple de ordinul doi) pentru curbă. Deci, în (3) avem:

$ \zeta_{n-2}(x, y) = (x^2 + y^2) \zeta_{n-4}(x, y). \! $

Pe de altă parte, dreapta $ y=ix + \lambda \! $ (respectiv $ y=-ix + \lambda \! $), trecând prin I, (respectiv J), taie pe $ C_n \! $ în două puncte confundate în I(J) şi în alte n-2 puncte la distanţă finită; abscisele acestor puncte sunt rădăcinile ecuaţiei:

$ F(x, ix + \lambda) = \varphi_{n-1}(1, i) x^{n-1} + \! $
$ + \left [ -4 \lambda^2 \zeta_{n-4}(1, i) + \frac {\partial \varphi_{n-1}(1, i)}{\partial y} + \varphi_{n-2}(1, i) \right ] x^{n-2} + \cdots + a_{00}=0. \! $

Deci I e punct dublu dacă $ \varphi_{n-1}(1, i) =0; \! $ deci $ \varphi_{n-1}= (x^2+y^2) \zeta_{n-3}. \! $

Aşadar, ecuaţia unei curbe bicirculare $ C_n \! $ este:

$ (x^2+y^2)^2 \zeta_{n-4} +(x^2+y^2) \zeta_{n-3} + \varphi_{n-2} + \cdots + \varphi_1 + \varphi_0 =0. \! $