Fandom

Math Wiki

Curbă Bézier

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Bezier3extension.gif

Introducere Edit

Scopul de bază al graficii asistate pe calculator este acela de a construi imagini cât mai apropiate de realitate. Pentru a desena un obiect real, suprafaţa sa trebuie mai întâi calculată şi stocată în memoria calculatorului ca obiect matematic.

O primă metodă, recursivă, de a construi curbe cât mai aproape de realitate, pornind de la un număr finit de puncte, numite şi puncte de control, a fost dată de Paul de Casteljau (inginer la Citroën) în 1959.

În 1962, Pierre Bézier (inginer la Renault) dă ecuaţiile parametrice ale acestor curbe.

O altă metodă, de această dată non-parametrică de a genera suprafeţe cât mai reale este metoda liniilor de nivel, dezvoltată de James Sethian şi Stanley Osher.

Curbe Bézier Edit

Fie P_0, P_1, \cdots , P_n, \;\; n+1 \! puncte distincte din spaţiul \mathcal E^3, numite puncte de control sau controale. Poligonul care se formează unind punctele de control începând cu P_0 \! şi terminând cu P_n \! se numeşte poligon de control sau poligon Bézier. Poligonul de control nu este unic.


Definiţia 1. Curba Bézier de gard n corespunzătoare controalelor P_0, P_1, \cdots , P_n \! este:

B(t) = \sum_{k=0}^n P_k b_{k, n} (t), \!

unde b_{k, n} (t) \! sunt polinoamele Bernstein de grad n şi sunt date de:

b_{k, n} (t) = C_n^k t^k (1-t)^{n-k}, \; t \in [0, 1]. \!


Exemplul 1. Pentru n=1 \! (două controale P_0 \! şi P_1 \!) obţinem o curbă Bézier liniară, definită astfel:

B(t) = (1-t) P_0 + t P_1, \; t \in [0, 1] \!

ceea ce este echivalent cu:

x(t) = (1-t) x_{P_0} +t x_{P_1} \!
y(t) = (1-t) y_{P_0} +t y_{P_1} \!
z(t) = (1-t) z_{P_0} +t z_{P_1}. \!


Exemplul 2. Pentru n=2 \! avem 3 controale, care definesc o curbă Bézier pătratică:

B(t) = (1-t)^2 P_0 + 2t (1-t)P_1 + t^2 P_2, \; t \in [0, 1]. \!


Exemplul 3. Pentru n=3 \! (4 controale) obţinem o curbă Bézier cubică:

B(t) = (1-t)^3 P_0 +3t (1-t)^2 +3t^2 (1-t)P_2 +t^3 P_3, \; t \in [0, 1]. \!


Observaţia 1. B(0) = P_0 \! şi B(1) = P_n. \!


Interpretare grafică. Poziţia punctului B(t_0), \! penatru t_0 \in (0, 1) \! se obţine grafic astfel:

  • se consideră punctele care împart fiecare segment P_{i-1}P_i \! în raportul t_0 : 1-t_0
  • se consideră drept controale aceste noi puncte şi se repetă punctul anterior până când rămâne un singur punct. Acest punct este B(t_0). \!

Curbe Bezier 2.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki