FANDOM


Relaţia cu coordonatele carteziene Edit

Coord sferice fig. 1

Punctul P având coordonatele sferice $ r, \theta, \varphi \! $

$ x= r \cos \theta \sin \varphi, \! $
$ y= r \sin \theta \sin \varphi, \! $
$ z= r \cos \varphi. \! $
Coord sferice fig. 2

Punctul P având coordonatele sferice $ r, \theta, \varphi, \! $ unde $ r < 0 \! $

Observaţie. Dacă $ r<0, \! $ punctul $ (r, \theta, \varphi) \! $ corespunde punctului $ (-r, \pi + \theta, \pi - \varphi), \! $ care este simetric punctului $ (-r, \theta, \varphi) \! $ în raport cu originea axelor de coordonate.


Exemplu:

Coord sferice fig. 3

Sfera de ecuaţie $ \mathbf S \ : r=a \! $

Pentru sfera de ecuație carteziană:

$ \mathbf S \ : x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \! $

putem face transformarea:

$ \mathbf S \ : (r \cos \theta \sin \varphi)^2 + (r \sin \theta \sin \varphi)^2 + (r \cos \varphi)^2 = a^2 \! $

şi obţinem ecuaţia sferică:

$ \mathbf S \ : r=a \! $

care mai poate fi scrisă în limbajul teoriei mulțimilor:

$ S = \{ (a, \theta, \varphi) | \; \theta \in \mathbb R \land \varphi \in [0, \pi] \}. \! $


Aplicaţii Edit

Coord cil 3

Suprafaţa $ \mathbf S \ : \rho = 2a \cos \theta. \! $

Să se transforme în coordonate sferice ecuaţiile suprafeţelor de mai jos date în coordonate cilindrice:


1). $ \mathbf S \ : \rho = 2a \cos \theta, \; a >0. \! $

Soluţie. Avem:

$ \mathbf S \ : (r \sin \varphi \cos \theta)^2 + (r \sin \varphi \sin \theta)^2 = 2ar \sin \varphi \cos \theta \! $

deci:

$ \mathbf S \ : r^2 \sin^2 \varphi = 2ar \sin \varphi \cos \theta, \! $

Deci ecuaţia în coordonate sferice este:

$ \mathbf S \ : r \sin \varphi = 2a \cos \theta. \! $

Aşadar, $ \mathrm S \! $ este un cilindru circular de axă $ r = \{ (a, 0, 0) + t (0, 0, 1) | \; t \in \mathbb R \} \! $ şi paralel cu axa Oz.


2) $ \mathrm S \ : z= |\rho|. \! $

Coord cil 4

Suprafaţa $ \mathbf S \ : z= |\rho |. \! $

Soluţie. Avem:

$ \mathrm S \ : r \cos \varphi = \sqrt {r^2 \sin^2 \varphi \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \varphi \sin^2 \theta}. \! $

Rezultă:

$ \mathrm S \ : r \cos \varphi = r \sin \varphi, \; r \ge 0, \! $

de unde:

$ \mathrm S \ : \tan \varphi =1, \; r \ge 0, \! $

şi obţinem ecuaţia căutată:

$ \mathrm S \ : \varphi= \frac {\pi}{4}, \; r \ge 0, \! $

Deci $ \mathbf S \! $ este o parte din conul circular:

$ z^2 = x^2+y^2, \! $

situat în semispaţiul $ z \ge 0. \! $


Coord cil. 5

Suprafaţa $ \mathbf S \ : z= \rho. \! $

3). $ \mathbf S \ : z= \rho. \! $


Soluţie. În mod similar se deduce ecuaţia în coordonate sferice:

$ \mathbf S \ : \varphi = \frac {\pi}{4} \! $


Coord cil 6

Suprafaţa $ \mathbf S \ : z=\rho^2. \! $

4) $ \mathbf S \ : z= \rho^2. \! $

Soluţie.

$ \mathbf S \ : r \cos \varphi = r^2 \sin^2 \varphi \; \Longrightarrow \; \mathbf S \ : r= \frac{\cos \varphi}{\sin^2 \varphi} = cotg \varphi cossec \varphi \! $


5) $ \mathbf S \ : \rho \cos \theta + \rho \sin \theta + z =1. \! $

Coord cil 7

Planul de ecuaţie $ \mathbf S \ : \rho \cos \theta + \rho \sin \theta + z =1 \! $


Soluţie. Din:

$ x= \rho \cos \theta, \; y=\rho \sin \theta, \! $

obţinem:

$ \mathbf S \ : x+ y + z =1 \! $

care este ecuaţia în coordonate carteziene a unui plan a cărui ecuaţie în coordonate sferice este:

$ \mathbf S \ : r \sin \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta + r \cos \varphi = 1. \! $


6) $ \mathbf S \ : \rho^2 + z^2 = a^2, \; a>0 \! $


Soluţie. Deoarece $ \rho^2 = x^2 + y^2 \! $

obţinem ecuaţia carteziană:

