FANDOM


ConicsEllipseCut
Secţiuni eliptice
 
ConicsHyperbolaCut
Secţiuni hiperbolice
 
ConicsParabolaCut
Secţiuni parabolice
EllipseFamily2

Familie de elipse

ParabolaReflector

Familie de parabole

HyperbolaFamily2

Familie de hiperbole

250px-Conic sections

Secţiuni conice cu excentricităţile {.2, .4, .6, .8, 1, 1.5, 2, 2.5, 3}, focarul se află în origine, directoarea este dreapta $ x = 1 $

Tipuri de conice Edit

Dându-se o dreaptă d şi un punct F, exterior acesteia, conica este locul geometric al punctelor P pentru care distanţa $ \frac{PF}{PD} = e $

Avem mai jos câteva conice de diverse excentricităţi:

Proprietăţi focale ale conicelor Edit

Putem evidenţia o legătură a conicelor cu fenomenul de reflexie a luminii concretizată într-o aplicare practică a parabolei şi hiperbolei. Este vorba de construirea unor oglinzi de reflectoare cu suprafeţe de forma celor obţinute prin rotirea unei parabole sau arc de hiperbolă în jurul axei transverse.

Înainte de a trata aspectul geometric se impune să reamintim că o rază de lumină se reflectă pe o suprafaţă lucioasă în aşa fel, încât unghiul de incidenţă (unghiul făcut de rază cu normala la suprafaţă în punctul de contact) este egal cu unghiul de reflexie (unghiul razei reflectate cu normala la suprafaţă în punctul de contact). Fie o suprafaţă lucioasă obţinută prin rotirea unei parabole (P) în jurul axei transverse. Suprafaţa se numeşte paraboloid de rotaţie. Considerăm o sursă luminoasă în focarul F al parabolei. Se constată experimental că razele din F se reflectă pe această suprafaţă după direcţia axei transverse (razele reflectate sunt toate paralele cu această axă). Aşadar, sursa punctiformă de lumină (bec) din F produce prin reflexie un fascicol de raze paralele care poate penetra întunericul la distanţe mari, în functie de puterea sursei luminoase. Cu alte cuvinte, oglinzile de forma paraboloidului de rotaţie sunt utile în construcţia reflectoarelor de distanţă.

Pentru o suprafaţă lucioasă obţinută prin rotirea unui arc de hiperbolă în jurul axei transverse, razele unei surse luminoase din focar (asociat acelei ramuri) se reflectă împrăştiindu-se, ceea ce conduce la iluminarea unei suprafeţe mari. Asemenea suprafeţe sunt utile în construcţia reflectoarelor care să lumineze pe arii extinse. Fenomenele menţionate se justifică prin aşa-numitele proprietăţi optice ale conicelor. Acestea evaluează unghiul între normală sau tangentă într-un punct M al conicei cu dreapta MF numită şi rază focală. Vom formula aceste proprietăţi şi le vom da demonstraţii sintetice. Ele derivă din proprietăţi ale tangentei şi apare o idee comună în demonstraţia sintetică: se consideră o secantă la conică şi se găsesc anumite proprietăţi ale simetricului focarului faţă de această secantă. Se consideră apoi situaţia când secanta devine tangentă. Vom începe cu parabola unde configuraţia este mai simplă şi proprietatea optică asociată este mai importantă.

Fie o secantă $ \delta \! $ care taie parabola în punctele $ M_1 \! $ şi $ M_2 \! $

Propr focale conice 1

Fig. 1

Notăm prin $ F_1 \! $ simetricul lui F în raport cu $ \delta. \! $ Perpendiculara din $ F_1 \! $ pe directoare interesectează $ \delta \! $ într-un punct M care este interior segmentului $ M_1M_2. \! $ Pentru a vedea acest lucru, considerăm cercul cu centru $ M_1 \! $ tangent directoarei. Acesta va trece prin F şi $ F_1. \! $ Deci $ F_1 \! $ este situat de aceeaşi parte a directoarei ca şi focarul F şi apoi avem în vedere că $ MF=MF_1 < MP. \! $ Presupunem că secanta devine tangentă (fig. 2). Atunci $ M_1=M_2 =M \! $ şi $ F_1 \! $ coincide cu P. Putem deci conchide că simetricile focarului parabolei faţă de tangentele la parabolă se află pe directoare.

Propr focale conice 2

Fig. 2

Se observă că:

Tangenta în M este bisectoarea unghiului FMP.

Normala la parabolă în punctul M este bisectoarea unghiului FMP' (proprietatea optică a parabolei).

Fig. 2 sugerează şi un mod de a construi un punct al parabolei şi tangenta în acel punct când se dă focarul şi directoarea: se uneşte F cu un punct P al directoarei; mediatoarea lui FP este tangenta, iar M este la intersecţiac acesteia cu perpendiculara pe directoarea în P.

Fie $ \delta \! $ o secanta la elipsă cu $ M_1 \! $ şi $ M_2 \! $ punctele ei de intersecţie cu elipsa (focare F, F'). Considerăm $ F_1 \! $ simetricul focarului F' faţa de $ \delta \! $ şi notăm prin M intersecţia dreptei $ \delta \! $ cu dreapta $ FF_1 \! $ (fig. 3).

Propr focale conice 3

Fig. 3

Din $ MF+MF_1 =FF_1 < FM_1 +M_1F_1 = FM_1 +F'M_1=2a \! $ rezultă că M este interior elipsei şi, deci, este interior segmentului $ M_1M_2. \! $ Presupunem că secanta devine tangentă (fig. 4):

$ M_1=M_2= M. \! $
Propr focale conice 4

Fig. 4

Rezultă imediat că tangenta la elipsă este egal înclinată pe razele vectoare sau echivalent: normala la elipsă în M este bisectoarea unghiului $ FMF'. \! $ Aceasta este proprietatea optică a elipsei. Pentru hiperbolă se procedează similar. Proprietatea focală a hiperbolei: normala la hiperbolă în M este bisectoarea unghiului $ FMF'. \! $

Vezi şi Edit

Resurse Edit


În alte limbi
* English