Fandom

Math Wiki

Cicloidă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Cicloide def.jpg

DEFINIŢIE. Cicloida este curba plană descrisă de un punct fix de pe un cerc, care rulează, fără să alunece, pe o dreaptă fixă.

Fie O un punct fix al unui cerc de raza a, tangent în O la dreapta (d). Pentru a determina ecuaţia cicloidei se consideră punctul fix O drept origine a reperului, dreapta tangentă (d), drept axa Ox si axa Oy perpendiculara în O pe (d) (fig. 1.3).

Definitie cicloida.png

Când cercul rulează din poziţia O pâna în poziţia A, punctul care a fost în O a ajuns în M. Se obtine:

OA=\overset {\frown}{AM} = a \phi, \!

unde \phi \! este unghiul de rulare.

În triunghiul O \omega M \! se obţine:

\overline {OM} = \overline {O \omega} + \overline {\omega M}. \!

Dacă se proiectează pe axa Ox, respectiv pe axa Oy, ultima egalitate şi se notează cu x, y coordonatele carteziene ale lui M rezultă:

x= pr_{Ox} \overline{O \omega} + pr_{Ox} \overline{\omega M},  \;\; y= pr_{Oy} \overline {O \omega} + pr_{Oy} \overline {\omega M}. \!

Dar:

pr_{Ox} \overline {O \omega} = OA=a \phi, \;\; pr_{Oy} \overline {O \omega} = A \omega = a, \;\; \alpha + \phi = 270^{\circ}, \!
pr_{Ox} \overline {\omega M} = \overline {\omega M} \cdot \overline i  =- AM' = - \omega S = -a \cos (180^{\circ} - \alpha)=

= a \cos \alpha = a \cos (270^{\circ} - \phi) = - a \sin \phi, \!

pr_{Oy} \overline {\omega M}= \overline {\omega M} \cdot \overline j =SM = a \sin (180^{\circ} - \alpha) = a \sin \alpha =

= a \sin (270^{\circ} - \phi) = - a \cos \phi, \!

de unde:

(\Gamma): \; \begin{cases} x=a \phi - a \sin \phi, \\ y=a-a \cos \phi, \end{cases} \!

sau:

(\Gamma): \; \begin{cases} x=a (\phi - \sin \phi), \\ y=a(1- \cos \phi), \end{cases} \!

care constituie reprezentarea parametrica a cicloidei.

Eliminarea parametrului \phi \! între cele două ecuaţii parametrice conduce la ecuaţia:

(\Gamma): \; x = \arccos \frac {a-y}{a} - \sqrt {2 a y - y^2}, \!

care constituie reprezentarea explicită a cicloidei şi care în general nu este utilizată. Cicloida este reprezentată grafic în fig. 1.4.

Reprezentare cicloida.png

Observaţie Edit

Cicloida este o curbă transcendentă.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki