Wikia

Math Wiki

Cosinus director

Comments0
1.001pages on
this wiki

Cosinuşii directori ai unei direcţii, având un anumit sens, sunt coordonatele vectorului unitar de pe acea direcţie şi având sensul ales.

Considerăm un vector \mathbf v \! şi fie a, b, c \! unghiurile format de acesta cu axele de coordonate. Atunci cosinuşii directori sunt:

\alpha = \cos a = \frac{\mathbf v \cdot \mathbf {\hat x}}{|\mathbf v|} \!
\beta = \cos b = \frac{\mathbf v \cdot \mathbf {\hat y}}{|\mathbf v|} \!   (1)
\gamma = \cos c = \frac{\mathbf v \cdot \mathbf {\hat z}}{|\mathbf v|}. \!


Direcţia oricărei drepte din spaţiu poate fi descrisă de un vector \mathbf v \! de modul unitar, cu originea în O, originea axelor de coordonate carteziene. Dacă V este extremitatea vectorului, iar l, m, n \! coordonatele sale, atunci:

l^2 + m^2 + n^2 = 1. \!   (1)

l, m, n, \! care sunt unici pentru o dreaptă, se numesc cosinuşii directori ai acelei drepte.

Cosinusii directori
Nicolae ComanAdded by Nicolae Coman

Avem următoarea proprietate:

\lambda, \mu, \nu \! sunt coordonatele unui punct al dreptei ce trece prin origine şi are cosinuşii directori l, m, n \! dacă şi numai dacă cele două triplete de numere sunt proporţionale.

Unghiul dintre două direcţii Edit

Aşadar, un triplet l, m, n \! cu proprietatea (1) defineşte o direcţie în spaţiu. Unghiul format de aceasta cu direcţia determinată de l', m', n' \! (triplet care satisface (1)) e dat de:

\cos \chi = ll' + mm' + nn'. \; \; (0 \le \chi \le \pi) \!   (2)

Relaţia rezultă din definiţia produsului scalar. O altă demonstraţie rezultă din formula pentru lungimea unui segment:

|VV'|^2 = (l-l')^2 + (m-m')^2 + (n-n')^2 =  \!
= 2-2(ll'+ mm' + nn') \!   (3)

S-a utilizat relaţia:

(bc'-b'c)^2 + (ca'-c'a)^2 + (ab'-a'b)^2 = (a^2+b^2+c^2)(a'^2+b'^2+c'^2)-(aa'+bb' + cc')^2 \forall a, b, c \in \mathbb R \!   (4)


Dar în triunghiul OVV' \! avem:

|VV'|^2 = |OV|^2 + |OV'|^2 - 2 |OV| \cdot |OV'| \cdot \cos \chi = 2-2 \cos \chi. \!   (5)


Consecinţă:

Direcţiile (l, m, n) \! şi (l', m', n') \! sunt ortogonale dacă şi numai dacă:

 ll' + mm' + nn'=0. \!   (6)

Din (2) şi (4) rezultă:

\sin \chi = \pm \sqrt {(mn'-m'n)^2 + (nl'-n'l)^2 + (lm'-l'm)^2} \!


Dacă \psi \! este unghiul dintre direcţiile (\lambda, \mu, \nu) \! şi (\lambda', \mu', \nu'), \! atunci:

\cos \psi = \frac{\lambda \lambda' + \mu \mu' + \nu \nu'}{\sqrt{(\lambda^2 + \mu^2 + \nu^2)(\lambda'^2 + \mu'^2 + \nu'^2)}}; \!
\sin \psi =\sqrt { \frac {(\mu \nu'-\mu' \nu)^2+ (\nu \lambda'- \nu' \lambda)^2 + (\lambda \mu' - \lambda' \mu)^2}{(\lambda^2 + \mu^2 + \nu^2)(\lambda'^2 + \mu'^2 + \nu'^2)}}. \!


Proiecţia segmentului P_1P_2 \! pe direcţia (\lambda, \mu, \nu) \! are lungimea:

\frac {\lambda (x_2 - x_1) + \mu (y_2 - y_1) + \nu (z_2 - z_1)}{\sqrt {\lambda^2 + \mu^2 + \nu^2}}. \!


Direcţia perpendiculară simultan pe direcţiile (\lambda, \mu, \nu) \! şi (\lambda', \mu', \nu') \! are direcţia:

(\mu \nu'-\mu' \nu, \nu \lambda'- \nu' \lambda, \lambda \mu' - \lambda' \mu) \!

Iar dacă \chi \! este unghiul dintre direcţiile menţionate, direcţia perpendiculară pe acestea are cosinuşii directori:

\pm (\mu \nu'-\mu' \nu, \nu \lambda'- \nu' \lambda, \lambda \mu' - \lambda' \mu) \div \sin \chi. \!

Semnul plus se aplică în sensul în care avansează un burghiu drept ce se roteşte în sensul în care direcţia (\lambda, \mu, \nu) \! se roteşte peste (\lambda', \mu', \nu'). \!

Direcţiile (\lambda_1, \mu_1, \nu_1), \;(\lambda_2, \mu_2, \nu_2), \;(\lambda_3, \mu_3, \nu_3) \! sunt simultan paralele cu un acelaşi plan dacă şi numai dacă:

\begin{vmatrix} \lambda_1 & \mu_1 & \nu_1 \\  \lambda_2 & \mu_2 & \nu_2 \\  \lambda_3 & \mu_3 & \nu_3  \end{vmatrix} =0. \!


Resurse Edit

Around Wikia's network

Random Wiki