FANDOM


Cosinuşii directori ai unei direcţii, având un anumit sens, sunt coordonatele vectorului unitar de pe acea direcţie şi având sensul ales.

Considerăm un vector $ \mathbf v \! $ şi fie $ a, b, c \! $ unghiurile format de acesta cu axele de coordonate. Atunci cosinuşii directori sunt:

$ \alpha = \cos a = \frac{\mathbf v \cdot \mathbf {\hat x}}{|\mathbf v|} \! $
$ \beta = \cos b = \frac{\mathbf v \cdot \mathbf {\hat y}}{|\mathbf v|} \! $   (1)
$ \gamma = \cos c = \frac{\mathbf v \cdot \mathbf {\hat z}}{|\mathbf v|}. \! $


Direcţia oricărei drepte din spaţiu poate fi descrisă de un vector $ \mathbf v \! $ de modul unitar, cu originea în O, originea axelor de coordonate carteziene. Dacă V este extremitatea vectorului, iar $ l, m, n \! $ coordonatele sale, atunci:

$ l^2 + m^2 + n^2 = 1. \! $   (1)

$ l, m, n, \! $ care sunt unici pentru o dreaptă, se numesc cosinuşii directori ai acelei drepte.

Cosinusii directori

Avem următoarea proprietate:

$ \lambda, \mu, \nu \! $ sunt coordonatele unui punct al dreptei ce trece prin origine şi are cosinuşii directori $ l, m, n \! $ dacă şi numai dacă cele două triplete de numere sunt proporţionale.

Unghiul dintre două direcţii Edit

Aşadar, un triplet $ l, m, n \! $ cu proprietatea (1) defineşte o direcţie în spaţiu. Unghiul format de aceasta cu direcţia determinată de $ l', m', n' \! $ (triplet care satisface (1)) e dat de:

$ \cos \chi = ll' + mm' + nn'. \; \; (0 \le \chi \le \pi) \! $   (2)

Relaţia rezultă din definiţia produsului scalar. O altă demonstraţie rezultă din formula pentru lungimea unui segment:

$ |VV'|^2 = (l-l')^2 + (m-m')^2 + (n-n')^2 = \! $
$ = 2-2(ll'+ mm' + nn') \! $   (3)

S-a utilizat relaţia:

$ (bc'-b'c)^2 + (ca'-c'a)^2 + (ab'-a'b)^2 = (a^2+b^2+c^2)(a'^2+b'^2+c'^2)-(aa'+bb' + cc')^2 \forall a, b, c \in \mathbb R \! $   (4)


Dar în triunghiul $ OVV' \! $ avem:

$ |VV'|^2 = |OV|^2 + |OV'|^2 - 2 |OV| \cdot |OV'| \cdot \cos \chi = 2-2 \cos \chi. \! $   (5)


Consecinţă:

Direcţiile $ (l, m, n) \! $ şi $ (l', m', n') \! $ sunt ortogonale dacă şi numai dacă:

$ ll' + mm' + nn'=0. \! $   (6)

Din (2) şi (4) rezultă:

$ \sin \chi = \pm \sqrt {(mn'-m'n)^2 + (nl'-n'l)^2 + (lm'-l'm)^2} \! $


Dacă $ \psi \! $ este unghiul dintre direcţiile $ (\lambda, \mu, \nu) \! $ şi $ (\lambda', \mu', \nu'), \! $ atunci:

$ \cos \psi = \frac{\lambda \lambda' + \mu \mu' + \nu \nu'}{\sqrt{(\lambda^2 + \mu^2 + \nu^2)(\lambda'^2 + \mu'^2 + \nu'^2)}}; \! $
$ \sin \psi =\sqrt { \frac {(\mu \nu'-\mu' \nu)^2+ (\nu \lambda'- \nu' \lambda)^2 + (\lambda \mu' - \lambda' \mu)^2}{(\lambda^2 + \mu^2 + \nu^2)(\lambda'^2 + \mu'^2 + \nu'^2)}}. \! $


Proiecţia segmentului $ P_1P_2 \! $ pe direcţia $ (\lambda, \mu, \nu) \! $ are lungimea:

$ \frac {\lambda (x_2 - x_1) + \mu (y_2 - y_1) + \nu (z_2 - z_1)}{\sqrt {\lambda^2 + \mu^2 + \nu^2}}. \! $


Direcţia perpendiculară simultan pe direcţiile $ (\lambda, \mu, \nu) \! $ şi $ (\lambda', \mu', \nu') \! $ are direcţia:

$ (\mu \nu'-\mu' \nu, \nu \lambda'- \nu' \lambda, \lambda \mu' - \lambda' \mu) \! $

Iar dacă $ \chi \! $ este unghiul dintre direcţiile menţionate, direcţia perpendiculară pe acestea are cosinuşii directori:

$ \pm (\mu \nu'-\mu' \nu, \nu \lambda'- \nu' \lambda, \lambda \mu' - \lambda' \mu) \div \sin \chi. \! $

Semnul plus se aplică în sensul în care avansează un burghiu drept ce se roteşte în sensul în care direcţia $ (\lambda, \mu, \nu) \! $ se roteşte peste $ (\lambda', \mu', \nu'). \! $

Direcţiile $ (\lambda_1, \mu_1, \nu_1), \;(\lambda_2, \mu_2, \nu_2), \;(\lambda_3, \mu_3, \nu_3) \! $ sunt simultan paralele cu un acelaşi plan dacă şi numai dacă:

$ \begin{vmatrix} \lambda_1 & \mu_1 & \nu_1 \\ \lambda_2 & \mu_2 & \nu_2 \\ \lambda_3 & \mu_3 & \nu_3 \end{vmatrix} =0. \! $


Resurse Edit