Fandom

Math Wiki

Cinematica rigidului

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Numim sistem rigid un sistem material discret cu proprietatea că distanţele dintre două puncte arbitrare ale sale rămân constante în timp. Putem scrie acestă condiţie sub forma:

|\mathbf x_i - \mathbf x_j| = r_{ij}= const., \; \; \forall i, j = \overline{1, n}  \!   (1)

unde \mathbf x_i \! şi \mathbf x_j \! sunt vectorii de poziţie a două puncte arbitrare P_i \! şi P_j \! din sistemul rigid, raportaţi la un reper inerţial. Dar un sistem material discret, format din n puncte materiale, are 3n grade de libertate (adică mişcarea sa depinde de 3n coordonate).[1] În cazul unui rigid liber, vom avea 6 grade de libertate, cu excepţia sistemului rigid format din două puncte materiale care are 5 grade de libertate. Ultima afirmaţie este evidentă, având în vedere că două puncte au 6 coordonate, supuse legăturii (1). Deci, 5 grade libertate.

În ceea ce priveşte sistemul rigid liber care are trei puncte necoliniare, lui îi putem asocia un reper solidar legat de rigid. Dar un reper arbitrar din \mathbb R^3 \! se obţine dintr-un reper dat printr-o translaţie şi o rotaţie, deci are 6 grade de libertate. Altfel spus, varietatea de configuraţie a unui sistem rigid este produsul cartezian \mathbb R^3 \times SO(3), \! al spaţiului \mathbb R^3 \! cu grupul rotaţiilor proprii SO(3) = \{ A \in M_3 (\mathbb R) \; | \; AA^T= 1_3, \; det \; A = 1 \}. \! Fixând un punct al sistemului rigid, este evident că varietatea sa de configuraţie va fi SO(3). \!


Rotaţia unui sistem de coordonate în raport cu un sistem de coordonate dat se obţine prin trei rotaţii în jurul unor axe predefinite. O alegere posibilă o constituie rotaţia dată de unghiurile lui Euler. Sistemul rotit este similar sistemului coordonatelor geografice de pe sferă, cu singularităţi la poli şi multivocitate pe un meridian.

Mai precis, fie Ox_i, \; i = \overline{1, 3}, \! un sistem inerţial şi Ox'_i, \; i = \overline{1, 3}, \! un sistem neinerţial, solidar cu rigidul aflat în rotaţie în jurul punctului O. Pentru a ajunge din reperul Ox_i \! în reperul Ox'_i ,\! vom efectua trei rotaţii:


1) O rotaţie de unghi \psi \! în jurul axei Ox_3. \!

Astfel, axa Ox_3 \! rămâne pe loc, iar Ox_1 \! devine ON (axa nodurilor). Unghiul \psi \! se numeşte precesie.


2) O rotaţie de unghi \theta \! în jurul axei nodurilor ON.

Această rotaţie lasă axa ON pe loc şi duce axa Ox_3 \! în Ox'_3. \! Unghiul \theta \! se numeşte nutaţie.


3) O rotaţie de unghi \varphi \! în jurul axei Ox'_3. \!

Această rotaţie lasă neschimbată axa Ox'_3. \! şi transformă axa ON în Ox'_1. \! Unghiul \varphi \! se numeşte rotaţie proprie.

Rotatia sistemului de coordonate al unui solid rigid.png

Matricial, vom scrie prima rotaţie, de unghi \psi \! în jurul lui Ox_3 , \! sub forma:

\vec k = \begin{pmatrix} \vec k_1 \\ \vec k_2 \\ \vec k_3 \end{pmatrix}= A \vec e = \begin{pmatrix} \cos \psi & \sin \psi & 0 \\ -\sin \psi & \cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec e_1 \\ \vec e_2 \\ \vec e_3 \end{pmatrix}  \!   (2)

Aici \vec e \! reprezintă versorii sistemului inerţial Ox, iar \vec k \! reprezintă versorii sistemului rotit, cu:

\vec k_1 = \frac{\overrightarrow{ON}}{|\overrightarrow{ON}|} \! şi \vec k_3 = \vec e_3. \!


Apoi rotim sistemul \vec k, \! în jurul lui ON cu unghiul \theta, \! ajungând la sistemul:

\vec j = \begin{pmatrix} \vec j_1 \\ \vec j_2 \\ \vec j_3 \end{pmatrix}, \! în care \vec k_1= \vec j_1 \!   (3)
\vec j = B \vec k = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec k_1 \\ \vec k_2 \\ \vec k_3 \end{pmatrix}. \!   (4)


În fine, rotim reperul \vec j \! în jurul lui \vec j_3 \! cu unghiul \varphi, \! pentru a obţine reperul neinerţial:

\vec e' = \begin{pmatrix} \vec e'_1 \\ \vec e'_2 \\ \vec e'_3 \end{pmatrix}, \! în care \vec j_3 = \vec e'_3 \!   (5)
\vec e' = C \vec j = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\ - \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec j_1 \\ \vec j_2 \\ \vec j_3  \end{pmatrix}. \!   (6)


Compunând cele trei rotaţii ((2), (5) şi (6)), obţinem relaţiile de trecere de la reperul inerţial la reperul rotit, solidar cu rigidul, sub forma:

\vec e' = C\;B\;A\;\vec e. \!   (7)


Pentru a obţine distribuţia de viteze şi acceleraţii în mişcarea liberă a unui sistem rigid, vom considera un reper inerţial k fixat şi un reper mobil k', solid legat de rigidul aflat în mişcare. În acest caz, ţinem seama de formula:[2]

\vec v = \vec v' + \vec v_{tr}+ \vec v_0, \!   (8)

unde:

  • \vec v = \dot {\vec x} \in k \! este viteza absolută
  • \vec v' = R_t \dot {\vec x'}= \! viteza relativă
  • \vec v_{tr} = \dot {R_t} \vec x' = \vec \omega \times (\vec x- \vec x_0 ) \in k \! este viteza de transport (datorată rotaţiei)
  • \vec v_0 = \dot {x_0} \in k \! este viteza originii sistemului mobil.


în cazul nostru, formula (8) se reduce la următoarea distribuţie de viteze:

\dot {\vec x} = \dot {\vec x_0} + \dot {R_t} \vec x' =  \dot {x_0} + \vec \omega \times (\vec x - \vec x_0),  \!   (9)

deoarece viteza relativă \dot {\vec x'} \! este nulă.


În mod similar, din formula:[3]

\vec v = \vec v' + \vec v_{tr}+ \vec v_0 \!   (10)

deducem distribuţia de acceleraţii, în mişcarea unui sistem rigid:

\ddot x = \ddot x_0 + R_t [\dot {\vec \omega'} \times \vec x' + \vec \omega' \times (\vec \omega' \times \vec x')], \!   (11)

acceleraţia relativă şi acceleraţia Coriolis fiind nule. Reamintim faptul că formulele (9) şi (11) sunt scrise în raport cu reperul inerţial k.


Note Edit

  1. Vezi articolul Transformările lui Galilei.
  2. Vezi articolul: Sistem de referință neinerțial.
  3. Idem.


Resurse Edit

Curs

Also on Fandom

Random Wiki