Fandom

Math Wiki

Cerc înscris într-un triunghi

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments3 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.


Teoremă Vectorul de poziție al centrului I al cercului circumscris într-un triunghi ABC este dat de:

\overrightarrow {P} = \frac {1}{a+b+c} (a \overrightarrow {PA} + b\overrightarrow {PB} + c \overrightarrow {PC}),  \!

unde P este un punct arbitrar din spaţiu.

Aplicaţii Edit

Propoziţia 1 Edit

Propoziţia 1. Fie I centru cercului circumscris în triunghiul ABC, dacă M este un punct în spațiu, atunci:

MI < \frac{a}{a+b+c} MA +  \frac{b}{a+b+c} MB +  \frac{c}{a+b+c} MC.  \!

Demonstraţie. Mai întâi vom demonstra următoarele leme:

Lema 1.

Pt demonstr ineg med.png

Fie ABC un triunghi şi M \in (BC) \! astfel încât \frac{BM}{BC} = k \in (0, 1). \! Atunci:

AM < k AC +(1-k) AB. \!

Demonstraţie. Fie N \in (AB) \! astfel încât MN \| AC. \! Din teorema fundamentală a asemănării obţinem MN= k AC \! şi AN= (1-k) AB. \! Aplicând în triunghiul AMN inegalitatea triunghiului, avem:

AM< MN + AN \!

sau, conform celor de mai sus,

AM< k AC + (1-k) AB. \!


Lema 2. Fie ABCD un tetraedru, M \in int (BCD), \; N \in (CM \cap BD \! şi P \in (DM \cap BC. \! Dacă \frac{BN}{ND} = u \! şi \frac{BP}{PC} = v, \! atunci:

AM < \frac{1}{u+v+1} AB +\frac{v}{u+v+1} AC +\frac{u}{u+v+1} AD. \!

Demonstraţie. Fie Q \in (BM \cap CD. \! În baza teoremei lui van Aubel,

\frac{MB}{MQ} = \frac{BN}{ND} + \frac{BP}{PC} = u+v, \!

de unde:

\frac{BM}{MQ} = \frac{u+v}{u+v+1}. \!   (1)

Având în vedere lema 1, obţinem:

AM < \frac{1}{u+v +1} AB + \frac{u+v}{u+v+1} AQ. \!   (2)

Din teorema lui Ceva, aplicată în \triangle BCD, \! obţinem \frac {CQ}{QD} = \frac u v, \! adică \frac {CQ}{QD} = \frac{u}{u+v}. \! Aplicând iar lema 1 în \triangle ACD \! vom avea:

AQ< \frac{v}{u+v} AC + \frac{u}{u+v} AD. \!   (3)

Relaţiile (2) şi (3) conduc la:

AM< \frac{1}{u+v+1}AB + \frac{v}{u+v+1} AC + \frac{u}{u+v+1} AD, \!

QED.

Observaţie. Lema 2 se mai poate demonstra şi cu ajutorul relaţiei lui Stewart, care permite determinarea lui AM în funcţie de AB, AC, AD, u, v .\!


Acum să trecem la demonstrarea propoziţiei 1.

Din teorema bisectoarei avem:

u = \frac{BN}{ND}, \; \; v = \frac{BP}{PC} = \frac{BD}{CD}. \!

Se aplică lema 2.

Propoziţia 2 Edit

Cerc inscris fig 1.JPG

Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC şi K, M, N sunt punctele de tangenţă ale acestui cerc cu laturile AC, AB, respectiv BC, iar mediana BB_1 \! intersectează MN în D, să se arate că punctele I, D, K sunt coliniare.

Cerc inscris fig 2.JPG

Soluţie. Notăm MN \cap KI= \{L\} \! şi E, F intersecţiile cu AB, respectiv BC ale paralelei prin L la AC. Patrulaterul ILME are două unghiuri opuse drepte (\angle {ILE}, \angle {IME}), \! deci este inscriptibil, înscris în cercul de diametru IE. Deducem astfel că \angle {IEL} \equiv \angle {IML}. \! Analog ajungem la \angle{IFL} \equiv \angle {INL}. \!

Deoarece triunghiul IMN este isoscel (\|IM\| = \|IN\|=r), \! deducem \angle{IEF} \equiv \angle{IFE}, \! adică şi EIF este triunghi isoscel, de unde înălţimea IL este şi mediană. Aşadar, EL=LF \; \Rightarrow \; L \in BB_1 \! şi astfel L coincide cu D. QED.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki