Fandom

Math Wiki

Curbă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Helicoid projection.png

Definiţie Edit

Definiţie. Se numeşte curbă spaţială o aplicaţie \gamma: I \subset \mathbb R \rightarrow \mathcal E^3 \! de clasă \mathcal C^k, \; k \in \mathbb N \! pe intervalul I.


Observaţie.

1. Dacă k=0 \! atunci \gamma \in \mathcal C^0(k), \! deci \gamma \! este o curbă continuă.

2. Dacă k \ge 1, \! atunci \gamma \! este o curbă diferenţiabilă de clasă \mathcal C^k. \!

3. Dacă k=z \! atunci spunem că \gamma \! este o curbă netedă.


Pentru a obţine diferite reprezentări ale curbei spaţiale \Gamma \! se consideră un reper afin ortonormal al spaţiului \mathcal E^3, \; \mathcal R_a^O \{ O; \vec i; \vec j; \vec k \}. \! Asociem fiecărui punct M=\gamma (t) \! vectorul de poziţie \vec r= \vec {OM}. \! Ecuaţia:

\Gamma: \; \vec r = \vec r (t) \!

se numeşte ecuaţia vectorială (ecuaţia parametrică vectorială) a curbei spaţiale. Dacă descompunem vectorii din ecuaţia anterioară: \vec r = x \vec i + y \vec j + z \vec k \! şi \vec r(t) = x(t) \vec i + y(t) \vec j + z(t) \vec k \! atunci obţinem ecuaţiile parametrice (scalare) ale curbei spaţiale \Gamma: \!

\Gamma: \; \begin{cases} x=x(y) \\ y=y(y) \\ z=z(y) \end{cases} \; t \in I \!


Prin eliminarea parametrului t din sistemul anterior, se obţin ecuaţiile carteziene implicite ale curbei spaţiale:

\Gamma: \; \begin{cases} f(x, y, z) =0 \\ g (x, y, z) =0 \end{cases} \!

Dacă putem exprima y şi z în funcţie de x, sub forma:

\Gamma: \; \begin{cases} y=y(x) \\ z=z(x) \end{cases} \!

atunci obţinem ecuaţiile carteziene explicite ale curbei spaţiale.

Definiţie explicită Edit

Se numeşte curbă în spaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiu a căror coordonate sunt date de:

y = F (x, y), \!

z = G (x, y), \! unde

a_1 < x < b_1 \!

a_2 < y < b_2 \!

cu a_1, a_2, b_1, b_2 \in \mathbb R sunt fixate.

Definiţie implicită Edit

Se numeşte curbă în spaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiu a căror coordonate sunt date de:

F (x, y, z) = 0 \!

G (x, y, z) = 0 \! unde

a_1 < x < b_1 \!

a_2 < y < b_2 \!

a_3 < z < b_3 \!

cu a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3 \in \mathbb R sunt fixate.

Definiţie parametrică Edit

Se numeşte curbă în spaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiu a căror coordonate sunt date de:


\Gamma: \left\{ \begin{array}{lr} 
x = x(t) \\ 
y = y(t), & t \in [a, b] \\ 
z= z(t)
 \end{array} \right.

funcţiile reale x, y, z fiind continue pe [a, b] .

Definiţie vectorială Edit

Se numeşte curba în spaţiu dată vectorial mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiu pentru care vectorul de poziţie \vec {OM} = \vec r \! este dat de:

\vec r = \overrightarrow {r(t)} = x(t) \vec i +  y(t) \vec j +  z(t) \vec k, \; t \in [a, b].


Remarca 1: O curbă în spaţiu poate fi dată şi ca intersecţie de două suprafeţe, în anumite condiţii putându-se pune şi sub forma parametrică.

Remarca 2: În cele ce urmează vom nota cu litere mici coordonatele unui punct de pe curbă şi cu litere mari coordonatele unui punct de pe planele sau dreptele ataşate curbei în punctul respectiv.

Tangenta la o curbă în spaţiu Edit

(Detalii la articolul Tangentă la o curbă)

Planul normal la o curbă în spaţiu Edit

(Detalii la articolul Plan normal la o curbă)

Cercul osculator al unei curbe plane Edit

(Detalii la articolul Cerc osculator)

Lungimea unui arc de curbă, parametrul natural al unei curbe Edit

(Detalii la articolul Lungimea unui arc de curbă)

Reperul şi formulele lui Frenet Edit

(Detalii la articolul Formulele lui Frenet)


Triedrul lui Frenet Edit

(Detalii la articolul Triedrul lui Frenet)


Calcului curburii şi torsiunii Edit

(Detalii la articolul Curbură)

Vezi şi Edit

Surse Edit


În alte limbi
* English

Also on Fandom

Random Wiki