FANDOM



Teoremă Vectorul de poziție al centrului I al cercului circumscris într-un triunghi ABC este dat de:

$ \overrightarrow {P} = \frac {1}{a+b+c} (a \overrightarrow {PA} + b\overrightarrow {PB} + c \overrightarrow {PC}), \! $

unde P este un punct arbitrar din spaţiu.

Aplicaţii Edit

Propoziţia 1 Edit

Propoziţia 1. Fie I centru cercului circumscris în triunghiul ABC, dacă M este un punct în spațiu, atunci:

$ MI < \frac{a}{a+b+c} MA + \frac{b}{a+b+c} MB + \frac{c}{a+b+c} MC. \! $

Demonstraţie. Mai întâi vom demonstra următoarele leme:

Lema 1.

Pt demonstr ineg med

Fie ABC un triunghi şi $ M \in (BC) \! $ astfel încât $ \frac{BM}{BC} = k \in (0, 1). \! $ Atunci:

$ AM < k AC +(1-k) AB. \! $

Demonstraţie. Fie $ N \in (AB) \! $ astfel încât $ MN \| AC. \! $ Din teorema fundamentală a asemănării obţinem $ MN= k AC \! $ şi $ AN= (1-k) AB. \! $ Aplicând în triunghiul AMN inegalitatea triunghiului, avem:

$ AM< MN + AN \! $

sau, conform celor de mai sus,

$ AM< k AC + (1-k) AB. \! $


Lema 2. Fie ABCD un tetraedru, $ M \in int (BCD), \; N \in (CM \cap BD \! $ şi $ P \in (DM \cap BC. \! $ Dacă $ \frac{BN}{ND} = u \! $ şi $ \frac{BP}{PC} = v, \! $ atunci:

$ AM < \frac{1}{u+v+1} AB +\frac{v}{u+v+1} AC +\frac{u}{u+v+1} AD. \! $

Demonstraţie. Fie $ Q \in (BM \cap CD. \! $ În baza teoremei lui van Aubel,

$ \frac{MB}{MQ} = \frac{BN}{ND} + \frac{BP}{PC} = u+v, \! $

de unde:

$ \frac{BM}{MQ} = \frac{u+v}{u+v+1}. \! $   (1)

Având în vedere lema 1, obţinem:

$ AM < \frac{1}{u+v +1} AB + \frac{u+v}{u+v+1} AQ. \! $   (2)

Din teorema lui Ceva, aplicată în $ \triangle BCD, \! $ obţinem $ \frac {CQ}{QD} = \frac u v, \! $ adică $ \frac {CQ}{QD} = \frac{u}{u+v}. \! $ Aplicând iar lema 1 în $ \triangle ACD \! $ vom avea:

$ AQ< \frac{v}{u+v} AC + \frac{u}{u+v} AD. \! $   (3)

Relaţiile (2) şi (3) conduc la:

$ AM< \frac{1}{u+v+1}AB + \frac{v}{u+v+1} AC + \frac{u}{u+v+1} AD, \! $

QED.

Observaţie. Lema 2 se mai poate demonstra şi cu ajutorul relaţiei lui Stewart, care permite determinarea lui AM în funcţie de $ AB, AC, AD, u, v .\! $


Acum să trecem la demonstrarea propoziţiei 1.

Din teorema bisectoarei avem:

$ u = \frac{BN}{ND}, \; \; v = \frac{BP}{PC} = \frac{BD}{CD}. \! $

Se aplică lema 2.

Propoziţia 2 Edit

Cerc inscris fig 1

Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC şi K, M, N sunt punctele de tangenţă ale acestui cerc cu laturile AC, AB, respectiv BC, iar mediana $ BB_1 \! $ intersectează MN în D, să se arate că punctele I, D, K sunt coliniare.

Cerc inscris fig 2

Soluţie. Notăm $ MN \cap KI= \{L\} \! $ şi E, F intersecţiile cu AB, respectiv BC ale paralelei prin L la AC. Patrulaterul ILME are două unghiuri opuse drepte $ (\angle {ILE}, \angle {IME}), \! $ deci este inscriptibil, înscris în cercul de diametru IE. Deducem astfel că $ \angle {IEL} \equiv \angle {IML}. \! $ Analog ajungem la $ \angle{IFL} \equiv \angle {INL}. \! $

Deoarece triunghiul IMN este isoscel $ (\|IM\| = \|IN\|=r), \! $ deducem $ \angle{IEF} \equiv \angle{IFE}, \! $ adică şi EIF este triunghi isoscel, de unde înălţimea IL este şi mediană. Aşadar, $ EL=LF \; \Rightarrow \; L \in BB_1 \! $ şi astfel L coincide cu D. QED.

Vezi şi Edit

Resurse Edit