Fandom

Math Wiki

Compunerea oscilațiilor

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments2 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Compunerea a două oscilaţii de aceeaşi frecvenţă şi de amplitudini egale Edit

  • y_{(t)} = y_{1(t)} + y_{2(t)} = a \sin (\omega t + \varphi_{01}) +  a \sin (\omega t + \varphi_{02}) = \!
= A \sin (\omega t + \varphi_0). \!

Compunerea fazorială Edit

Oscilatie fig. 5.jpg
\varphi_0 = \frac{\varphi_{01} + \varphi_{02} }{2} \!

Compunerea analitică Edit

y_{(t)} = a \sin (\omega t + \varphi_{01}) + a \sin (\omega t + \varphi_{02}) \!
y_{(t)} = 2 a \cos \frac{\Delta \varphi}{2} \cdot \sin \left ( \omega t + \frac {\varphi_{01} + \varphi_{02} }{2} \right ). \!

Cazuri particulare Edit

  • A = 2a , \! dacă \frac {\Delta \varphi}{2} = 0, \! - oscilaţii în fază;
  • A = 0 , \! dacă \frac {\Delta \varphi}{2} = \frac {\pi}{2}, \! - oscilaţii în opoziţie.




Compunerea oscilaţiilor armonice Edit

Dacă un oscilator participă simultan la două sau mai multe mişcări oscilatorii armonice, mişcarea lui este compusă, el executând o mişcare dată de rezultanta mişcărilor oscilatorii armonice individuale.

În cazul particular a două mişcări oscilatorii armonice de elongaţii  y_1 \! şi y_2 , \! mişcarea rezultantă va fi tot o mişcare oscilatorie armonică, ce va avea elongaţia:

y = y_1 +y_2. \!   (1)

Expresia acesteia se poate determina prin două metode:

  • metoda fazorilor: , în care un fazor reprezintă un vector de modul A, care se roteşte cu viteza unghiulară \omega_0 \! şi la momentul iniţial se află orientat sub unghiul \varphi \! faţă de axa Ox
  • metoda trigonometrică: metodă care se bazează pe separarea părţii temporale a fazei de partea care conţine faza iniţială, fapt ce revine la utilizarea formulelor trigonometrice:
\sin (\alpha \pm \beta) =\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha. \!   (2)


Există multe situaţii de compunere a oscilaţiilor armonice, iar dintre acestea vom aminti următoarele:

Compunerea oscilaţiilor paralele şi de aceeaşi pulsaţie Edit

Să considerăm două oscilaţii armonice individuale de forma:

y_1 = A_1 \sin (\omega_0 t + \varphi_1);  y_2 = A_2 \sin (\omega_0 t + \varphi_2);  \!   (3)

iar oscilaţia armonică rezultantă va fi de forma:dada

y = A \sin (\omega_0 t +\varphi) . \!   (4)


Să determinăm amplitudinea A şi faza iniţială \varphi \! a oscilaţiei armonice rezultante.

În acest scop vom dezvolta funcţiile sinus din relaţiile precedente, utilizând formula trigonometrică indicată mai sus şi vom egala factorii din faţa funcţiilor sinus şi cosinus de argumentul \omega_0 t . \! După calcule elementare, vom obţine:

A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1A_2 \cos (\varphi_2-\varphi_1)}, \!   (5)
\tan \varphi = \frac{A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2}{A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2} \!   (6)

Compunerea oscilaţiilor armonice paralele de pulsaţii puţin diferite (fenomenul de bătăi) Edit

În reprezentare complexă, oscilaţiile care se compun sunt descrise de relaţiile:

z_1= A_1 e^{i(\omega_1 t+ \varphi_1)}, \; \; z_2= A_2 e^{i(\omega_2 t+ \varphi_2)} \!   (7)

Notând:

\varepsilon = \omega_2-\omega_1, \; \; \omega_1 + \omega_2 = 2 \omega \!   (8)

obţinem:

\omega_2 = \omega + \frac{\varepsilon}{2}, \; \; \omega_1 = \omega - \frac{\varepsilon}{2} \!   (9)
z_1 = A_1 e^{i \left [ (\omega - \frac{\varepsilon}{2})t + \varphi_1 \right ]}, \; \; z_2 = A_2 e^{i \left [ (\omega + \frac{\varepsilon}{2})t + \varphi_1 \right ]} \!   (10)

