Fandom

Math Wiki

Coordonate cilindrice

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Coordonate cilindrice fig. 1.png

Sistemul de coordonate cilindrice (\rho, \theta, z) \!

Definiţie Edit

În sistemul de coordonate cilindrice, poziţia unui punct este precizată de coordonatele:

  • \rho \in [0, \infty) \! - distanţa de la punctul P la axa Oz;
  • \theta \in [0, 2 \pi) \! - unghiul dintre direcţia \rho \! şi axa Ox, denumit şi unghi azimutal
  • z \in (- \infty, + \infty). \! - distanţa de la punctul P la planul orizontal, xOy, denumită şi cotă.

Observaţii.

1. Coordonatele cilindrice sunt o generalizare a coordonatelor polare, obţinută prin adăugarea celei de-a treia dimensiuni z.

2. În unele lucrări, în locul notaţiei \theta \! se foloseşte \varphi. \!

Aplicaţii în mecanică Edit

Coordonate cilindrice fig. 2.png

Descompunerea vectorului deplasare infinitezimală după trei direcţii independente, d \vec {r_{\rho}}, d \vec {r_{\theta}}, d \vec {r_z}. \!

Dacă \hat {e_{\rho}}, \hat {e_{\theta}}, \hat{e_z} \! sunt versorii direcţiilor specificate de cele trei coordonate cilindrice, atunci:

\hat {e_{\rho}} \times \hat {e_{\theta}} = \hat{e_z}.  \!

şi aceasta conform regulii burghiului.

O deplasare elementară a punctului (denumit mobil în mecanică) poate fi considerată ca o compunere a trei deplasări independente după direcţiile date de versorii sistemului de coordonate cilindrice:

d \vec r = d \vec {r_{\rho}} + d \vec {r_{\theta}} + d \vec {r_z}. \!

Aproximăm fiecare deplasare infinitezimală:

d \vec r = d \rho \hat e_{\rho} + \rho d \theta \hat e_{\theta} + dz \hat e_z. \!

Împărţind la intervalul de timp infinitezimal, obţinem expresia vitezei în coordonate cilindrice:

\vec v= \frac{d \vec r}{dt} = \frac {d \rho}{dt} \hat e_{\rho} + \rho \frac{d \theta}{dt} \hat e_{\theta} + \frac{dz}{dt} \hat e_z = \!
= \dot {\rho} \hat e_{\rho} + \rho \dot {\theta} \hat e_{\theta} + \dot z \hat e_z. \!

Derivăm relaţia vitezei şi ţinem seama că \hat e_z \! este singurul versor care îşi păstrează orientarea neschimbată în timp, \dot {\hat e_z }=0, \! şi că derivatele celorlalţi doi versori sunt:

\dot {\hat {e_{\rho}}} = \frac{d \hat e_{\rho}}{dt} = \frac{|\hat e_{\rho}| d \theta \hat{e_{\theta}}}{dt} = \frac{d \theta}{dt} \hat {e_{\theta}} = \dot {\theta} \hat {e_{\theta}}; \!
\dot {\hat {e_{\theta}}} =  \frac{d \hat e_{\theta}}{dt} =  \frac{|\hat e_{\theta}| d \theta (- \hat{e_{\rho}})}{dt} =- \frac{d \theta}{dt} \hat {e_{\rho}} = - \dot {\theta} \hat {e_{\rho}}. \!

Din aceste relaţii obţinem expresia accelerației în coordonate cilindrice:

\vec a= (\ddot {\rho} - \rho \dot {\theta^2}) \hat {e_{\rho}} + (2 \dot {\rho} \dot {\theta} + \rho \ddot {\theta}) \hat {e_{\theta}} + \ddot z \hat {e_{z}}. \!

În acestă expresia, identificăm cu uşurinţă primii doi termeni care apăreau şi în expresia acceleraţiei în coordonate polare plane. La acestea se adaugă termenul datorat deplasării de-a lungul axei Oz.

Elementul de suprafață şi de volum Edit

Elementul de suprafață în coordonate cilindrice are una din expresiile:

dA_{\rho} = \rho d \theta dz; \; dA_{\theta} = d \rho dz; \; dA_z = \rho d \rho d \theta, \!

iar cel de volum este:

Coordonate cilindrice fig. 2.JPG
dV = dAd \rho = \rho d \rho d \theta dz. \!

Legătura cu coordonatele carteziene Edit

x = \rho \cos \theta \!
y=\rho \sin \theta \!
z=z. \!


\rho =\pm \sqrt {x^2+y^2} \!
\cos \theta = \pm \frac{x}{\sqrt {x^2+y^2}} \!
\sin \theta = \pm \frac{y}{\sqrt {x^2+y^2}} \!
\tan \theta = \frac y x. \!

Aplicaţii Edit

Coord cil 3.JPG

Suprafaţa \mathbf S \ : \rho = 2a \cos \theta. \!

Să se transforme în coordonate carteziene ecuaţiile suprafeţelor de mai jos date în coordonate cilindrice:


1). \mathbf S \ : \rho = 2a \cos \theta, \; a >0. \!


Soluţie. Din \rho =\pm \sqrt {x^2+y^2} \! şi \cos \theta = \pm \frac{x}{\sqrt {x^2+y^2}} \! deducem:

\pm \sqrt {x^2+y^2} = 2a \frac{x}{\pm \sqrt {x^2+y^2}} \; \Leftrightarrow \!
\Leftrightarrow \; x^2 + y^2 =2ax \; \Leftrightarrow \; (x-a)^2 + y^2 =a^2, \!

care este ecuația carteziană a lui \mathrm S \!

Aşadar, \mathrm S \! este un cilindru circular de axă r = \{ (a, 0, 0) + t (0, 0, 1) | \; t \in \mathbb R \} \! şi paralel cu axa Oz.


Coord cil 4.JPG

Suprafaţa \mathbf S \ : z= |\rho |. \!

2) \mathrm S \ : z= |\rho|. \!


Soluţie. Cum |\rho| = \sqrt {x^2+y^2}, \! obţinem ecuaţia carteziană:

\mathrm S \ : z=\sqrt {x^2+y^2}.  \!

Deci \mathbf S \! este o parte din conul circular:

z^2 = x^2+y^2, \!

situat în semispaţiul z \ge 0. \!


Coord cil. 5.jpg

Suprafaţa \mathbf S \ : z= \rho. \!

3). \mathbf S \ : z= \rho. \!


Soluţie. Cum \rho = \pm \sqrt {x^2 +y^2}, \!

rezultă:

\mathbf S \ : z= \pm \sqrt {x^2 +y^2} \!
\mathbf S \ : z^2=  x^2 +y^2 \!

Această ecuaţie carteziană reprezintă un con circular de axă Oz.


Coord cil 6.jpg

Suprafaţa \mathbf S \ : z=\rho^2. \!

4) \mathbf S \ : z= \rho^2. \!

Soluţie. Cum \rho^2 = x^2 + y^2 \!

obţinem ecuaţia carteziană:

\mathbf S \ : z= x^2 + y^2, \!

care este un paraboloid circular de axă Oz.



5) \mathbf S \ : \rho \cos \theta + \rho \sin \theta + z =1. \!

Coord cil 7.jpg

Planul de ecuaţie \mathbf S \ : \rho \cos \theta + \rho \sin \theta + z =1 \!

Soluţie. Din:

x= \rho \cos \theta, \; y=\rho \sin \theta, \!

obţinem:

\mathbf S \ : x+ y  + z =1 \!

care este un plan.


6) \mathbf S \ : \rho^2 = x^2 + y^2, \; a>0 \!


Soluţie. Deoarece \rho^2 = x^2 + y^2 \!

Coord cil 8.jpg

\mathbf S \ : z=\rho^2 + 2 \rho \cos \theta - \!
- 2 \rho \sin \theta +2. \!

obţinem ecuaţia carteziană:

\mathbf S \ : x^2 + y^2 + z^2 =a^2 \!

care este o sferă cu centrul în origine şi de rază a.


7) \mathbf S \ : z= \rho^2 + 2 \rho \cos \theta - 2 \rho \sin \theta +2. \!


Soluţie. Deoarece:

\rho \cos \theta = x \!
\rho \sin \theta =y \!
\rho^2 = x^2 + y^2 \!

obţinem ecuaţia carteziană:

\mathbf S \ : z=(x+1)^2 + (y-1)^2 \!

care este ecuaţia unui paraboloid circular de axă:

Coord cil 9.jpg

Directoarea suprafeţei \mathbf S \ : \rho = e^{\theta}. \!

r= \{ (-1, 1, 0) + (0, 0, t) | \; t \in \mathbb R \}. \!


8) \mathbf S \ : \rho = e^{\theta}. \!


Soluţie. Cum:

Coord cil 10.jpg

Suprafaţa de ecuaţie \mathbf S \ : \rho = e^{\theta}. \!

x= \rho \cos \theta = e^{\theta} \cos \theta \!
y=\rho \sin \theta = e^{\theta} \sin \theta \!

obţinem:

\mathbf S \ : \begin{cases} x(\theta, z) = e^{\theta} \cos \theta, \\ y(\theta, z) = e^{\theta} \sin \theta,  \\ z(\theta, z) = z \end{cases} \theta, z \in \mathbb R \!

care este parametrizarea lui \mathbf S, \! un cilindru de generatoare paralele cu vectorul \vec v= (0, 0, 1) \! şi are una din directoare spirala:

\gamma \ : \begin{cases} x(\theta) = e^{\theta} \cos \theta \\  y(\theta) = e^{\theta} \sin \theta \\ z(\theta)=0 \end{cases}, \; \theta \in \mathbb R. \!
Coord cil 11.jpg

Elicoidul \mathbf S \ : z= \theta \! şi elicea \gamma. \!


9) \mathbf S \ : z=\theta. \!


Soluţie

\mathbf S \ : \begin{cases} x(\theta, \rho) = \rho \cos \theta \\ y(\theta, \rho) = \rho \sin \theta \\ z(\theta, \rho) = \theta \end{cases}, \; \rho \in \mathbb R, \; \theta \in \mathbb R, \!

care este parametrizarea unui elicoid generat de drepte paralele cu planul xOy şi care intersectează axa Oz şi o elice de ecuaţii parametrice:

\gamma \ : \begin{cases} x(\theta) = \cos \theta \\ y(\theta) = \sin \theta \\ z(\theta) = \theta  \end{cases}, \theta \in \mathbb R. \!

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki