FANDOM


Propoziţie. Fie

$ x_n:= 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n - \ln n \; (n \ge 1). \! $

Atunci $ (x_n)_{n \ge 1} \! $ este un șir strict descrescător şi minorat de 0, deci convergent; limita sa, numită constanta Euler-Mascheroni sau constanta lui Euler, se notează $ \gamma \! $ şi avem $ 0< \gamma < 1. \! $


Demonstraţie. Avem:[1]

$ \frac {1}{ n+1} < \ln (n+1) - \ln n < \frac 1 n, \; \forall n \ge 1, \! $  (1)

deci:

$ \sum_{k=1}^n \frac {1}{k+1} < \sum_{k=1}^n (\ln (k+1) - \ln k) < \sum_{k=1}^n \frac 1 k, \; \forall n \ge 1. \! $  (2)

şi deci:

$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+1} < \ln (n+1) < \sum_{k=1}^n \frac 1 k, \; \forall n \ge 1. \! $  (3)

Atunci $ \forall n \ge 1, \! $ avem conform (1):

$ x_{n+1} - x_n = \frac {1}{n+1} - \ln (n+1) + \ln n< 0 \! $  (4)

deci $ (x_n)_{n \ge 1} \! $ este strict descrescător. Mai departe $ \forall n \ge 1, \! $ avem:

$ 0 < \ln (n+1) - \ln n < \sum_{k=1}^n \frac 1 k - \ln n = x_n < x_1 =1. \! $

Aşadar $ (x_n)_{n \ge 1} \! $ este strict descrescător şi minorat de 0, deci convergent; fie $ \gamma \! $ limita sa. Evident avem $ 0 \le \gamma <1. \! $


Note Edit

  1. Vezi articolul Numărul e.