Coordonate carteziene

Relaţiile dintre coordonatele carteziene şi cele polare

$\begin{cases} x= r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases} \!$

$\begin{cases} r = \sqrt {x^2 + y^2} \\ \theta = \arctan \frac y x \end{cases} \!$

$\begin{cases} \sin \theta = \frac {y}{ \sqrt {x^2 + y^2}} \\ \cos \theta = \frac {x}{ \sqrt {x^2 + y^2}} \end{cases} \!$

Coordonate carteziene în mecanică

În sistemul de coordonate carteziene, vectorul de poziţie al unui punct P este descris prin coordonatele sale $x, y, z, \!$ obţinute prin proiecţia lui P pe cele trei plane reciproc perpendiculare:

$\vec r = \vec r(x, y, z). \!$   (1)

Denumirea de coordonate carteziene vine de la numele lui Rene Descartes.

În fig. 1, punctul P se găseşte la intersecţia a trei plane imaginare, reciproc perpendiculare, $x= x_1, \; y=y_1, \; z=z_1. \!$ Fiecare dintre acestea sunt paralele cu planele triedrului drept Oxyz. Vom atribui apoi fiecăreia din axele triedrului Oxyz câte un vector-unitate, orientat în sensul creşterii lui x, y şi, respectiv, z. Aceşti vectori-unitate, pe care îi vom nota cu $\hat x, \hat y, \hat z, \!$ se numesc versori.

Deoarece orice vector poate fi exprimat ca o combinaţie liniară de aceşti trei versori, ei formează baza sistemului. Baza sistemului respectă regula burghiului drept, adică:

$\hat x \times \hat y = \hat z. \!$   (2)

De exemplu, vectorul de poziţie se poate exprima prin relaţia:

$\vec r = x \hat x + y \hat y + z \hat z. \!$   (3)

Vom găsi expresiile vitezei şi accelerației, pornind de la expresia unei deplasări elementare, $\Delta \vec r: \!$

$\Delta \vec r= \vec r_2 - \vec r_1 = (x_2-x_1) \hat x + (y_2-y_1) \hat y + (z_2 - z_1) \hat z = \!$

$= \Delta x \cdot \hat x + \Delta y \cdot \hat y + \Delta \cdot \hat z. \!$   (4)

Această expresie se poate găsi pe cale geometrică, considerând că orice deplasare reală reprezintă suma a trei deplasări succesive independente, în decursul cărora se modifică doar una din coordonate. Conform fig. ..., se observă că:

$\Delta \vec r = \Delta \vec r_x + \Delta \vec r_y + \Delta \vec r_z, \!$   (5)

unde $\Delta \vec r_x, \Delta \vec r_y, \Delta \vec r_z \!$ reprezintă deplasări "virtuale", efectuate pe direcţiile x, y şi z. Trecând la limita timpilor de observaţie foarte mici, $\Delta t \to 0, \!$ expresia devine:

$d \vec r = dx \cdot \hat x + dy \cdot \hat y + dz \cdot \hat z. \!$   (6)

Făcând raportul dintre elementul de deplasare infinitezimală şi intervalul de timp corespunzător acesteia, se obţine expresia vitezei:

$\vec v = \frac {d \vec r}{dt} = \frac{dx}{dt} \hat x + \frac{dy}{dt} \hat y + \frac{dz}{dt} \hat z = \dot x \hat x + \dot y \hat y + \dot z \hat z. \!$   (7)

Mărimea vectorului viteză este:

$v= \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}. \!$   (8)

În mod similar se procedează şi pentru acceleraţie:

$\vec a= \frac {d \vec v}{dt} = \frac {dv_x}{dt} \hat x + \frac {dv_y}{dt} \hat y + \frac {dv_z}{dt} \hat z = \dot v_x \hat x + \dot v_y \hat y + \dot v_z \hat z = \!$   (9)

$=\ddot x \hat x + \ddot y \hat y + \ddot z \hat z = a_x \hat x + a_y \hat y + a_z \hat z. \!$   (10)

Mărimea vectorului acceleraţie este:

$a= \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}. \!$   (11)

Un volum elementar $dV \!$ în coordonate carteziene poate fi scris ca un produs de trei deplasări infinitezimale reciproc perpendiculare (Fig...):

$\Delta V = dx \cdot dy \cdot dz, \!$   (12)

iar un element de suprafaţă în coordonate carteziene va avea expresia:

$dA_z = dx \cdot dy; \; dA_x = dy \cdot dz; \; dA_y = dz \cdot dx. \!$   (13)

Folosirea coordonatelor carteziene este preferată din motive de simplitate matematică. Aceasta se datorează si faptului că, fiind mereu orientaţi de-a lungul axelor triedrului drept, versorii $\hat x , \hat y \!$ si $\hat z \!$ rămân constanţi in orientare si, ca urmare, derivatele lor in raport cu timpul sunt nule. In funcţie de simetria miscării si de datele concrete ale problemei de studiat, putem recurge si la alte tipuri de sisteme de coordonate. Dintre acestea, in cele ce urmează, ne vom referi la coordonatele legate de mobilul in miscare.

Resurse

• Cartesian Coordinates in Space

În alte limbi
* English