FANDOM


Definiţie. Dacă ABC este un triunghi şi $ A_1 \in AB, \; A_2 \in AC \! $ astfel încât $ \angle {AA_1A_2} = \angle {ACB}, \! $ atunci spunem că dreapta $ A_1A_2 \! $ este antiparalelă cu BC.

Cercul lui Tucker 1

Fig. 1

Cercul lui Tucker 2

Fig. 2

Cercul lui Tucker 3

Fig. 3


Observaţia 1. Dacă $ A_1A_2 \! $ este antiparalelă cu BC atunci patrulaterul $ A_1A_2CB \! $ este inscriptibil (fig. 1).

Cercul lui Tucker (constr)

Fig. 4

Lema 1. Dacă în triunghiul ABC, dreapta $ A_1A_2 \! $ este antiparalelă cu BC şi dreapta A_2B_1 este paralelă cu AB' $ (B_1 \in BC) \! $ şi dreapta $ B_1B_2 \! $ este antiparalelă cu AC $ (B_2 \in AB) \! $ atunci $ \|A_1A_2\| = \|B_1B_2\| \! $ şi punctele $ A_1, A_2, B_1, B_2 \! $ sunt conciclice.

Demonstraţie. Deoarece $ A_1A_2 \! $ şi $ B_1 B_2 \! $ sunt antiparalele cu BC respectiv AC, avem:

$ \angle{AA_1A_2} = \angle{ACB}, \; \; \angle {BB_2B_1}= \angle{ACB}. \! $

Prin urmare $ \angle AA_1A_2 = \angle {BB_2B_1} \! $ cu consecinţa:

$ \angle {A_2A_1B} = \angle {B_1B_2A}. \! $   (1)

Deoarece $ A_2B_1 \| B_1B_2 \! $ rezultă că patrulaterul $ A_1A_2B_1B_2 \! $ este trapez (în ipoteza $ m \angle C \neq 90^{\circ} \! $). Ţinând seama şi de relaţia (1), trapezul $ A_1A_2B_1B_2 \! $ este isoscel, deci $ A_1A_2 = B_1B_2. \! $ Se ştie că un trapez isoscel este patrulater inscriptibil şi prin urmare punctele $ A_1, A_2, B_1, B_2 \! $ sunt conciclice. Dacă $ m \angle C = 90^{\circ}, \! $ va rezulta că $ A_1A_2B_1B_2 \! $ este dreptunghi şi concluzia rămâne adevărată.


Observaţia 2. Dacă antiparalelele $ A_1A_2 \! $ şi $ B_1B_2 \! $ sunt ca în fig. 3, se demonstrează în mod analog că patrulaterul $ A_1B_1A_2B_2 \! $ este trapez isoscel.


Lema 2. Dacă în triunghiul ABC dreapta $ A_1A_2 \! $ este antiparalelă cu BC, dreapta $ B_1B_2 \! $ este antiparalelă cu AC $ (B_1 \in BC, \; B_2 \in AB) \! $ şi $ \|A_1A_2\| = \|B_1B_2\| \! $ atunci $ A_1B_2 \| A_2B_1 \! $ şi punctele $ A_1, A_2, B_1, B_2 \! $ sunt conciclice.

Demonstraţie. Din faptul că $ A_1A_2 \! $ şi $ B_1B_2 \! $ sunt antiparalele (vezi fig. 2) cu BC' respectiv AC rezultă că $ \angle {AA_1A_2} = \angle {BB_2B_1} \! $ şi de aici obţinem că $ \angle{A_2A_1B_2} = \angle{B_1B_2A_1}. \! $ Notăm $ \{ O \} = A_1B_1 \cap A_2B_2, \! $ avem: $ \triangle A_2A_1B_2 \equiv \triangle B_1B_2A_1. \! $ (LUL) cu consecinţele:

$ \angle A_2B_2A_1= \angle B_1A_1B_2 \! $ şi $ \|A_1B_1\| = \|A_2B_2\|. \! $

Triunghiul $ OA_1B_2 \! $ este isoscel şi de asemenea triunghiul $ OB_1A_2 \! $ este isoscel.

Avem:

$ \angle B_2A_1O= \frac{180^{\circ} - \angle A_1OB_2}{2} \! $

şi

$ \angle A_1B_1O= \frac{180^{\circ} - \angle A_2OB_1}{2}, \! $

prin urmare $ \angle B_2A_1O=\angle A_2A_1O \! $ ceea ce conduce la $ A_1B_2 \| A_2B_1. \! $ Patrulaterul $ A_1A_2B_1B_2 \! $ este prin urmare, în general, trapez isoscel, deci $ \|A_1A_2\| = \|B_1B_2\| \! $ şi punctele $ A_1, A_2, B_1, B_2 \! $ sunt conciclice. Dacă $ m(\angle ACB) = 90^{\circ}, \! $ patrulaterul $ A_1A_2B_1B_2 \! $ este dreptunghi şi concluzia lemei se păstrează.


Observaţia 3. Lema 2 arată că extremităţile a două antiparalele congruente duse într-un triunghi sunt puncte conciclice.


Teoremă. Dacă ABC este un triunghi, dreapta $ A_1A_2 \! $ este antiparalelă cu BC, dreapta $ A_2B_1 \! $ este paralelă cu AB $ (B \in BC) , \! $ dreapta $ B_1B_2 \! $ este antiparalelă cu AC $ (B_2 \in AB), \! $ dreapta $ B_2C_1 \! $ este paralelă cu BC $ (C_1 \in AC) \! $ şi dreapta $ C_1C_2 \! $ este antiparalelă cu AB $ (C_2 \in BC), \! $ atunci:

(i) $ C_1A_1 \! $ este paralelă cu AC;

(ii) $ \|A_1A_2\| = \|B_1B_2\|= \|C_1C_2\|; \! $

(iii) Punctele $ A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 \! $ sunt conciclice (cercul lui Tucker)[1]


Demonstraţie. Din Lema 1 rezultă $ \|A_1A_2\| = \|B_1B_2\| \! $ (1) şi $ A_1, A_2, B_1, B_2 \! $ sunt conciclice (2). De asemenea rezultă $ \|B_1B_2\| = \|C_1C_2\|. \! $ (3) şi $ B_1, B_2, C_1, C_2 \! $ conciclice (4).

Din relaţia (1) şi (3) obţinem (ii). Aplicând Lema 2 pentru antiparalelele congruente $ A_1A_2 \! $ şi $ C_1C_2, \! $ obţinem (i) şi faptul că punctele $ A_1, A_2, C_1, C_2 \! $ sunt conciclice (5).

Deoarece $ A_2B_1 \! $ este paralelă cu AB şi $ C_1C_2 \! $ este antiparalelă cu AB, rezultă că $ C_1C_2 \! $ şi $ A_2B_1 \! $ sunt antiparalele, prin urmare punctele $ C_1, C_2, B_1, A_2 \! $ sunt conciclice (6).

Relaţiile (2), (4), (5) şi (6) arată că punctele $ A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 \! $ sunt conciclice deci este adevărată relaţia (iii).


Observaţia 4.

a. în (1) cercul lui Tucker este definit ca cercul ce conţine extremităţile a trei antiparalele egale ale triunghiului ABC.

b. Din teorema demonstrată se deduce un mod de a construi trei antiparalele congruente într-un triunghi şi implicit cercul lui Tucker.

c. Teorema arată de asemenea că plecând dintr-un punct situat pe o latură a triunghiului şi construind alternativ antiparalele la o latură, paralela la latura următoare ş.a.m.d. după 6 paşi hexagonul $ A_1A_2B_1B_2C_1C_2 \! $ se închide (ajunge în punctul de unde am plecat).

Note Edit

  1. Robert Tucker (1832 - 1905) a fost un matematician englez.

Resurse Edit