Fandom

Math Wiki

Cercul celor nouă puncte

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Cercul celor 9 puncte (2).png

Enunţ Edit

Teoremă (Euler). Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt 9 puncte conciclice (Cercul celor 9 puncte sau Cercul lui Euler).


Iată încă o teoremă pentru care prezentăm o demonstraţie trigonometrică. Demonstraţia se va face în două etape. În prima etapă se va arăta că mijloacele laturilor şi picioarele înălţimilor sunt puncte conciclice, iar în a doua etapă că picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice. În ambele etape se va folosi reciproca teoremei lui Ptolemeu.

I. Mijloacele laturilor şi picioarele înălţimilor sunt puncte conciclice

Fie M, N, P respectiv mijloacele laturilor BC, CA şi AB, iar A', B', C' respectiv picioarele înălţimilor corespunzătoare aceloraşi laturi ale triunghiului ABC. Vom demonstra pentru început că punctele A', M, N şi P sunt conciclice. Pentru aceasta, calculăm lungimile laturilor şi diagonalelor patrulaterului A'MNP.

MN=\frac{c}{2}; NP=\frac{a}{2}; MP=\frac{b}{2} (linii mijlocii în \bigtriangleup ABC) A'P=\frac{c}{2}; A'N=\frac{b}{2} (mediane corespunzătoare ipotenuzelor în \bigtriangleup AA'B, respectiv \bigtriangleup AA'C) A'M=BM-BA'=\frac{a}{2}-c\cos B=\frac{a}{2}-c\cdot\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{b^2-c^2}{2a}.

Calculăm apoi

(1) A'M\cdot NP+MN\cdot A'P=\frac{b^2-c^2}{2a}\cdot \frac{a}{2}+\frac{c}{2}\cdot \frac{c}{2}=\frac{b^2-c^2}{4}+\frac{c^2}{4}=\frac{b^2}{4}; Şi

(2) A'N\cdot MP=\frac{b}{2}\cdot \frac{b}{2}=\frac{b^2}{4}.

Demonstratie teorema Euler.png

Comparând relaţiile (1) şi (2), constatăm că A'M \cdot NP+MN  \cdot  A'P=A'N \cdot MP, Adică patrulaterul A'MNP este inscriptibil, conform reciprocei lui Ptolemeu. Analog, se demonstrează că B', M, N, P, respectiv C', M, N, P sunt conciclice. Prin urmare, picioarele înălţimilor şi mijloacele laturilor unui triunghi sunt puncte conciclice. II. Picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.

Demonstratie teorema Euler 2.png

Fie A', B', C' picioarele înălţimilor corespunzătoare laturilor BC, CA, respectiv AB şi A, B, C mijloacele segmentelor AH, BH, respectiv CH. Vom demonstra pentru început că punctele A', B', C' şi A sunt conciclice. Pentru aceasta,calculăm lungimile laturilor şi diagonalelor patrulaterului A'B'AC'. A'B'=c\cos C; B'C'=a\cos A; A'C'=b\cos B; B'A''=\frac{AH}{2}; C'A''=\frac{AH}{2} (mediane corespunzătoare ipotenuzei în triunghiurile dreptunghice AB'H, respectiv AC'H);

Pentru calculul lui HA', aplicăm teorema lui Menelaos în triunghiul AA'C intersectat de dreapta BB': \frac{HA}{HA'} \cdot \frac{BA'}{BC} \cdot \frac{B'C}{B'A}=1 \Leftrightarrow \frac{HA}{HA'} \cdot \frac{c\cos B}{a} \cdot {a\cos C}{c\cos A}=1 \Leftrightarrow \frac{HA}{HA'}=\frac{\cos A}{\cos B\cos C} \Leftrightarrow HA'=\frac{AH\cos B\cos C}{\cos A}.

Apoi, A''A'=HA'+A''H=\frac{\cos A+2\cos B\cos C}{\cos A} \cdot \frac{AH}{2}=

=\frac{\cos A+\cos (B+C)+\cos (B-C)}{\cos A} \cdot \frac{AH}{2}=\frac{\cos (B-C)}{\cos A} \cdot \frac{AH}{2}.


Calculăm apoi (1) A''A' \cdot B'C'=\frac{\cos (B-C)}{\cos A} \cdot \frac{AH}{2} \cdot (a\cos A)=a\cos (B-C)\frac{AH}{2};

Şi

(2) A'B' \cdot C'A''+A'C' \cdot B'A''=c\cos C \cdot \frac{AH}{2}+b\cos B \cdot \frac{AH}{2}=

=(b\cos B+c\cos C)\frac{AH}{2}=(2R\sin B\cos B+2R\sin C\cos C)\frac{AH}{2}=R(\sin 2B+\sin 2C)\frac{AH}{2}=

=2R\sin A\cos (B-C)\frac{AH}{2}=a\cos (B-C)\frac{AH}{2}.

Comparând relaţiile (1) şi (2), obţinem: A''A' \cdot B'C'=A'B' \cdot C'A''+A'C' \cdot B'A''.

Prin urmare, patrulaterul A'B'AC' este inscriptibil şi punctele A', B', C', A sunt conciclice. Analog se arată că punctele A', B', C', B şi respectiv A', B', C', C sunt conciclice. Aşadar, picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.

I şi II demonstrează că picioarele înălţimilor, mijloacele laturilor şi mijloacele segmentelor care unesc ortocentrul unui triunghi cu vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.


Cercul celor 9 puncte.png

Trasat cu program tip Geogebra online


Variaţiuni Edit

Fie \triangle ABC, \! dreapta lui Euler (determinată de H şi O) şi \mathcal E \! cercul celor nouă puncte (determinat de mijloacele laturilor, A', B', C' \!).

Cercul celor 9 puncte (Euler) (1).png

Sunt bine cunoscute următoarele proprietăţi ale acestrei configuraţii:

1^{\circ} \! G, O_9 \! (centrul cercului \mathcal E \!) sunt pe \Delta. \!

2^{\circ} \! \mathcal E \! conţine picioarele înălţimilor D, E, F \! şi mijloacele segmentelor |AH|, |BH|, |CH|, \! adică punctele A'', B'', C''. \!

3^{\circ} \! HO_9=OO_9, \; HG=2 OG; \!

4^{\circ} \! punctele A' \! şi A'' \! sunt dimetral opuse în \mathcal E \! şi A'O=AA''=A''H; \!


5^{\circ} \! AO\|A'A'' \! şi AO=A'A''; \!


6^{\circ} \! cercurile \mathcal C \! (circumscris \triangle ABC \!) şi \mathcal E \! sunt omotetice prin omotetiile h_H^{1/2} \! şi h_G^{- 1/2}; \![1] dacă \mathcal C \! are raza R, atunci \mathcal E \! are raza \frac R 2. \!

Următorul rezultat, sugerat de configuraţia de mai sus, reprezintă o generalizare a proprietăţii 4^{\circ} \! (în loc de H considerăm un punct oarecare).

Propoziţia 1. Fie \triangle ABC \! şi P un punct oarecare. Atunci dreptele ce unesc mijloacele A'', B'', C'' \! ale segmentelor ceviene [AP], [BP], [CP] \! cu mijloacele A', B', C' \! ale laturilor opuse sunt concurente.

Cercul celor 9 puncte (Euler) (2).png

Demonstraţie. Patrulaterul B'C'B''C'' \! este paralelogram, căci B'C' \! şi B''C'' \! sunt paralele cu BC şi egale cu \frac{BC}{2}. \! Ca urmare, [B'B''] \! şi [C'C''] \! se intersectează în P' \! aflat la jumătatea fiecăruia. La fel se arată că A'A'' \! şi una dintre B'B'', C'C'' \! se intersectează în P'. \!

Observaţii.

1) Pentru a obţine punctul P este suficient să luăm o singură ceviană; dacă aceasta este AP, atunci P' \! este mijlocul segmentului [A'A'']. \!

2) Distingem trei cercuri cu centrul în punctul P şi de raze P'A', P'B', P'C' \! ce apar în locul cercului celor nouă puncte.

Propoziţia 2. Dacă P este pe \Delta \! atunci P', \! obţinut din P ca în Propoziţia 1, este de asemenea pe \Delta \! (v. fig.).

