Fandom

Math Wiki

Calcul vectorial/Spațiul euclidian

< Calcul vectorial

1.030pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Această pagină se poate vedea mai bine în format MonoBook.


1. Spațiul euclidian


În acest capitol se vor considera operaţiile cu vectori în spaţiul bidimensional şi cel tridimensional şi ulterior se vor generaliza aceste noţiuni pentru spaţiul n-dimensional, la care se va adăuga studiul matricelor.


1.1 Vectori în spaţiul bi- şi tridimensional

Un punct P din plan poate fi reprezentat printr-o pereche de numere reale (a_1, a_2), unde a_1, a_2 sunt coordonatele carteziene ale lui P.

Dacă O este originea axelor de coordonate Ox, \; Oy, a_1, \; a_2 se mai numesc şi componentele vectorului \overrightarrow {OP}. Se mai notează şi a_1=x, \; a_2=y


În spaţiu, în locul expresiei "punctul P de coordonate a_1, a_2, a_3" se va spune mai simplu "punctul a_1, a_2, a_3." a_1 se mai numeşte şi coordonata x, a_2 coordonata y, iar a_3 coordonata z.


Se va nota prin \mathbb R^n mulţimea n-uplurilor (x_1, x_2, \cdots , x_n) cu x_i \in \mathbb R, \; \forall i=\overline {1, n}.


Coordonate carteziene în plan.PNG

Coordonate carteziene în plan

Coordonate carteziene în spaţiu.PNG

Coordonate carteziene în spaţiu



Adunarea vectorilor şi înmulţirea acestora cu scalari

Operaţia de adunare poate fi extinsă de pe \mathbb R pe \mathbb R^2 şi \mathbb R^3. Astfel, pe \mathbb R^3 se defineşte suma tripletelor (a_1, a_2, a_3) şi (b_1, b_2, b_3)

(a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3) = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3).

Elementul (0,0,0) este numit elementul zero (sau chiar zero) al lui \mathbb R^3. Dându-se punctul (a_1, a_2, a_3), elementul (-a_1, -a_2, -a_3) este numit inversul sau negativul şi se poate scrie:

(a_1, a_2, a_3) + (-b_1, -b_2, -b_3) \overset {def}{=} (a_1, a_2, a_3) -  (b_1, b_2, b_3).


Un vector adunat cu inversul acestuia ne dau zero:

(a_1, a_2, a_3) + (-a_1, -a_2, -a_3)=(0,0,0).

O altă operaţie pe \mathbb R^3 este înmulţirea unui vector cu un scalar, unde prin scalar se înţelege număr real. Astfel, dându-se un scalar \alpha \in \mathbb R şi un vector (a_1, a_2, a_3) \in \mathbb R^3, se defineşte produsul scalar prin:

\alpha \cdot (a_1, a_2, a_3) \overset {def}{=} (\alpha \cdot a_1, \alpha \cdot a_2, \alpha \cdot a_3).


Adunarea şi înmulţirea cu scalari a vectorilor din \mathbb R^3 satisfac proprietăţile:

(i)    \; (\alpha \beta) (a_1, a_2, a_3) = \alpha [\beta  (a_1, a_2, a_3)] (asociativitate)

(ii)    \; (\alpha + \beta) (a_1, a_2, a_3) = \alpha  (a_1, a_2, a_3) + \beta (a_1, a_2, a_3)] (distributivitate)

(iii)    \; \alpha  [(a_1, a_2, a_3)  + (b_1, b_2, b_3)]= \alpha  (a_1, a_2, a_3) + \alpha (b_1, b_2, b_3)] (distributivitate)

(iv)    \alpha \cdot (0,0,0) = (0,0,0) (element nul)

(v)    0 \cdot (a_1, a_2,a_3) = (0,0,0) (element nul)

(vi)    1 \cdot (a_1, a_2,a_3) = (a_1, a_2,a_3). (element unitate)


Exemplu. Ecuaţia chimică 2 NH_2 + H_2 = 2 NH_3 poate fi scrisă ca o relaţie algebrică între perechi ordonate:

2 \cdot (1,2) + (0,2)= 2 \cdot (1,3).


