Fandom

Math Wiki

Conservarea momentului cinetic total

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Miscare de rotatie in coordonate sferice.png

Considerăm un sistem de puncte materiale care evoluează în condiţiile unui spaţiu izotrop. Prin spaţiu izotrop înţelegem că indiferent de orientarea sistemului rezultatul oricărei experienţe fizice este acelaşi. Acesta revine la condiţia ca hamiltoniana sistemului să fie invariantă la rotaţii.

Să admitem că sistemul alcătuit din N puncte materiale efectuează o rotaţie de acelaşi unghi în jurul unei axe fixe. Datorită izotropiei spaţiului rotaţia trebuie să lase hamiltoniana sistemului neschimbată:

\delta H=0 \!   (1)


Pentru a calcula \delta H \! este comod să considerăm că mişcarea de rotaţie este raportată la un sistem de coordonate sferice r, \theta, \varphi \! (fig. 5).

Fie \delta \varphi \! unghiul de rotaţie al unui punct material corespunzător deplasării elementare \delta \vec r. \! Vedem din fig. 5 că |\delta \vec r|= \delta \varphi \cdot \sin \theta \! iar vectorul \delta \vec r \! este perpendicular pe planul format de \delta \vec \varphi \! şi \vec r, \! astfel că putem scrie:

\delta \vec r = \delta \vec \varphi \times \vec r. \!   (2)

De aici rezultă:

\begin{matrix} \delta \vec v = \delta \varphi \times \dot \vec r \\ \delta \vec p = \delta \varphi \times \vec p \end{matrix} \!   (3)

Acum, pentru sistemul de N puncte materiale să considerăm că toate punctele efectuează o rotaţie în jurul unei axe cu acelaşi unghi \delta \vec \varphi_j = \vec \alpha, \! ceea ce ne permite să scriem:

\delta \vec r_j = \delta \vec \varphi_j \times \vec r_j = \vec \alpha \times \vec r_j \!
\delta \vec p_j = \delta \vec \varphi_j \times \vec p_j = \vec \alpha \times \vec p_j. \!

Calculând \delta H \!:

\delta H = \sum_{j=1}^N \frac{\partial H}{\partial \vec r_j} \delta \vec r_j + \sum_{j=1}^N \frac{\partial H}{\partial \vec p_j} \delta \vec p_j  = \sum_{j=1}^N \frac{\partial H}{\partial \vec r_j} (\vec \alpha \times \vec r_j) + \sum_{j=1}^N \frac{\partial H}{\partial \vec p_j} (\vec \alpha \times \vec p_j).  \!

şi ţinând cont că \vec a (\vec b \times \vec c) = \vec b (\vec c \times \vec a), \! ecuaţia (64) devine:

\delta H = \alpha \sum_{j=1}^N \left [ \vec r_j \times \frac{\partial H}{\partial r_j} + \vec p_j \times \frac{\partial H}{\partial \vec p_j}  \right  ] =0. \!   (4)

Ţinând cont de proprietăţile parantezelor Poisson, derivatele hamiltonienei, date de:

\frac{\partial H}{\partial \vec r_j} = - [H, \vec p_j] \!
\frac{\partial H}{\partial \vec p_j} = [H, \vec r_j] \!

pot fi înlocuite în (67) şi deoarece \vec \alpha \neq 0, \! rezultă:

\sum_{j=1}^N \{ - \vec r_j \times [H, \vec p_j] + \vec p_j \times [H, \vec r_j] \} = 0 \!   (5)

Pe de altă parte în conformitate cu proprietăţile parantezelor Poisson se poate arăta că pentru orice funcţie \varphi = \varphi (\vec r, \vec p) \! este valabilă relaţia:

[\varphi, \vec r\times \vec p] = \vec r \times [\varphi, \vec p] + [\vec \varphi , \vec r] \times \vec p. \!

Ţinând cont de această relaţie ecuaţia (5) devine:

\sum_{j=1}^N [H, \vec r_j \times \vec p_j] = \left [ H, \sum_{j=1}^N \vec r_j \times \vec p_j  \right ] = [H, \vec M] = 0 \!   (6)

unde:

\vec M = \sum_{j=1}^N \vec r_j \times \vec p_j \!   (7)

este momentul cinetic total al sistemului.

Deoarece \frac{\partial \vec r_j}{\partial t} =0, \; \frac{\partial \vec p_j}{\partial t} =0 \! rezultă că \frac{\partial \vec M}{\partial t} = 0 \! şi atunci ţinând cont de (6), derivata totală în raport cu timpul a momentului cinetic total este nulă:

\frac{d \vec M}{dt} = \frac{\partial \vec M}{\partial t} + [\vec H, \vec M]=0. \!   (8)

Aceasta înseamnă că:

\vec M = const. \!   (9)

adică momentul cinetic total este o constantă a mişcării în condiţiile unui spaţiu izotrop.

Also on Fandom

Random Wiki