FANDOM


Bezier3extension

Introducere Edit

Scopul de bază al graficii asistate pe calculator este acela de a construi imagini cât mai apropiate de realitate. Pentru a desena un obiect real, suprafaţa sa trebuie mai întâi calculată şi stocată în memoria calculatorului ca obiect matematic.

O primă metodă, recursivă, de a construi curbe cât mai aproape de realitate, pornind de la un număr finit de puncte, numite şi puncte de control, a fost dată de Paul de Casteljau (inginer la Citroën) în 1959.

În 1962, Pierre Bézier (inginer la Renault) dă ecuaţiile parametrice ale acestor curbe.

O altă metodă, de această dată non-parametrică de a genera suprafeţe cât mai reale este metoda liniilor de nivel, dezvoltată de James Sethian şi Stanley Osher.

Curbe Bézier Edit

Fie $ P_0, P_1, \cdots , P_n, \;\; n+1 \! $ puncte distincte din spaţiul \mathcal E^3, numite puncte de control sau controale. Poligonul care se formează unind punctele de control începând cu $ P_0 \! $ şi terminând cu $ P_n \! $ se numeşte poligon de control sau poligon Bézier. Poligonul de control nu este unic.


Definiţia 1. Curba Bézier de gard n corespunzătoare controalelor $ P_0, P_1, \cdots , P_n \! $ este:

$ B(t) = \sum_{k=0}^n P_k b_{k, n} (t), \! $

unde $ b_{k, n} (t) \! $ sunt polinoamele Bernstein de grad n şi sunt date de:

$ b_{k, n} (t) = C_n^k t^k (1-t)^{n-k}, \; t \in [0, 1]. \! $


Exemplul 1. Pentru $ n=1 \! $ (două controale $ P_0 \! $ şi $ P_1 \! $) obţinem o curbă Bézier liniară, definită astfel:

$ B(t) = (1-t) P_0 + t P_1, \; t \in [0, 1] \! $

ceea ce este echivalent cu:

$ x(t) = (1-t) x_{P_0} +t x_{P_1} \! $
$ y(t) = (1-t) y_{P_0} +t y_{P_1} \! $
$ z(t) = (1-t) z_{P_0} +t z_{P_1}. \! $


Exemplul 2. Pentru $ n=2 \! $ avem 3 controale, care definesc o curbă Bézier pătratică:

$ B(t) = (1-t)^2 P_0 + 2t (1-t)P_1 + t^2 P_2, \; t \in [0, 1]. \! $


Exemplul 3. Pentru $ n=3 \! $ (4 controale) obţinem o curbă Bézier cubică:

$ B(t) = (1-t)^3 P_0 +3t (1-t)^2 +3t^2 (1-t)P_2 +t^3 P_3, \; t \in [0, 1]. \! $


Observaţia 1. $ B(0) = P_0 \! $ şi $ B(1) = P_n. \! $


Interpretare grafică. Poziţia punctului $ B(t_0), \! $ penatru $ t_0 \in (0, 1) \! $ se obţine grafic astfel:

  • se consideră punctele care împart fiecare segment $ P_{i-1}P_i \! $ în raportul t_0 : 1-t_0
  • se consideră drept controale aceste noi puncte şi se repetă punctul anterior până când rămâne un singur punct. Acest punct este $ B(t_0). \! $

Curbe Bezier 2

Vezi şi Edit

Resurse Edit