Fandom

Math Wiki

Conservarea impulsului total

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Considerăm un sistem de N puncte materiale care evoluează în condiţiile unui spaţiu omogen. Din punct de vedere fizic aceasta înseamnă că rezultatul unei experienţe trebuie să fie acelaşi indiferent de locul din spaţiu în care aceasta se desfăşoară. Din punct de vedere mecanic, acesta revine la faptul că hamiltoniana trebuie să fie invariantă la orice translaţie de ansamblu a sistemului de puncte materiale.

Pentru aceasta, să considerăm că cele N puncte materiale ale sistemului, de vectori de poziţie \vec r_j, \! cu j= 1, 2 \cdots , N, \! suferă o aceeaşi translaţie \delta \vec r_j = \varepsilon, \! noii vectori de poziţie fiind \vec r_j + \delta \vec r_j = \vec r_j + \vec \varepsilon, \! translaţie ce trebuie să lase hamiltonina neschimbată, H(\vec r_j) = H(\vec r_j + \vec \varepsilon). \! Aceasta înseamnă că la translaţia de vector \vec \varepsilon \! a punctelor sistemului variaţia hamiltonianei trebuie să fie nulă:

\sum_{j=1}^N \frac{\partial H}{\partial \vec r_j} \delta \vec r_j = \sum_{j=1}^N \frac{\partial H}{\partial \vec r_j} \cdot \vec \varepsilon = 0. \!

Cum \vec \varepsilon \! este arbitrar şi nenul rezultă că:

\delta H = \sum_{j=1}^N \frac{\partial H}{\partial \vec r_j} =0. \!

Avem:

[H, \vec p_j] = -\frac{\partial H}{\partial \vec r_j}. \![1]

Dacă lăsăm ca j să parcurgă toate valorile, j = 1,2 , \cdots , N, \! şi adunăm aceste expresii, rezultă:

\left [ H, \sum_{j=1}^N \vec p_j \right] = [\vec H, \vec P] =  - \sum_{j=1}^N \frac{\partial H}{\partial \vec r_j} =0. \!

Aceasta înseamnă că impulsul mecanic total al sistemului \vec P \!:

\vec P = \sum_{j=1}^N \vec P_j \!   (1)

are paranteza Poisson cu hamiltoniana nulă:

[H, \vec P] =0. \!   (2)

Cum impulsurile generalizate ale punctelor materiale nu depind explicit de timp, \frac{\partial \vec p_j}{\partial t} =0, \! atunci şi \frac{\partial \vec P}{\partial t} = \sum \frac{\delta \vec p_j}{\delta t}=0 \! şi ţinând cont de (2) rezultă, în conformitate cu ecuaţia (55), că impulsul mecanic total al sistemului se conservă atunci când mişcarea sistemului are loc într-un spaţiu omogen:

\frac{d \vec P}{dt}=0 \; \Rightarrow \; \vec P = const. \!   (3)

Note Edit

  1. Vezi formulele (5) de la articoul Paranteza lui Poisson

Also on Fandom

Random Wiki