$ \mathbf S \ : x^2 + y^2 + z^2 =a^2 \! $

care este o sferă cu centrul în origine şi de rază a şi a cărei ecuaţie în coordonate sferice este:

$ \mathbf S \ : \rho = a. \! $


7) $ \mathbf S \ : z= \rho^2 + 2 \rho \cos \theta - 2 \rho \sin \theta +2. \! $

Coord cil 8

$ \mathbf S \ : z=\rho^2 + 2 \rho \cos \theta - 2 \rho \sin \theta +2. \! $


Soluţie. Deoarece:

$ \rho \cos \theta = x \! $
$ \rho \sin \theta =y \! $
$ \rho^2 = x^2 + y^2 \! $

obţinem ecuaţia carteziană:

$ \mathbf S \ : z=(x+1)^2 + (y-1)^2 \! $

care este ecuaţia unui paraboloid circular de axă:

$ r= \{ (-1, 1, 0) + (0, 0, t) | \; t \in \mathbb R \}. \! $

Ecuaţia acestei suprafeţe în coordonate sferice este:

$ \mathbf S \ : r \cos \theta = r^2 \sin^2 \varphi + 2r \sin \varphi (\cos \theta - \sin \theta) +2. \! $

Să se determine ecuaţiile carteziene şi parametrice ale suprafeţelor descrise prin ecuaţiile sferice:


Coord cil 12

Sfera $ \mathbf S \ : r= \sin \theta \sin \varphi. \! $

8) $ \mathbf S \ : \sin \theta \sin \varphi. \! $

Soluţie.

Avem:

$ r \pm \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \! $
$ \sin \varphi = \frac{\sqrt {x^2 + y^2}}{\sqrt {x^2 + y^2 + z^2}} \! $
$ \sin \theta = \pm \frac{y}{\sqrt {x^2 + y^2}}. \! $

Deci:

$ \mathbf S \ : \pm \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} = \pm \frac{y}{\sqrt {x^2 + y^2}} \! $
$ \mathbf S \ : x^2 + (y- \frac 1 2)^2 + z^2 = \frac 14 , \! $

care este ecuaţia carteziană a unei sfere de centru $ (0, \frac 1 2, 0) \! $ şi rază $ \frac 1 2 \! $

O parametrizare ar putea fi:

$ \mathbf S \ : \begin{cases} x(\theta, \varphi) = \sin^2 \varphi \sin \theta \cos \theta \\ y(\theta, \varphi) = \sin^2 \varphi \sin \theta \sin \theta \\ z(\theta, \varphi) = \sin \varphi \cos \varphi \sin \theta \end{cases}, \; \varphi \in [0, \pi], \; \theta \in [0, 2 \pi]. \! $



9) $ \mathbf S \ : r=\sin \varphi. \! $

Coord cil 13

Suprafaţa $ \mathbf S \ : r= \sin \varphi \! $ şi generatoarea sa $ \gamma. \! $


Soluţie.

Avem:

$ r= \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \! $ deci $ r \ge 0 \! $
$ \sin \varphi = \frac{\sqrt {x^2 + y^2}}{\sqrt {x^2 + y^2 + z^2}} \! $


Obţinem ecuaţia carteziană a suprafeţei:

$ \mathbf S \ : x^2 + y^2 + z^2 = \sqrt {x^2 + y^2}. \! $


Putem adopta o parametrizare:

$ \mathbf S \ : \begin{cases} x(\theta, \rho) = \sin^2 \varphi \cos \theta \\ y(\theta, \rho) = \sin^2 \varphi \sin \theta \\ z(\theta, \rho) = \sin \varphi \cos \varphi \end{cases}, \; \varphi \in [0, \pi], \; \theta \in \mathbb R. \! $

Deci S este o suprafaţă de revoluţie în jurul axei Oz şi având ca generatoare curba:

$ \gamma = S \cap \{ \theta = \frac {\pi}{2} \ : \begin{cases} x(\varphi) = 0 \\ y(\varphi) = \sin^2 \varphi \\ z(\varphi) = \sin \varphi \cos \varphi \end{cases}, \; \varphi \in [0, \pi]. \! $

Dar:

$ y(\varphi)^2 + z(\varphi)^2- y(\varphi) = \sin^4 \varphi + \sin^2 \varphi \cos ^2 \varphi - \sin^2 \varphi= \! $
$ = \sin^2 \varphi (\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi) - \sin^2 \varphi = 0. \! $

Deci $ \gamma \! $ este cercul:

$ \gamma \ : \begin{cases} y^2 + z^2 -y=0 \\ x=0 \end{cases} \; \Leftrightarrow \! $
$ \gamma \ : \begin{cases} (y- \frac 1 2)^2 + z^2 = \frac 1 4 \\ x=0 \end{cases} \! $

de centru $ (0, \frac 1 2, 0) \! $ şi rază $ \frac 1 2. \! $


Resurse Edit