FANDOM


Cardioidcremona2

[gr. kardia "inimă", eidos "aspect, înfăţişare"]

Cardioida este o curbă plană descrisă de un punct dat al unui cerc, care se rostogoleşte, fără alunecare, pe un cerc fix, exterior şi de aceeaşi rază.

Dacă se consideră a = b în reprezentarea parametrică a epicicloidei, se obţine reprezentarea parametrică a cardioidei:

$ (\Gamma): \; \begin{cases} x=a (2 \cos \phi - \cos 2 \phi), \\ y=a (2 \sin \phi - \sin 2 \phi), \end{cases} \! $

reprezentata grafic în fig. 1.6. Este interesant de determinat ecuaţia cardioidei în coordonate polare. În acest scop este avantajos a se translata reperul xOy în punctul A. Rezultă schimbarea numai a abscisei x, care devine x + a. În acest reper rezultă deci:

Reprezentare cardioida
$ (\Gamma): \; \begin{cases} x=a (2 \cos \phi - \cos 2 \phi -1), \\ y=a (2 \sin \phi - \sin 2 \phi), \end{cases} \! $

sau:

$ (\Gamma): \; \begin{cases} x=2a \cos \phi (1 - \cos \phi), \\ y=2a \sin \phi (1 - \cos \phi). \end{cases} \! $

Prin eliminarea, între cele două ecuaţii, a parametrului $ \phi \! $, se obţine:

$ \tan \phi = \frac y x \! $ şi $ \cos \phi = \frac {x}{\sqrt {x^2 + y^2}}, \! $

deci:

$ x= 2a \frac {x}{\sqrt {x^2 + y^2}} \left ( 1- \frac {x}{\sqrt {x^2 + y^2}} \right ), \! $

adică:

$ (\Gamma): \; x^2 + y^2 = 2a (\sqrt{x^2 + y^2} - x), \! $
Constructia cardioidei

Construcţia cardioidei

sau:

$ (\Gamma): \; (x^2 + y^2 - 2ax)^2 -4 a^2 (x^2 + y^2)=0. \! $

Ultimele doua ecuaţii, constituie reprezentarea implicită (iraţională, respectiv raţională) a cardioidei.

Prin substituirea formulelor $ x= \rho \cos \theta, \; \rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \! $ se obtine ecuaţia cardioidei în coordonate polare, sau reprezentarea polară a cardioidei:

$ (\Gamma): \; \rho= 2a (1 - \cos \theta), \! $

reperul polar are drept pol, punctul de contact al cercurilor, iar drept axa polară, linia centrelor celor două cercuri.

Lungimea cardioidei este 16a, iar aria domeniului mărginit de curbă este: $ 6 \pi a^2. \! $

Cardiodia a fost studiată de Louis Carré în 1705 şi de J. Koersma în 1741[1] (după alte surse, 1689[2]). Denumirea acestei curbe a fost propusă de Giovanni da Castiglione (1741).

Relaţii cu alte curbe Edit

Cardioida este:

  • un caz particular de epicicloidă în care cele doua cercuri, cel fix şi cel mobil, au raze egale;
  • o concoidă a unui cerc în raport cu un punct situat pe cerc şi de rază egală cu diametrul cercului; deci este un caz perticular de melc al lui Pascal;
  • podară a cercului în raport cu unul din punctele sale;
  • inversa parabolei în raport cu focarul acesteia.

Fiind curbă cicloidală, evoluta cardioidei este o cardioidă omotetică.

Cardioida este locul geometric al simetricelor polului faţă de o tangentă variabilă la cerc:

Cardioida si tangenta 01 Cardioida si tangenta 02 Cardioida si tangenta 03 Cardioida si tangenta 04 Cardioida si tangenta 05

Note Edit

  1. Encyclopedia.Jrank.org
  2. MyPages.iit.edu

Resurse Edit