FANDOM


Un inel K se numeşte corp dacă $ 0 \neq 1 \! $ şi orice element nenul din K este simetrizabil în raport cu înmulţirea. Dacă înmulţirea este comutativă, K se numeşte corp comutativ.

O funcţie $ f: K \rightarrow K' \! $ de la un corp $ K \! $ la un corp $ K' \! $ se numeşte morfism (izomorfism) de corpuri dacă este morfism (izomorfism) de la $ f: K \rightarrow K' \! $ la $ K' \! $ considerate ca inele.

Un izomorfism (morfism) $ f: R \rightarrow R \! $ de la inelul $ (R, +, \cdot) \! $ în el însăşi se numeşte automorfism (respectiv endomorfism) al inelului R. Aceeaşi terminologie se foloseşte şi pentru corpuri.

Inelul $ (\mathbb Z_n, +, \cdot) \! $ este corp dacă şi numai dacă n este număr prim.

Aritmetica polinoamelor cu coeficienţi într-un corp comutativ Edit

Teorema împărţirii cu rest: Fie K un corp comutativ şi $ f, g \in K[X], \; g \neq 0. \! $ Există unic determinate polinoamele $ q, r \in K[X] \! $ astfel încât $ f=gq+r, \! $ unde $ grad \; r < grad \; g \! $ dacă $ r \neq 0. \! $

Polinoamele q şi r din teorema împărţirii ($ f= gq+r \! $) se numesc câtul, respectiv restul împărţirii polinomului f prin polinomul g.


Fie K corp comutativ şi $ f, g \in K[X]. \! $ Spunem că f este divizibil cu g şi notăm $ g |f \! $ sau $ f \vdots g, \! $ dacă există $ h \in K[X] \! $ cu $ f=g \cdot h.\! $

Fie K corp comutativ şi $ f, g \in K[X]. \! $ Spunem că f este asociat în divizibilitate cu g şi scriem $ f \sim g, \! $ dacă $ f|g \! $ şi $ g|f. \! $


Teorema restului. Restul împărţirii polinomului $ f \in K[X] \! $ prin $ X-\alpha \in K[X] \! $ este egal cu valoarea în $ \alpha \! $ a polinomului.


Teorema lui Bézout: Polinomul $ f \in K[X] \! $ se divide prin polinomul $ X-\alpha \in K[X] \! $ dacă şi numai dacă $ f(\alpha)=0. \! $


Fie K corp corp comutativ, $ f \in K[X], \; a \in K \! $ şi $ n \in \mathbb N, \; n \ge 2. \! $ Spunem că a este rădăcină multiplă de ordin n dacă $ (X-a)^n | f \! $ şi $ (X-a)^{n+1} \not | f. \! $

Fie K un corp comutativ şi

$ f= a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+ \cdots + a_1X+a_0, \! $ din $ K[X]. \! $

Polinomul:

$ f' = na_nX^{n-1} +(n-1)a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 \! $

se numeşte derivata formală de ordinul I a polinomului f. Derivata formală de ordinul II a polinomului f este derivata formală de ordinul I a polinomului $ f' \! $ şi se notează $ f'' . \! $ Derivata formală de ordinul k a polinomului f este derivata formală de ordinul I a polinomului $ f^{(k-1)}. \! $


Fie K un corp comutativ şi $ f \in K[X] \! $ un polinom de $ grad \; f = n >0. \! $ Spunem că polinomul f este reductibil peste K dacă există polinoamele $ g, h \in K[X], \! $ de grade strict mai mici ca n, cu $ f=gh. \! $ În caz contrar, spunem că f este ireductibil peste K.

Orice polinom f din $ K[X], \; grad \; f \ge 1, \! $ se descompune în mod unic în produs de polinoame ireductibile peste K.

Vezi şi Edit

Resurse Edit