Fandom

Math Wiki

Cisoida lui Diocles

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Cissoid of Diocles.gif

Cisoida [gr. kisos "iederă"] este o curbă plană generată de un punct M de pe o secantă mobilă ce trece printr-un punct fix O al unui cerc, astfel încât, intersectând cercul a doua oară în punctul N şi tangenta la cerc dusă în punctul A, diametrul opus lui O, în P, să îndeplinească condiţia OM = NP. \!

Die Kissoide (Efeukurve) des Diokles.png

Se consideră un cerc de raza dată a şi o tangentă într-un punct A fixat pe cerc. O secantă oarecare, dusă prin punctul O, diametral opus lui A, taie cercul în C si tangenta în B (fig. 1.1).

Definiţie Locul geometric al punctului P care are proprietatea:

BP=OC \!

este curba care poartă numele de cisoida lui Diocles.

Cisoida lui Diocles este un caz particular de cisoidă la care cele două curbe sunt un cerc şi o dreaptă tangentă la acesta.

Cisoida lui Diocles.png

Pentru a determina ecuaţia locului geometric, se consideră punctul O originea reperului, axa Ox dreapta (OA) şi axa Oy perpendiculară în O pe OA (fig. 1.1). Fie \theta \! unghiul variabil format de secanta cu axa Ox şi  \rho \! lungimea segmentului OP.

Coordonatele x, y ale punctului P sunt:

x= \rho \cos \theta, \; \; y = \rho \sin \theta. \!

Deoarece \rho \! variază cu \theta \!, trebuie exprimat \rho \! în funcţie de \theta \! şi în acest scop se obţine:

\rho = OP=OB - BP= OB-OC= \frac {2a}{\cos \theta} - 2a \cos \theta, \!

cum rezultă din triunghiurile dreptunghice OAB şi OCA.

Deci:

(\Gamma): \; \rho =2a \frac {\sin^2 \theta}{\cos \theta}, \!

relaţie care reprezintă ecuaţia cisoidei în coordonate polare, sau reprezentarea polară a cisoidei.

Prin introducerea valorii lui \rho \! în expresiile pentru x si y, se obţine:

(\Gamma): \; \begin{cases} x=2a \sin^2 \theta, \\ y=2a \frac{\sin^3 \theta} {\cos \theta},  \end{cases}\!

relatii ce exprimă reprezentarea parametrică a cisoidei.

Prin eliminarea între cele două ecuaţii a parametrului \theta \!, se obţine:

\frac y x = \tan \theta, \; \; \sin^2 \theta = \frac {\tan^2 \theta}{1+ \tan^2 \theta} = \frac {y^2}{x^2 + y^2}, \!

deci:

Reprezentare cisoida lui Diocles.png
x=2a \frac {y^2}{x^2+y^2}, \!

sau:

(\Gamma): \; x^3 + xy^2 - 2ay^2=0, \!

relatie care constituie reprezentarea implicită a cisoidei.

Din ultima ecuaţie se obţine reprezentarea explicită a cisoidei:

(\Gamma): \; y = \pm x \sqrt {\frac {x}{2a-x}}. \!

Cisoida lui Diocles este reprezentată grafic în fig. 1.2.

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki