Fandom

Math Wiki

Cercul lui Tucker

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţie. Dacă ABC este un triunghi şi A_1 \in AB, \; A_2 \in AC \! astfel încât \angle {AA_1A_2} = \angle {ACB}, \! atunci spunem că dreapta A_1A_2 \! este antiparalelă cu BC.

Cercul lui Tucker 1.png

Fig. 1

Cercul lui Tucker 2.png

Fig. 2

Cercul lui Tucker 3.png

Fig. 3


Observaţia 1. Dacă A_1A_2 \! este antiparalelă cu BC atunci patrulaterul A_1A_2CB \! este inscriptibil (fig. 1).

Cercul lui Tucker (constr).JPG

Fig. 4

Lema 1. Dacă în triunghiul ABC, dreapta A_1A_2 \! este antiparalelă cu BC şi dreapta A_2B_1 este paralelă cu AB' (B_1 \in BC) \! şi dreapta B_1B_2 \! este antiparalelă cu AC (B_2 \in AB) \! atunci \|A_1A_2\| = \|B_1B_2\| \! şi punctele A_1, A_2, B_1, B_2 \! sunt conciclice.

Demonstraţie. Deoarece A_1A_2 \! şi B_1 B_2 \! sunt antiparalele cu BC respectiv AC, avem:

\angle{AA_1A_2} = \angle{ACB}, \; \; \angle {BB_2B_1}= \angle{ACB}. \!

Prin urmare \angle AA_1A_2 = \angle {BB_2B_1} \! cu consecinţa:

\angle {A_2A_1B} = \angle {B_1B_2A}. \!   (1)

Deoarece A_2B_1 \| B_1B_2 \! rezultă că patrulaterul A_1A_2B_1B_2 \! este trapez (în ipoteza m \angle C \neq 90^{\circ} \!). Ţinând seama şi de relaţia (1), trapezul A_1A_2B_1B_2 \! este isoscel, deci A_1A_2 = B_1B_2. \! Se ştie că un trapez isoscel este patrulater inscriptibil şi prin urmare punctele A_1, A_2, B_1, B_2 \! sunt conciclice. Dacă m \angle C = 90^{\circ}, \! va rezulta că A_1A_2B_1B_2 \! este dreptunghi şi concluzia rămâne adevărată.


Observaţia 2. Dacă antiparalelele A_1A_2 \! şi B_1B_2 \! sunt ca în fig. 3, se demonstrează în mod analog că patrulaterul A_1B_1A_2B_2 \! este trapez isoscel.


Lema 2. Dacă în triunghiul ABC dreapta A_1A_2 \! este antiparalelă cu BC, dreapta B_1B_2 \! este antiparalelă cu AC (B_1 \in BC, \; B_2 \in AB) \! şi \|A_1A_2\| = \|B_1B_2\| \! atunci A_1B_2 \| A_2B_1 \! şi punctele A_1, A_2, B_1, B_2 \! sunt conciclice.

Demonstraţie. Din faptul că A_1A_2 \! şi B_1B_2 \! sunt antiparalele (vezi fig. 2) cu BC' respectiv AC rezultă că \angle {AA_1A_2} = \angle {BB_2B_1} \! şi de aici obţinem că \angle{A_2A_1B_2} = \angle{B_1B_2A_1}. \! Notăm \{ O \} = A_1B_1 \cap A_2B_2, \! avem: \triangle A_2A_1B_2 \equiv \triangle B_1B_2A_1. \! (LUL) cu consecinţele:

\angle A_2B_2A_1= \angle B_1A_1B_2 \! şi \|A_1B_1\| = \|A_2B_2\|. \!

Triunghiul OA_1B_2 \! este isoscel şi de asemenea triunghiul OB_1A_2 \! este isoscel.

Avem:

\angle B_2A_1O= \frac{180^{\circ} - \angle A_1OB_2}{2} \!

şi

\angle A_1B_1O= \frac{180^{\circ} - \angle A_2OB_1}{2}, \!

prin urmare \angle B_2A_1O=\angle A_2A_1O \! ceea ce conduce la A_1B_2 \| A_2B_1. \! Patrulaterul A_1A_2B_1B_2 \! este prin urmare, în general, trapez isoscel, deci \|A_1A_2\| = \|B_1B_2\| \! şi punctele A_1, A_2, B_1, B_2 \! sunt conciclice. Dacă m(\angle ACB) = 90^{\circ}, \! patrulaterul A_1A_2B_1B_2 \! este dreptunghi şi concluzia lemei se păstrează.


Observaţia 3. Lema 2 arată că extremităţile a două antiparalele congruente duse într-un triunghi sunt puncte conciclice.


Teoremă. Dacă ABC este un triunghi, dreapta A_1A_2 \! este antiparalelă cu BC, dreapta A_2B_1 \! este paralelă cu AB (B \in BC) , \! dreapta B_1B_2 \! este antiparalelă cu AC (B_2 \in AB), \! dreapta B_2C_1 \! este paralelă cu BC (C_1 \in AC) \! şi dreapta C_1C_2 \! este antiparalelă cu AB (C_2 \in BC), \! atunci:

(i) C_1A_1 \! este paralelă cu AC;

(ii) \|A_1A_2\| = \|B_1B_2\|= \|C_1C_2\|; \!

(iii) Punctele A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 \! sunt conciclice (cercul lui Tucker)[1]


Demonstraţie. Din Lema 1 rezultă \|A_1A_2\| = \|B_1B_2\|
\! (1) şi A_1, A_2, B_1, B_2 \! sunt conciclice (2). De asemenea rezultă \|B_1B_2\| = \|C_1C_2\|. \! (3) şi B_1, B_2, C_1, C_2 \! conciclice (4).

Din relaţia (1) şi (3) obţinem (ii). Aplicând Lema 2 pentru antiparalelele congruente A_1A_2 \! şi C_1C_2, \! obţinem (i) şi faptul că punctele A_1, A_2, C_1, C_2 \! sunt conciclice (5).

Deoarece A_2B_1 \! este paralelă cu AB şi C_1C_2 \! este antiparalelă cu AB, rezultă că C_1C_2 \! şi A_2B_1 \! sunt antiparalele, prin urmare punctele C_1, C_2, B_1, A_2 \! sunt conciclice (6).

Relaţiile (2), (4), (5) şi (6) arată că punctele A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 \! sunt conciclice deci este adevărată relaţia (iii).


Observaţia 4.

a. în (1) cercul lui Tucker este definit ca cercul ce conţine extremităţile a trei antiparalele egale ale triunghiului ABC.

b. Din teorema demonstrată se deduce un mod de a construi trei antiparalele congruente într-un triunghi şi implicit cercul lui Tucker.

c. Teorema arată de asemenea că plecând dintr-un punct situat pe o latură a triunghiului şi construind alternativ antiparalele la o latură, paralela la latura următoare ş.a.m.d. după 6 paşi hexagonul A_1A_2B_1B_2C_1C_2 \! se închide (ajunge în punctul de unde am plecat).

Note Edit

  1. Robert Tucker (1832 - 1905) a fost un matematician englez.

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki