Fandom

Math Wiki

Cerc

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments2 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Reprezentare cerc in coordonate carteziene.png

Definiţie Edit

Coarda, diametrul unui cerc.png

Cercul cu centrul în O şi rază r este mulțimea tuturor punctelor din plan situate la distanta r faţă de O:

\mathcal C(O, r) = \{ M(x, y) \; | \; \| OM \| = r \}. \!

Se notează \mathcal C(O, r). \!

r se numeşte raza cercului. O se numeşte centrul cercului.

Dacă M, N sunt două puncte ale unui cerc, segmentul [MN] \! se numeşte coardă. O coardă ce conţine centrul cercului se numeşte diametru.

Cercurile care au raze egale se numesc cercuri congruente.

Dacă două cercuri au acelaşi centru şi aceeaşi rază, acestea coincid. Cercurile care au acelaşi centru se numesc cercuri concentrice.

Interiorul unui cerc.png

Fiind dat cercul \mathcal C(O, r), \! mulţimea punctelor M din plan pentru care OM < r \! se numeşte interiorul cercului şi se notează Int \mathcal C(O, r). \! Mulţimea punctelor N din plan pentru care ON>r, \! se numeşte exteriorul cercului şi se notează Ext \mathcal C(O, r). \!


Interiorul unui cerc 2.png

Ecuaţii ale cercului Edit

  • ecuaţia generală:
A(x^2 + y^2) + Bx + Cy + D =0. \!
  • ecuaţia cercului de centru O(a, b) \! şi rază r:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. \!

În particular, pentru cercul cu centrul în origine, ecuaţia devine:

x^2 + y^2 = r^2. \!

cu O(-m, -n) \! şi r^2 = m^2+ n^2 -p. \!

  • ecuaţia cercului de diametru A(x_1, y_1), B(x_2, y_2): \!
(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) =0. \!
  • ecuaţia tangentei după o direcţie de pantă m:
y-b = m(x-a) \pm r \sqrt {1+ m^2} \!

În particular, pentru cercul cu centrul în origine, ecuaţia devine:

y = mx \pm r \sqrt {1+ m^2} \!
  • ecuaţia tangentei în punctul M(x_0, y_0): \!
(x-a)(x_0 - a) + (y-b)(y_0 - b) = r^2 \!

În particular, pentru cercul cu centrul în origine, ecuaţia devine:

xx_0 + yy_0 = r^2. \!
  • ecuaţia normală a cercului:
x^2 + y^2 + 2mx +2ny +p =0, \!
  • ecuaţia tangentei în punctul M(x_0, y_0): \! devine:
xx_0 + yy_0 + m(x+x_0) + n(y + y_0) + p =0. \!
  • distanţa de la centrul cercului la dreapta de ecuaţie y = mx+ n \!
d(0, d) = \frac{|ma-b + n|}{\sqrt{m^2 +1}} \! sau d = \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}. \!


Ecuaţia cercului care trece prin trei puncte (x_i, y_i), \; i = \overline {1, 3} \! este:

(C) \ : \begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1 \\  x^2_1+y^2_1 & x_1 & y_1 & 1 \\x^2_2+y^2_2 & x_2 & y_2 & 1 \\x^2_3+y^2_3 & x_3 & y_3 & 1   \end{vmatrix} =0. \!

Poziţia unei drepte faţă de cerc Edit

  • exterioară: dreapta nu are niciun punct comun cu cercul şi d> r; \!
  • secantă: dreapta taie cercul în două puncte, d<r; \!
  • tangentă: dreapta are un singur punct comun cu cercul (punct de tangenţă), d= r. \!

(S-a notat cu d distanţa de la dreaptă la centrul cercului.)

Pozitia unei drepte fata de cerc.png

Poziţiile relative a două cercuri Edit

  • exterioare: nu au niciun punct comun şi d> R+r \!
  • tangente exterior: un singur punct comun şi d= R+r \!
  • secante: au două puncte comune şi R-r<d<R+r \!
  • tangente interior: un singur punct comun şi d= R-r \!
  • interioare: nu au niciun punct comun şi d<R-r \!
  • concentrice: niciun punct comun, au acelaşi centru şi d=0. \!

Tipuri de cercuri Edit

  • cerc circumscris unui poligon: cercul ce trece prin toate vârfurile poligonului;
  • cerc înscris în poligon: cercul tangent, în interior, tuturor laturilor poligonului; pentru poligoanele regulate, centrul cercului se află în centrul poligonului, adică la intersecţia diagonalelor acestuia;
  • cerc exînscris unui poligon: cercul tangent în exterior la una din laturile unui triunghi şi prelungirile celorlalte două; centrul său se află la intersecţia bisectoarelor a două unghiuri exterioare şi a bisectoarei unghiului exterior neadiacent cu acestea
  • cerc trigonometric: cercul de rază egală cu unitatea, pe care se studiază funcţiile trigonometrice; centrul său se află în originea axelor de coordonate;
  • cercuri ortogonale: două cercuri care se taie sub un unghi drept; unghiul se formează între tangentele duse la cele două cercuri ce trec fiecare prin centrul celuilalt;

Teoreme referitoare la cerc Edit

  • În acelaşi triunghi sau la cercuri congruente, la arce congruente corespund coarde congruente şi reciproc.
  • Două coarde ale unui cerc sunt congruente dacă şi numai dacă sunt egal depărtate de centrul cercului.
  • Perpendiculara din centrul unui cerc pe o coardă trece prin mijlocul coardei şi a arcului subîntins.
  • Dacă două coarde AB şi CD sunt congruente, atunci AB \| CD \! sau AC \| BD. \!
  • Dacă două coarde sunt paralele într-un cerc, atunci coardele cuprinse între ele sunt congruente.


Cerc 2.png Cerc 3.png Cerc 4.png Cerc 5.png Cerc 6.png Cerc 7.png Cerc 8.png Cerc 9.png Cerc 10.png Cerc 11.png Cerc 12.png Cerc 13.png Cerc 14.png Cerc 15.png Cerc 16.png

Aplicaţii Edit

Folosind formula lungimii de arc şi ecuațiile parametrice ale cercului centrat în origine, de rază R, să se obţină expresia lungimii cercului.

Soluţie. Cum ecuaţia cercului este:

\bar r(t) = (R \cos t, R \sin t), \; t \in (0, 2 \pi) \! rezultă:
L(C) = \int_0^{2 \pi} \sqrt {R^2 \sin^2 t + R^2 \cos ^2 t} dt = 2 \pi R. \!


Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki