Curbă Bézier

Introducere

Scopul de bază al graficii asistate pe calculator este acela de a construi imagini cât mai apropiate de realitate. Pentru a desena un obiect real, suprafaţa sa trebuie mai întâi calculată şi stocată în memoria calculatorului ca obiect matematic.

O primă metodă, recursivă, de a construi curbe cât mai aproape de realitate, pornind de la un număr finit de puncte, numite şi puncte de control, a fost dată de Paul de Casteljau (inginer la Citroën) în 1959.

În 1962, Pierre Bézier (inginer la Renault) dă ecuaţiile parametrice ale acestor curbe.

O altă metodă, de această dată non-parametrică de a genera suprafeţe cât mai reale este metoda liniilor de nivel, dezvoltată de James Sethian şi Stanley Osher.

Curbe Bézier

Fie $P_{0},P_{1},\cdots ,P_{n},\;\;n+1\!$ puncte distincte din spaţiul \mathcal E^3, numite puncte de control sau controale. Poligonul care se formează unind punctele de control începând cu $P_0 \!$ şi terminând cu $P_n \!$ se numeşte poligon de control sau poligon Bézier. Poligonul de control nu este unic.

Definiţia 1. Curba Bézier de gard n corespunzătoare controalelor $P_{0},P_{1},\cdots ,P_{n}\!$ este:

$B(t)=\sum _{k=0}^{n}P_{k}b_{k,n}(t),\!$

unde $b_{k,n}(t)\!$ sunt polinoamele Bernstein de grad n şi sunt date de:

$b_{k,n}(t)=C_{n}^{k}t^{k}(1-t)^{n-k},\;t\in [0,1].\!$

Exemplul 1. Pentru $n=1 \!$ (două controale $P_0 \!$ şi $P_1 \!$) obţinem o curbă Bézier liniară, definită astfel:

$B(t)=(1-t)P_{0}+tP_{1},\;t\in [0,1]\!$

ceea ce este echivalent cu:

$x(t)=(1-t)x_{P_{0}}+tx_{P_{1}}\!$

$y(t)=(1-t)y_{P_{0}}+ty_{P_{1}}\!$

$z(t)=(1-t)z_{P_{0}}+tz_{P_{1}}.\!$

Exemplul 2. Pentru $n=2 \!$ avem 3 controale, care definesc o curbă Bézier pătratică:

$B(t)=(1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{1}+t^{2}P_{2},\;t\in [0,1].\!$

Exemplul 3. Pentru $n=3 \!$ (4 controale) obţinem o curbă Bézier cubică:

$B(t)=(1-t)^{3}P_{0}+3t(1-t)^{2}+3t^{2}(1-t)P_{2}+t^{3}P_{3},\;t\in [0,1].\!$

Observaţia 1. $B(0)=P_{0}\!$ şi $B(1)=P_{n}.\!$

Interpretare grafică. Poziţia punctului $B(t_{0}),\!$ penatru $t_{0}\in (0,1)\!$ se obţine grafic astfel:

• se consideră punctele care împart fiecare segment $P_{i-1}P_{i}\!$ în raportul t_0 : 1-t_0
• se consideră drept controale aceste noi puncte şi se repetă punctul anterior până când rămâne un singur punct. Acest punct este $B(t_{0}).\!$

Vezi şi

• Suprafeţe Bézier

Resurse

• WolframAlpha.com
• DynamicGeometry.com