Cercul celor 9 puncte (Euler) (3).png

Demonstraţie. Fie A'' \! mijlocul segmentului eulerian [AH] \! şi A''' \! mijlocul segmntului cevian [AP]; \! deci A''A''' \| \Delta. \! Notăm cu Q intersecţia paralelei prin A' \! la ceviana AP. Din acest fapt şi din proprietăţile A'O \| AA''' \! şi A'O = AA'', \! rezultă că \triangle A'OQ, \triangle AA''A''' \! sunt congruente (ULU), deci A'Q=AA'''=A'''P. \! Patrulaterul PA'QA''' \! este paralelogram şi P' \! este mijlocul segmentului [PQ]. \! Cum P, Q \in \Delta, \! urmează că P' \in \Delta. \!

Revenind la Propoziţia 1, vom impune punctului P condiţii suplimentare, care să-l apropie de H.

Cercul celor 9 puncte (Euler) (4).png

Propoziţia 3. Fie P un punct în planul \triangle ABC. \! Punctele B', C', B'', C'' \! (fig. 2) sunt conciclice dacă şi numai dacă P \in AH. \!

Demonstraţie. Am observat deja că B'C'B''C'' \! este paralelogram. Dacă B', C', B'', C'' \! sunt conciclice, atunci B'C'B''C'' \! va fi dreptunghi, deci B''C' \perp BC. \! Dar B''C' \| AP \! ( în \triangle PAB \!). Deci AP \perp BC, \! adică P \in AH. \! Implicaţia reciprocă se dovedeşte pe cale inversă.


Propoziţia 4. Fie P în planul \triangle ABC. \! Dacă punctele B', C', B'', C'' \! şi A' \! (sau A'' \!) (fig. 2) sunt conciclice, atunci P coincide cu H.

Demonstraţie. Cercul pe care se află punctele are centrul în P'. \! Ambele puncte A' \! şi A'' \! vor fi pe cerc, căci P'A'=P'A'' \! şi unul din ele, prin ipoteză, este pe cerc. Conform Propoziţiei 3, aplicată de 3 ori, avem P \in AH, \; P \in BH \! şi P \in CH, \! adică P şi H coincid.


Propoziţia 5. Dacă punctul P verifică condiţia AP \perp BC \! şi punctele A', B', C', A'' \! (fig. 2) sunt conciclice, atunci P este ortocentrul H al \triangle ABC. \!

Demonstraţie. Punctul A_1 \! definit prin \{ A_1 \} = AP \perp BC \! este piciorul înălţimii duse din A. Ca urmare, A_1 \in \mathcal E \! şi \triangle A_1A'A'' \! dreptunghic în A_1 \! este înscris în \mathcal E; \! deci, A'A'' \! este un diametru în \mathcal E. \! În consecinţă, mijlocul lui A'A'', \! care este P', \! va fi centrul cercului \mathcal E. \! Din faptul că B', C' \in \mathcal E, \! rezultă că punctele diametral opuse lor vor fi pe acest cerc, adică B'', C'' \in \mathcal E. \! Se poate aplica Propoziţia 4, conform căreia P este punctul H.

Galerie Edit

Nine-point circle 1.svg Nine-point circle 2.gif Nine-point circle 3.gif Nine-point circle 4.PNG Nine-point circle 5.jpg 2NinePoint3.gif

Note Edit

  1. 1. D. Brânzei, S. Aniţa, C. Cocea - Planul si spaţiul euclidian, Biblioteca profesorului de matematică, Ed. Academiei, Bucureşti, 1986

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Euler thumb portrait.png
Leonhard Euler
  • Dreapta lui Euler‎‎Cercul lui EulerEcuația Cauchy–EulerNumărul lui EulerConstanta lui EulerCaracteristica EulerTeorema lui Euler (geometrie)Teorema lui Euler (teoria numerelor)Funcția lui EulerFormula lui EulerFormula lui Euler (mecanică)Metoda EulerIntegrala Euler-PoissonFormula Euler-MaclaurinProdusul lui EulerIntegrală EulerUnghiurile lui EulerInegalitatea lui EulerRelația lui Euler pentru patrulatere

Also on Fandom

Random Wiki