FANDOM


Cicloide def

DEFINIŢIE. Cicloida este curba plană descrisă de un punct fix de pe un cerc, care rulează, fără să alunece, pe o dreaptă fixă.

Fie O un punct fix al unui cerc de raza a, tangent în O la dreapta (d). Pentru a determina ecuaţia cicloidei se consideră punctul fix O drept origine a reperului, dreapta tangentă (d), drept axa Ox si axa Oy perpendiculara în O pe (d) (fig. 1.3).

Definitie cicloida

Când cercul rulează din poziţia O pâna în poziţia A, punctul care a fost în O a ajuns în M. Se obtine:

$ OA=\overset {\frown}{AM} = a \phi, \! $

unde $ \phi \! $ este unghiul de rulare.

În triunghiul $ O \omega M \! $ se obţine:

$ \overline {OM} = \overline {O \omega} + \overline {\omega M}. \! $

Dacă se proiectează pe axa Ox, respectiv pe axa Oy, ultima egalitate şi se notează cu x, y coordonatele carteziene ale lui M rezultă:

$ x= pr_{Ox} \overline{O \omega} + pr_{Ox} \overline{\omega M}, \;\; y= pr_{Oy} \overline {O \omega} + pr_{Oy} \overline {\omega M}. \! $

Dar:

$ pr_{Ox} \overline {O \omega} = OA=a \phi, \;\; pr_{Oy} \overline {O \omega} = A \omega = a, \;\; \alpha + \phi = 270^{\circ}, \! $
$ pr_{Ox} \overline {\omega M} = \overline {\omega M} \cdot \overline i =- AM' = - \omega S = -a \cos (180^{\circ} - \alpha)= $

$ = a \cos \alpha = a \cos (270^{\circ} - \phi) = - a \sin \phi, \! $

$ pr_{Oy} \overline {\omega M}= \overline {\omega M} \cdot \overline j =SM = a \sin (180^{\circ} - \alpha) = a \sin \alpha = $

$ = a \sin (270^{\circ} - \phi) = - a \cos \phi, \! $

de unde:

$ (\Gamma): \; \begin{cases} x=a \phi - a \sin \phi, \\ y=a-a \cos \phi, \end{cases} \! $

sau:

$ (\Gamma): \; \begin{cases} x=a (\phi - \sin \phi), \\ y=a(1- \cos \phi), \end{cases} \! $

care constituie reprezentarea parametrica a cicloidei.

Eliminarea parametrului $ \phi \! $ între cele două ecuaţii parametrice conduce la ecuaţia:

$ (\Gamma): \; x = \arccos \frac {a-y}{a} - \sqrt {2 a y - y^2}, \! $

care constituie reprezentarea explicită a cicloidei şi care în general nu este utilizată. Cicloida este reprezentată grafic în fig. 1.4.

Reprezentare cicloida

Observaţie Edit

Cicloida este o curbă transcendentă.

Vezi şi Edit

Resurse Edit