FANDOM


Cissoid of Diocles

Cisoida [gr. kisos "iederă"] este o curbă plană generată de un punct M de pe o secantă mobilă ce trece printr-un punct fix O al unui cerc, astfel încât, intersectând cercul a doua oară în punctul N şi tangenta la cerc dusă în punctul A, diametrul opus lui O, în P, să îndeplinească condiţia $ OM = NP. \! $

Die Kissoide (Efeukurve) des Diokles

Se consideră un cerc de raza dată a şi o tangentă într-un punct A fixat pe cerc. O secantă oarecare, dusă prin punctul O, diametral opus lui A, taie cercul în C si tangenta în B (fig. 1.1).

Definiţie Locul geometric al punctului P care are proprietatea:

$ BP=OC \! $

este curba care poartă numele de cisoida lui Diocles.

Cisoida lui Diocles este un caz particular de cisoidă la care cele două curbe sunt un cerc şi o dreaptă tangentă la acesta.

Cisoida lui Diocles

Pentru a determina ecuaţia locului geometric, se consideră punctul O originea reperului, axa Ox dreapta (OA) şi axa Oy perpendiculară în O pe OA (fig. 1.1). Fie $ \theta \! $ unghiul variabil format de secanta cu axa Ox şi $ \rho \! $ lungimea segmentului OP.

Coordonatele x, y ale punctului P sunt:

$ x= \rho \cos \theta, \; \; y = \rho \sin \theta. \! $

Deoarece $ \rho \! $ variază cu $ \theta \! $, trebuie exprimat $ \rho \! $ în funcţie de $ \theta \! $ şi în acest scop se obţine:

$ \rho = OP=OB - BP= OB-OC= \frac {2a}{\cos \theta} - 2a \cos \theta, \! $

cum rezultă din triunghiurile dreptunghice OAB şi OCA.

Deci:

$ (\Gamma): \; \rho =2a \frac {\sin^2 \theta}{\cos \theta}, \! $

relaţie care reprezintă ecuaţia cisoidei în coordonate polare, sau reprezentarea polară a cisoidei.

Prin introducerea valorii lui $ \rho \! $ în expresiile pentru x si y, se obţine:

$ (\Gamma): \; \begin{cases} x=2a \sin^2 \theta, \\ y=2a \frac{\sin^3 \theta} {\cos \theta}, \end{cases}\! $

relatii ce exprimă reprezentarea parametrică a cisoidei.

Prin eliminarea între cele două ecuaţii a parametrului $ \theta \! $, se obţine:

$ \frac y x = \tan \theta, \; \; \sin^2 \theta = \frac {\tan^2 \theta}{1+ \tan^2 \theta} = \frac {y^2}{x^2 + y^2}, \! $

deci:

Reprezentare cisoida lui Diocles
$ x=2a \frac {y^2}{x^2+y^2}, \! $

sau:

$ (\Gamma): \; x^3 + xy^2 - 2ay^2=0, \! $

relatie care constituie reprezentarea implicită a cisoidei.

Din ultima ecuaţie se obţine reprezentarea explicită a cisoidei:

$ (\Gamma): \; y = \pm x \sqrt {\frac {x}{2a-x}}. \! $

Cisoida lui Diocles este reprezentată grafic în fig. 1.2.

Resurse Edit