FANDOM


Coordonate cilindrice fig. 1

Sistemul de coordonate cilindrice $ (\rho, \theta, z) \! $

Definiţie Edit

În sistemul de coordonate cilindrice, poziţia unui punct este precizată de coordonatele:

  • $ \rho \in [0, \infty) \! $ - distanţa de la punctul P la axa Oz;
  • $ \theta \in [0, 2 \pi) \! $ - unghiul dintre direcţia $ \rho \! $ şi axa Ox, denumit şi unghi azimutal
  • $ z \in (- \infty, + \infty). \! $ - distanţa de la punctul P la planul orizontal, xOy, denumită şi cotă.

Observaţii.

1. Coordonatele cilindrice sunt o generalizare a coordonatelor polare, obţinută prin adăugarea celei de-a treia dimensiuni z.

2. În unele lucrări, în locul notaţiei $ \theta \! $ se foloseşte $ \varphi. \! $

Aplicaţii în mecanică Edit

Coordonate cilindrice fig. 2

Descompunerea vectorului deplasare infinitezimală după trei direcţii independente, $ d \vec {r_{\rho}}, d \vec {r_{\theta}}, d \vec {r_z}. \! $

Dacă $ \hat {e_{\rho}}, \hat {e_{\theta}}, \hat{e_z} \! $ sunt versorii direcţiilor specificate de cele trei coordonate cilindrice, atunci:

$ \hat {e_{\rho}} \times \hat {e_{\theta}} = \hat{e_z}. \! $

şi aceasta conform regulii burghiului.

O deplasare elementară a punctului (denumit mobil în mecanică) poate fi considerată ca o compunere a trei deplasări independente după direcţiile date de versorii sistemului de coordonate cilindrice:

$ d \vec r = d \vec {r_{\rho}} + d \vec {r_{\theta}} + d \vec {r_z}. \! $

Aproximăm fiecare deplasare infinitezimală:

$ d \vec r = d \rho \hat e_{\rho} + \rho d \theta \hat e_{\theta} + dz \hat e_z. \! $

Împărţind la intervalul de timp infinitezimal, obţinem expresia vitezei în coordonate cilindrice:

$ \vec v= \frac{d \vec r}{dt} = \frac {d \rho}{dt} \hat e_{\rho} + \rho \frac{d \theta}{dt} \hat e_{\theta} + \frac{dz}{dt} \hat e_z = \! $
$ = \dot {\rho} \hat e_{\rho} + \rho \dot {\theta} \hat e_{\theta} + \dot z \hat e_z. \! $

Derivăm relaţia vitezei şi ţinem seama că $ \hat e_z \! $ este singurul versor care îşi păstrează orientarea neschimbată în timp, $ \dot {\hat e_z }=0, \! $ şi că derivatele celorlalţi doi versori sunt:

$ \dot {\hat {e_{\rho}}} = \frac{d \hat e_{\rho}}{dt} = \frac{|\hat e_{\rho}| d \theta \hat{e_{\theta}}}{dt} = \frac{d \theta}{dt} \hat {e_{\theta}} = \dot {\theta} \hat {e_{\theta}}; \! $
$ \dot {\hat {e_{\theta}}} = \frac{d \hat e_{\theta}}{dt} = \frac{|\hat e_{\theta}| d \theta (- \hat{e_{\rho}})}{dt} =- \frac{d \theta}{dt} \hat {e_{\rho}} = - \dot {\theta} \hat {e_{\rho}}. \! $

Din aceste relaţii obţinem expresia accelerației în coordonate cilindrice:

$ \vec a= (\ddot {\rho} - \rho \dot {\theta^2}) \hat {e_{\rho}} + (2 \dot {\rho} \dot {\theta} + \rho \ddot {\theta}) \hat {e_{\theta}} + \ddot z \hat {e_{z}}. \! $

În acestă expresia, identificăm cu uşurinţă primii doi termeni care apăreau şi în expresia acceleraţiei în coordonate polare plane. La acestea se adaugă termenul datorat deplasării de-a lungul axei Oz.

Elementul de suprafață şi de volum Edit

Elementul de suprafață în coordonate cilindrice are una din expresiile:

$ dA_{\rho} = \rho d \theta dz; \; dA_{\theta} = d \rho dz; \; dA_z = \rho d \rho d \theta, \! $

iar cel de volum este:

Coordonate cilindrice fig. 2
$ dV = dAd \rho = \rho d \rho d \theta dz. \! $

Legătura cu coordonatele carteziene Edit

$ x = \rho \cos \theta \! $
$ y=\rho \sin \theta \! $
$ z=z. \! $


$ \rho =\pm \sqrt {x^2+y^2} \! $
$ \cos \theta = \pm \frac{x}{\sqrt {x^2+y^2}} \! $
$ \sin \theta = \pm \frac{y}{\sqrt {x^2+y^2}} \! $
$ \tan \theta = \frac y x. \! $

Aplicaţii Edit

Coord cil 3

Suprafaţa $ \mathbf S \ : \rho = 2a \cos \theta. \! $

Să se transforme în coordonate carteziene ecuaţiile suprafeţelor de mai jos date în coordonate cilindrice:


1). $ \mathbf S \ : \rho = 2a \cos \theta, \; a >0. \! $


Soluţie. Din $ \rho =\pm \sqrt {x^2+y^2} \! $ şi $ \cos \theta = \pm \frac{x}{\sqrt {x^2+y^2}} \! $ deducem:

$ \pm \sqrt {x^2+y^2} = 2a \frac{x}{\pm \sqrt {x^2+y^2}} \; \Leftrightarrow \! $
$ \Leftrightarrow \; x^2 + y^2 =2ax \; \Leftrightarrow \; (x-a)^2 + y^2 =a^2, \! $

care este ecuația carteziană a lui $ \mathrm S \! $

Aşadar, $ \mathrm S \! $ este un cilindru circular de axă $ r = \{ (a, 0, 0) + t (0, 0, 1) | \; t \in \mathbb R \} \! $ şi paralel cu axa Oz.


Coord cil 4

Suprafaţa $ \mathbf S \ : z= |\rho |. \! $

2) $ \mathrm S \ : z= |\rho|. \! $


Soluţie. Cum $ |\rho| = \sqrt {x^2+y^2}, \! $ obţinem ecuaţia carteziană:

$ \mathrm S \ : z=\sqrt {x^2+y^2}. \! $

Deci $ \mathbf S \! $ este o parte din conul circular:

$ z^2 = x^2+y^2, \! $

situat în semispaţiul $ z \ge 0. \! $


Coord cil. 5

Suprafaţa $ \mathbf S \ : z= \rho. \! $

3). $ \mathbf S \ : z= \rho. \! $


Soluţie. Cum $ \rho = \pm \sqrt {x^2 +y^2}, \! $

rezultă:

$ \mathbf S \ : z= \pm \sqrt {x^2 +y^2} \! $
$ \mathbf S \ : z^2= x^2 +y^2 \! $

Această ecuaţie carteziană reprezintă un con circular de axă Oz.


Coord cil 6

Suprafaţa $ \mathbf S \ : z=\rho^2. \! $

4) $ \mathbf S \ : z= \rho^2. \! $

Soluţie. Cum $ \rho^2 = x^2 + y^2 \! $

obţinem ecuaţia carteziană:

$ \mathbf S \ : z= x^2 + y^2, \! $

care este un paraboloid circular de axă Oz.



5) $ \mathbf S \ : \rho \cos \theta + \rho \sin \theta + z =1. \! $

Coord cil 7

Planul de ecuaţie $ \mathbf S \ : \rho \cos \theta + \rho \sin \theta + z =1 \! $

Soluţie. Din:

$ x= \rho \cos \theta, \; y=\rho \sin \theta, \! $

obţinem:

$ \mathbf S \ : x+ y + z =1 \! $

care este un plan.


6) $ \mathbf S \ : \rho^2 = x^2 + y^2, \; a>0 \! $


Soluţie. Deoarece $ \rho^2 = x^2 + y^2 \! $

Coord cil 8

$ \mathbf S \ : z=\rho^2 + 2 \rho \cos \theta - \! $
$ - 2 \rho \sin \theta +2. \! $

obţinem ecuaţia carteziană:

$ \mathbf S \ : x^2 + y^2 + z^2 =a^2 \! $

care este o sferă cu centrul în origine şi de rază a.


7) $ \mathbf S \ : z= \rho^2 + 2 \rho \cos \theta - 2 \rho \sin \theta +2. \! $


Soluţie. Deoarece:

$ \rho \cos \theta = x \! $
$ \rho \sin \theta =y \! $
$ \rho^2 = x^2 + y^2 \! $

obţinem ecuaţia carteziană:

$ \mathbf S \ : z=(x+1)^2 + (y-1)^2 \! $

care este ecuaţia unui paraboloid circular de axă:

Coord cil 9

Directoarea suprafeţei $ \mathbf S \ : \rho = e^{\theta}. \! $

$ r= \{ (-1, 1, 0) + (0, 0, t) | \; t \in \mathbb R \}. \! $


8) $ \mathbf S \ : \rho = e^{\theta}. \! $


Soluţie. Cum:

Coord cil 10

Suprafaţa de ecuaţie $ \mathbf S \ : \rho = e^{\theta}. \! $

$ x= \rho \cos \theta = e^{\theta} \cos \theta \! $
$ y=\rho \sin \theta = e^{\theta} \sin \theta \! $

obţinem:

$ \mathbf S \ : \begin{cases} x(\theta, z) = e^{\theta} \cos \theta, \\ y(\theta, z) = e^{\theta} \sin \theta, \\ z(\theta, z) = z \end{cases} \theta, z \in \mathbb R \! $

care este parametrizarea lui $ \mathbf S, \! $ un cilindru de generatoare paralele cu vectorul $ \vec v= (0, 0, 1) \! $ şi are una din directoare spirala:

$ \gamma \ : \begin{cases} x(\theta) = e^{\theta} \cos \theta \\ y(\theta) = e^{\theta} \sin \theta \\ z(\theta)=0 \end{cases}, \; \theta \in \mathbb R. \! $
Coord cil 11

Elicoidul $ \mathbf S \ : z= \theta \! $ şi elicea $ \gamma. \! $


9) $ \mathbf S \ : z=\theta. \! $


Soluţie

$ \mathbf S \ : \begin{cases} x(\theta, \rho) = \rho \cos \theta \\ y(\theta, \rho) = \rho \sin \theta \\ z(\theta, \rho) = \theta \end{cases}, \; \rho \in \mathbb R, \; \theta \in \mathbb R, \! $

care este parametrizarea unui elicoid generat de drepte paralele cu planul xOy şi care intersectează axa Oz şi o elice de ecuaţii parametrice:

$ \gamma \ : \begin{cases} x(\theta) = \cos \theta \\ y(\theta) = \sin \theta \\ z(\theta) = \theta \end{cases}, \theta \in \mathbb R. \! $

Vezi şi Edit

Resurse Edit