Fandom

Math Wiki

Coordonate sferice

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Relaţia cu coordonatele carteziene Edit

Coord sferice fig. 1.JPG

Punctul P având coordonatele sferice r, \theta, \varphi \!

x= r \cos \theta \sin \varphi, \!
y= r \sin \theta \sin \varphi, \!
z= r \cos \varphi. \!
Coord sferice fig. 2.JPG

Punctul P având coordonatele sferice r, \theta, \varphi, \! unde r < 0 \!

Observaţie. Dacă r<0, \! punctul (r, \theta, \varphi) \! corespunde punctului (-r, \pi + \theta, \pi - \varphi), \! care este simetric punctului (-r, \theta, \varphi) \! în raport cu originea axelor de coordonate.


Exemplu:

Coord sferice fig. 3.JPG

Sfera de ecuaţie \mathbf S \ : r=a \!

Pentru sfera de ecuație carteziană:

\mathbf S \ : x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \!

putem face transformarea:

\mathbf S \ : (r \cos \theta \sin \varphi)^2 + (r \sin \theta \sin \varphi)^2 + (r \cos \varphi)^2 = a^2 \!

şi obţinem ecuaţia sferică:

\mathbf S \ : r=a \!

care mai poate fi scrisă în limbajul teoriei mulțimilor:

S = \{ (a, \theta, \varphi) | \; \theta \in \mathbb R \land \varphi \in [0, \pi] \}. \!


Aplicaţii Edit

Coord cil 3.JPG

Suprafaţa \mathbf S \ : \rho = 2a \cos \theta. \!

Să se transforme în coordonate sferice ecuaţiile suprafeţelor de mai jos date în coordonate cilindrice:


1). \mathbf S \ : \rho = 2a \cos \theta, \; a >0. \!

Soluţie. Avem:

\mathbf S \ : (r \sin \varphi \cos \theta)^2 + (r \sin \varphi \sin \theta)^2 = 2ar \sin \varphi \cos \theta \!

deci:

\mathbf S \ : r^2 \sin^2 \varphi = 2ar \sin \varphi \cos \theta, \!

Deci ecuaţia în coordonate sferice este:

\mathbf S \ : r \sin \varphi = 2a \cos \theta. \!

Aşadar, \mathrm S \! este un cilindru circular de axă r = \{ (a, 0, 0) + t (0, 0, 1) | \; t \in \mathbb R \} \! şi paralel cu axa Oz.


2) \mathrm S \ : z= |\rho|. \!

Coord cil 4.JPG

Suprafaţa \mathbf S \ : z= |\rho |. \!

Soluţie. Avem:

\mathrm S \ :  r \cos \varphi = \sqrt {r^2 \sin^2 \varphi \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \varphi \sin^2 \theta}. \!

Rezultă:

\mathrm S \ : r \cos \varphi = r \sin \varphi, \; r \ge 0,  \!

de unde:

\mathrm S \ : \tan \varphi =1, \; r \ge 0,  \!

şi obţinem ecuaţia căutată:

\mathrm S \ : \varphi= \frac {\pi}{4}, \; r \ge 0,  \!

Deci \mathbf S \! este o parte din conul circular:

z^2 = x^2+y^2, \!

situat în semispaţiul z \ge 0. \!


Coord cil. 5.jpg

Suprafaţa \mathbf S \ : z= \rho. \!

3). \mathbf S \ : z= \rho. \!


Soluţie. În mod similar se deduce ecuaţia în coordonate sferice:

\mathbf S \ : \varphi = \frac {\pi}{4} \!


Coord cil 6.jpg

Suprafaţa \mathbf S \ : z=\rho^2. \!

4) \mathbf S \ : z= \rho^2. \!

Soluţie.

\mathbf S \ : r \cos \varphi = r^2 \sin^2 \varphi \; \Longrightarrow \; \mathbf S \ : r= \frac{\cos \varphi}{\sin^2 \varphi} = cotg \varphi cossec \varphi \!


5) \mathbf S \ : \rho \cos \theta + \rho \sin \theta + z =1. \!

Coord cil 7.jpg

Planul de ecuaţie \mathbf S \ : \rho \cos \theta + \rho \sin \theta + z =1 \!


Soluţie. Din:

x= \rho \cos \theta, \; y=\rho \sin \theta, \!

obţinem:

\mathbf S \ : x+ y  + z =1 \!

care este ecuaţia în coordonate carteziene a unui plan a cărui ecuaţie în coordonate sferice este:

\mathbf S \ : r \sin \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta + r \cos \varphi = 1. \!


6) \mathbf S \ : \rho^2 + z^2 = a^2, \; a>0 \!


Soluţie. Deoarece \rho^2 = x^2 + y^2 \!

obţinem ecuaţia carteziană:

\mathbf S \ : x^2 + y^2 + z^2 =a^2 \!

care este o sferă cu centrul în origine şi de rază a şi a cărei ecuaţie în coordonate sferice este:

\mathbf S \ : \rho = a. \!


7) \mathbf S \ : z= \rho^2 + 2 \rho \cos \theta - 2 \rho \sin \theta +2. \!

Coord cil 8.jpg

\mathbf S \ : z=\rho^2 + 2 \rho \cos \theta - 2 \rho \sin \theta +2. \!


Soluţie. Deoarece:

\rho \cos \theta = x \!
\rho \sin \theta =y \!
\rho^2 = x^2 + y^2 \!

obţinem ecuaţia carteziană:

\mathbf S \ : z=(x+1)^2 + (y-1)^2 \!

care este ecuaţia unui paraboloid circular de axă:

r= \{ (-1, 1, 0) + (0, 0, t) | \; t \in \mathbb R \}. \!

Ecuaţia acestei suprafeţe în coordonate sferice este:

\mathbf S \ : r \cos \theta = r^2 \sin^2 \varphi + 2r \sin \varphi (\cos \theta - \sin \theta) +2. \!

Să se determine ecuaţiile carteziene şi parametrice ale suprafeţelor descrise prin ecuaţiile sferice:


Coord cil 12.jpg

Sfera \mathbf S \ : r= \sin \theta \sin \varphi. \!

8) \mathbf S \ : \sin \theta \sin \varphi. \!

Soluţie.

Avem:

r \pm \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \!
\sin \varphi = \frac{\sqrt {x^2 + y^2}}{\sqrt {x^2 + y^2 + z^2}} \!
\sin \theta = \pm \frac{y}{\sqrt {x^2 + y^2}}. \!

Deci:

\mathbf S \ : \pm \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} = \pm \frac{y}{\sqrt {x^2 + y^2}} \!
\mathbf S \ : x^2 + (y- \frac 1 2)^2 + z^2 = \frac  14 , \!

care este ecuaţia carteziană a unei sfere de centru (0, \frac  1 2, 0) \! şi rază \frac  1 2 \!

O parametrizare ar putea fi:

\mathbf S \ : \begin{cases}  x(\theta, \varphi) = \sin^2 \varphi \sin \theta \cos \theta \\ y(\theta, \varphi) = \sin^2 \varphi \sin \theta \sin \theta \\ z(\theta, \varphi) = \sin \varphi \cos \varphi \sin \theta  \end{cases}, \; \varphi \in [0,  \pi], \; \theta \in [0,  2 \pi]. \!



9) \mathbf S \ : r=\sin \varphi. \!

Coord cil 13.jpg

Suprafaţa \mathbf S \ : r= \sin \varphi \! şi generatoarea sa \gamma. \!


Soluţie.

Avem:

r= \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \! deci r \ge 0 \!
\sin \varphi = \frac{\sqrt {x^2 + y^2}}{\sqrt {x^2 + y^2 + z^2}} \!


Obţinem ecuaţia carteziană a suprafeţei:

\mathbf S \ : x^2 + y^2 + z^2 = \sqrt {x^2 + y^2}. \!


Putem adopta o parametrizare:

\mathbf S \ : \begin{cases} x(\theta, \rho) = \sin^2 \varphi \cos \theta  \\ y(\theta, \rho) = \sin^2 \varphi \sin \theta \\ z(\theta, \rho) = \sin \varphi \cos \varphi  \end{cases}, \; \varphi \in [0, \pi], \; \theta \in \mathbb R. \!

Deci S este o suprafaţă de revoluţie în jurul axei Oz şi având ca generatoare curba:

\gamma = S \cap \{ \theta = \frac {\pi}{2} \ : \begin{cases} x(\varphi) = 0 \\ y(\varphi) = \sin^2 \varphi \\ z(\varphi) = \sin \varphi \cos \varphi \end{cases}, \; \varphi \in [0, \pi]. \!

Dar:

y(\varphi)^2 + z(\varphi)^2- y(\varphi) = \sin^4 \varphi + \sin^2 \varphi \cos ^2 \varphi - \sin^2 \varphi= \!
= \sin^2 \varphi (\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi) - \sin^2 \varphi = 0. \!

Deci \gamma \! este cercul:

\gamma \ : \begin{cases} y^2 + z^2 -y=0 \\ x=0  \end{cases} \; \Leftrightarrow \!
\gamma \ : \begin{cases} (y- \frac  1 2)^2 + z^2 = \frac  1 4  \\ x=0  \end{cases} \!

de centru (0, \frac 1 2, 0) \! şi rază \frac 1 2. \!


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki