Math Wiki
Register
Advertisement
Reprezentare cerc in coordonate carteziene

Definiţie[]

Coarda, diametrul unui cerc

Cercul cu centrul în O şi rază r este mulțimea tuturor punctelor din plan situate la distanta r faţă de O:

Se notează

r se numeşte raza cercului. O se numeşte centrul cercului.

Dacă M, N sunt două puncte ale unui cerc, segmentul se numeşte coardă. O coardă ce conţine centrul cercului se numeşte diametru.

Cercurile care au raze egale se numesc cercuri congruente.

Dacă două cercuri au acelaşi centru şi aceeaşi rază, acestea coincid. Cercurile care au acelaşi centru se numesc cercuri concentrice.

Interiorul unui cerc

Fiind dat cercul mulţimea punctelor M din plan pentru care se numeşte interiorul cercului şi se notează Mulţimea punctelor N din plan pentru care se numeşte exteriorul cercului şi se notează


Interiorul unui cerc 2

Ecuaţii ale cercului[]

  • ecuaţia generală:
  • ecuaţia cercului de centru şi rază r:

În particular, pentru cercul cu centrul în origine, ecuaţia devine:

cu şi

  • ecuaţia cercului de diametru
  • ecuaţia tangentei după o direcţie de pantă m:

În particular, pentru cercul cu centrul în origine, ecuaţia devine:

  • ecuaţia tangentei în punctul

În particular, pentru cercul cu centrul în origine, ecuaţia devine:

  • ecuaţia normală a cercului:
  • ecuaţia tangentei în punctul devine:
  • distanţa de la centrul cercului la dreapta de ecuaţie
sau


Ecuaţia cercului care trece prin trei puncte este:

Poziţia unei drepte faţă de cerc[]

  • exterioară: dreapta nu are niciun punct comun cu cercul şi
  • secantă: dreapta taie cercul în două puncte,
  • tangentă: dreapta are un singur punct comun cu cercul (punct de tangenţă),

(S-a notat cu d distanţa de la dreaptă la centrul cercului.)

Pozitia unei drepte fata de cerc

Poziţiile relative a două cercuri[]

  • exterioare: nu au niciun punct comun şi
  • tangente exterior: un singur punct comun şi
  • secante: au două puncte comune şi
  • tangente interior: un singur punct comun şi
  • interioare: nu au niciun punct comun şi
  • concentrice: niciun punct comun, au acelaşi centru şi

Tipuri de cercuri[]

  • cerc circumscris unui poligon: cercul ce trece prin toate vârfurile poligonului;
  • cerc înscris în poligon: cercul tangent, în interior, tuturor laturilor poligonului; pentru poligoanele regulate, centrul cercului se află în centrul poligonului, adică la intersecţia diagonalelor acestuia;
  • cerc exînscris unui poligon: cercul tangent în exterior la una din laturile unui triunghi şi prelungirile celorlalte două; centrul său se află la intersecţia bisectoarelor a două unghiuri exterioare şi a bisectoarei unghiului exterior neadiacent cu acestea
  • cerc trigonometric: cercul de rază egală cu unitatea, pe care se studiază funcţiile trigonometrice; centrul său se află în originea axelor de coordonate;
  • cercuri ortogonale: două cercuri care se taie sub un unghi drept; unghiul se formează între tangentele duse la cele două cercuri ce trec fiecare prin centrul celuilalt;

Teoreme referitoare la cerc[]

  • În acelaşi triunghi sau la cercuri congruente, la arce congruente corespund coarde congruente şi reciproc.
  • Două coarde ale unui cerc sunt congruente dacă şi numai dacă sunt egal depărtate de centrul cercului.
  • Perpendiculara din centrul unui cerc pe o coardă trece prin mijlocul coardei şi a arcului subîntins.
  • Dacă două coarde AB şit congruente, atunci sau
  • Dacă două coarde sunt paralele într-un cerc, atunci coardele cuprinse între ele sunt congruente.


Cerc 2 Cerc 3 Cerc 4 Cerc 5 Cerc 6 Cerc 7 Cerc 8 Cerc 9 Cerc 10 Cerc 11 Cerc 12 Cerc 13 Cerc 14 Cerc 15 Cerc 16

Aplicaţii[]

Folosind formula lungimii de arc şi ecuațiile parametrice ale cercului centrat în origine, de rază R, să se obţină expresia lungimii cercului.

Soluţie. Cum ecuaţia cercului este:

rezultă:


Vezi şi[]

Resurse[]

Advertisement