Compunând oscilaţiile obţinem:

z=z_1 +z_2 = A_1 e^{i \left [ (\omega - \frac{\varepsilon}{2})t + \varphi_1 \right ]} + A_2 e^{i \left [ (\omega + \frac{\varepsilon}{2})t + \varphi_1 \right ]} = \!
= a(t) e^{i[\omega t + \varphi(t)]}. \!   (11)
z^* = A_1 e^{-i \left [ (\omega - \frac{\varepsilon}{2})t + \varphi_1 \right ]} + A_2 e^{-i \left [ (\omega + \frac{\varepsilon}{2})t + \varphi_1 \right ]} \!
= a^*(t) e^{-i[\omega t + \varphi(t)]}. \!
zz^* = aa^* = a^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_1A_2 \left \{  e^{i \left [ \left ( \omega - \frac{\varepsilon}{2} - \omega - \frac{\varepsilon}{2}  \right ) t + \varphi_1-\varphi_2 \right ] } + \right .  \!
+ \left . e^{-i \left [ \left ( \omega - \frac{\varepsilon}{2} - \omega - \frac{\varepsilon}{2} \right ) t + \varphi_1 - \varphi_2 \right ]}  \right \} \!
a^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_1A_2 \left[ e^{i(\varphi_1 - \varphi_2 - \varepsilon t)} + e^{-i(\varphi_1 - \varphi_2 - \varepsilon t)} \right ]  \!
a^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_1A_2 \cos (\varphi_1 - \varphi_2 - \varepsilon t)  \!
a^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_1A_2 \cos ( \varepsilon t +\varphi_2 - \varphi_1 )  \!   (12)

Relaţia (11) poate fi pusă sub forma:

z= e^{i \omega t} \left \{ A_1 \cos \left (\varphi_1 - \frac{\varepsilon}{2}t \right ) + A_2 \cos \left (\varphi_2 + \frac{\varepsilon}{2}t \right ) +  \right. \!
\left.  i \left [ A_1 \cos \left (\varphi_1 - \frac{\varepsilon}{2}t \right ) + A_2 \cos \left (\varphi_2 + \frac{\varepsilon}{2}t \right )   \right ] \right \} = \!
= a(t) e^{i \omega t} [\cos \varphi(t) + i \sin \varphi(t)]. \!

Identificând părţile reale pe de o parte şi părţile imaginare pe de altă parte, obţinem:

a(t) \cos \varphi (t) = A_1 \cos \left ( \varphi_1 - \frac{\varepsilon}{2}t \right ) + A_2 \cos \left ( \varphi_2 + \frac{\varepsilon}{2}t \right )  \!
a(t) \sin \varphi (t) = A_1 \sin \left ( \varphi_1 - \frac{\varepsilon}{2}t \right ) + A_2 \sin \left ( \varphi_2 + \frac{\varepsilon}{2}t \right )  \!


\tan \varphi(t) = \frac{A_1 \sin \left ( \varphi_1 - \frac{\varepsilon}{2}t \right ) + A_2 \sin \left ( \varphi_2 + \frac{\varepsilon}{2}t \right )}{A_1 \cos \left ( \varphi_1 - \frac{\varepsilon}{2}t \right ) + A_2 \cos \left ( \varphi_2 + \frac{\varepsilon}{2}t \right )}  \!   (13)

Din relaţiile (12) şi (13) rezultă că amplitudinea şi faza iniţială variază în timp, adică oscilaţia rezultantă nu mai este armonică. Amplitudinea mişcării rezultante este o funcţie periodică ce variază între un maxim egal cu A_1 + A_2 \! pentru \varepsilon t+ \varphi_2 - \varphi_1 = 2 k \pi \! şi un minim egal cu A_1-A_2 \! atunci când \cos (\varepsilon t+ \varphi_2 - \varphi_1)=-1 , \! adică pentru \varepsilon t+ \varphi_2 - \varphi_1 = (2 k + 1) \pi. \!

Dacă diferenţa |\omega_2-\omega_1| \! este foarte mică în raport cu media pulsaţiilor \omega = \frac {\omega_1 + \omega 2}{2}, \! atunci a(t) \! şi \varphi(t) \! variază foarte lent în comparaţie cu funcţiile \cos \omega t \! şi \sin \omega t, \! adică mişcarea rezultantă este o oscilaţie modulară atât în amplitudine, cât şi în fază.


Compunerea oscilatiilor armonice 3.png Compunerea oscilatiilor armonice 4.png Compunerea oscilatiilor armonice 5.png Compunerea oscilatiilor armonice 6.png Compunerea oscilatiilor armonice 7.png Compunerea oscilatiilor armonice 8.png Compunerea oscilatiilor armonice 9.png Compunerea oscilatiilor armonice 10.png Compunerea oscilatiilor armonice 11.png Compunerea oscilatiilor armonice 12.png Compunerea oscilatiilor armonice 13.png Compunerea oscilatiilor armonice 14.png Compunerea oscilatiilor armonice 15.png Compunerea oscilatiilor armonice 16.png Compunerea oscilatiilor armonice 17.png Compunerea oscilatiilor armonice 18.png Compunerea oscilatiilor armonice 19.png Compunerea oscilatiilor armonice 20.png Compunerea oscilatiilor armonice 21.png

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki