Fandom

Math Wiki

Centru de masă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Centrul de masă al unui sistem format din două particule Edit

Numim punctul care divide distanţa dintre cele doua corpuri in segmente invers proporţionale cu masele lor centrul de masă al sistemului. Mai general, centrul de masă este acel punct in care este concentrată toată masa unui sistem si, din punct de vedere dinamic, descrie comportarea înregului sistem de puncte materiale. Pentru două puncte materiale aflate pe axa Ox, având masele m_1 \! si m_2 \! (fig.1), poziţia centrului de masă se calculează cu ajutorul relaţiei :

X_{CM} = \frac{m_1x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}.

Daca poziţile celor două puncte materiale sunt caracterizate faţă de un sistem de referinţă prin vectorii de poziţie r_1 \! si ,respectiv r_2 \! (fig.2), atunci :

R_{CM} =  \frac{m_1x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}.  \!

Centru de masa fig 1.png

Proprietăţile centrului de masă al unui sistem format din două particule Edit

Dacă punctele materiale m_1 \! si m_2 \! isi modifică poziţiile faţă de sistemul de referinţă, atunci, intr-un mic interval de timp, \Delta t \!, variaţia vectorului de poziţie al centrului de masă va fi :

\Delta r_{CM} = \frac{m_1 \Delta r_1 + m_2 \Delta r_2}{m_1 + m_2} \!


Dacă notam cu M = m_1+m_2 \! masa totală a sistemului format din cele două puncte materiale observăm că :

Mv_{CM} = m_1 v_1 + m_2 v_2 = p_1 + p_2 = p  \!


Tragem concluzia că impulsul total al sistemului de puncte materiale este identic cu impulsul centrului de masă, M \cdot v_{CM} \! Dacă impulsul unui sistem format din două puncte materiale se conservă, atunci viteza centrului de masă al acelui sistem rămâne constantă şi putem spune că centrul de masă se deplasează rectiliniu uniform. Pentru a ne explica acest fenomen, să pornim de la urmatorul experiment : Doi patinatori de mase diferite, m_1 \! , respectiv m_12 \! , stau pe gheaţă faţă in faţă. La un moment dat, unul dintre ei il împinge pe cel de-al doilea. Considerand frecările neglijabile, cei doi parteneri se vor deplasa cu impulsuri egale, in sensuri opuse, cu vitezele v_1 \! , respectiv v_2. \!:

m_1 v_1 = m_2 v_2 \!

Deci raportul vitezelor este invers proportional cu raportul maselor:

\frac {m_2}{m_2} = \frac {v_1}{v_2} \!


Presupunând că timpul de interacţiune a fost foarte scurt si cei doi, după un interval de timp \Delta t, \! se mişcă tot cu vitezele de la pornire, distanţele parcurse de la locul de despărţire sunt : x_1=v_1 \Delta t \! si x_2=v_2 \Delta t. \! Aceste două distanţe sunt direct proporţionale cu vitezele si deci invers poporţionale cu masele celor două corpuri:

\frac {x_1}{x_2} = \frac {v_1}{v_2} = frac {m_1}{m_2}. \!

În exemplul dat aici, centrul de masă al sistemului format din cei doi patinatori este locul deplasării lor rectilinii uniforme.

Centru de masa fig 2.png

În cazul prezentat cei doi patinatori aveau, înaintea interacţiunii, un impuls nul. Acest impuls s-a conservat deoarece in timpul interacţiunii fortele externe au fost negljabile ( frecarea cu gheaţa si cu aerul este foarte mică ), iar forţele interne de interacţiune dintre patinatori nu modifică impulsul total al sistemului. Cei doi s-au deplasat cu impulsuri egale si de sensuri contrare, astfel ca impulsul total al sistemului să nu se modifice, Centrul de masă, in acest caz, a ramas in repaus, in punctul de unde s-au despărţit cei doi patinatori. Un alt exemplu s-ar putea da in cazul unei explozii a unei rachete. După producerea exploziei veţi vedea fragmentele rezultate mişcându-se in diferite direcţii faţă de traiectoria iniţiala a rachetei. Intuiţi că exista un punct al sistemului format din fragmentele unei rachete care continuă să se mişte, si dupa producerea exploziei, pe traectoria iniţiala a rachetei, pânăă când unul dintre fragmente va atinge solul.

Forţele interne dezvoltate in momentul exploziei rachetei sunt mult mai mari decât forţele externe care acţioneaza asupra ei, motiv pentru care putem considera că impulsul ei se conservă. Din acest motiv, centrul ei de masă continuă să se mişte pe aceeaşi traiectorie până când unul dintre fragmente atinge solul, modificând astfel configuraţia sistemului. Dacă vitezele celor două puncte materilale se modifică in intervalul mic de timp (\Delta t \!), putem scrie:

\Delta v_{CM} = \frac {m_1 \Delta v_1 +m_2 \Delta v_2}{m_1 + m_2}. \!

Împarţind acum la \Delta t \! si folosind relaţia prin care definim acceleraţia unui punct material , Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): a =\frac {Δv}{Δt} , \!

obţinem :
a_{CM}= \frac {m_1 a_1 +m_2 a_2}{m_1 + m_2} \!

adică

M \cdot a_{CM} = m_1 a_1 +m_2 a_2 = F_1 + F_2. \!

unde am notat F = F_1 +F_2 \! rezultanta forţelor externe care acţionează asupra punctelor sistemului.

Relaţia:

M \cdot a_{CM} = F \!

ne arată că dacă rezultanta forţelor externe este nulă, a_{CM} = 0 \! , adică impulsul sistemului format din cele două puncte materiale se conservă.

Aplicaţie Edit

Sirius este o stea dublă, formată din două stele: Sirius A si Sirius B. Traiectoriile lui Sirius A si Sirius B sunt reprezentate in fig.3. Masa lui Sirius A este m_A = 4,2 \cdot 10^{30} kg \! , iar masa lui Sirius B este m_B= 2,1 \cdot 10^{30}kg. \! Poziţiile ocupate de cele două stele din cinci in cinci ani sunt reprezentate printr-un punct negru pentru Sirius A si printr-un punct colorat pentru Sirius B (fig.3). Trasaţi traiectoria centrului de masă al sistemului format din cele două stele. Caracterizaţi mişcarea centrului lor de masă.Explicati.


x_{CM} = \frac {m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} \; \Rightarrow \; x_{CM}= \frac {m_2 d}{m_1 + m_2} \!
x_1=0, \; x_2=d \!

Centru de masa fig 3.png

Mişcarea centrului de masă a celor două stele este o miscare rectilinie uniformă deoarece descrie o dreaptă, iar distanţele dintre centrele de masa la un interval de cinci ani sunt egale.


Centru de masa fig 4.png

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki