Fandom

Math Wiki

Constanta Euler-Mascheroni

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Propoziţie. Fie

x_n:= 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n - \ln n \; (n \ge 1). \!

Atunci (x_n)_{n \ge 1} \! este un șir strict descrescător şi minorat de 0, deci convergent; limita sa, numită constanta Euler-Mascheroni sau constanta lui Euler, se notează \gamma \! şi avem 0< \gamma < 1. \!


Demonstraţie. Avem:[1]

\frac {1}{ n+1} < \ln (n+1) - \ln n < \frac 1 n, \; \forall n \ge 1, \!  (1)

deci:

\sum_{k=1}^n \frac {1}{k+1} < \sum_{k=1}^n (\ln (k+1) - \ln k) < \sum_{k=1}^n \frac 1 k, \; \forall n \ge 1. \!  (2)

şi deci:

\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+1} < \ln (n+1) < \sum_{k=1}^n \frac 1 k, \; \forall n \ge 1. \!  (3)

Atunci \forall n \ge 1, \! avem conform (1):

x_{n+1} - x_n = \frac {1}{n+1} - \ln (n+1) + \ln n< 0 \!  (4)

deci (x_n)_{n \ge 1} \! este strict descrescător. Mai departe \forall n \ge 1, \! avem:

0 < \ln (n+1) - \ln n < \sum_{k=1}^n \frac 1 k - \ln n = x_n < x_1 =1. \!

Aşadar (x_n)_{n \ge 1} \! este strict descrescător şi minorat de 0, deci convergent; fie \gamma \! limita sa. Evident avem 0 \le \gamma <1. \!


Note Edit

  1. Vezi articolul Numărul e.

Also on Fandom

Random Wiki