O altă operaţie cu vectori este produsul scalar despre care se va discuta la secţiunea 1.2.


Geometria operaţiilor vectoriale

Vectorii - săgeţi pornind din origine.PNG

Vectorii legaţi, văzuţi ca nişte săgeţi care pornesc din origine

Se consideră vectorul ca fiind un segment orientat cu originea în originea axelor de coordonate, extremitatea în punctul P (a_1, a_2, a_3) şi de lungime egală cu modulul vectorului. Se notează \overrightarrow {OP} = \vec a = \mathbf a= (a_1, a_2, a_3) .


Un vector este numit vector legat când originea sa este fixată în originea axelor de coordonate şi vector liber (pe scurt vector) când nu există restricţii privind poziţia originii acestuia.


Doi vectori \mathbf a = (a_1, a_2, a_3) şi \mathbf b=(b_1, b_2, b_3) sunt egali dacă şi numai dacă a_1=b_1, \; a_2=b_2 şi a_3=b_3.

Regula paralelogramului.PNG

Regula paralelogramului

În plan, adunarea a doi vectori mai poate fi realizată şi cu regula paralelogramului. Astfel, dacă \mathbf a, \; \mathbf b sunt laturile alăturate ale unui paralelogram, atunci vectorul sumă \mathbf a + \mathbf b este diagonala paraleogramului care porneşte din originea comună a celor doi vectori.

Acest mod de vizualizare geometric este util în multe probleme de fizică. De exemplu, se consideră zborul unui avion sau al unei păsări în aer cu viteza \mathbf v_1 în prezenţa unui vânt, de altă direcţie, cu viteza \mathbf v_2, vezi figura de mai jos:

Interpretare fizica adunare vectori 2.jpg

O interpretare fizică a adunării vectorilor

Demonstrarea regulii paralelogramului.PNG

Pentru demonstrarea formulei (a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1 + b_1, a_2+b_2).

Pentru a demonstra că definiţia geometrică a adunării este consistentă cu definiţia algebrică a acesteia, vom considera cazul plan şi fie \mathbf a= (a_1, a_2) vectorul cu extremitatea în punctul A(a_1, a_2) şi vectorul \mathbf b= (b_1, b_2) cu extremitatea în B(b_1, b_2).

Se trasează paralelogramul OACB Pentru a se demonstra că valorile coordonatelor punctului C sunt (a_1, b_1) + (a_2, b_2) se va ţine cont că triunghiurile OAD şi BCG sunt congruente. Rezultă că BGFE este dreptunghi şi că OF=a_1+b_1.


Vectorii se pot aduna şi după regula triunghiului: Se translatează vectorul \mathbf b cu originea în extremitatea vectorului \mathbf a. Vectorul rezultant uneşte originea lui \mathbf a cu extrmitatea lui \mathbf b translatat.

Adunarea vectorilor după regula triunghiului.jpg

Adunarea vectorilor după regula triunghiului. În al doilea caz, triunghiul devine segment când vectorii sunt coliniari.


În ceea ce priveşte reprezentarea geometrică a înmulţirii cu scalari, vectorul \alpha \cdot \mathbf a este un vector de |\alpha| ori mai lung decât \mathbf a şi având acelaşi sens dacă \alpha >0 şi sens contrar dacă \alpha <0.

Reprezentare geometrică înmultire cu scalari.PNG

Exemple de multipli scalari ai vectorului \mathbf a


Dacă \mathbf a şi \mathbf b sunt doi vectori legaţi, atunci vectorul diferenţă \mathbf b - \mathbf a uneşte vârful lui \mathbf a cu cel al lui \mathbf b.
Reprezentare geometrica diferenta a doi vectori.PNG

Reprezentarea geometrică a diferenţei a doi vectori


Versorii axelor de coordonate

Reprezentarea unui vector cu ajutorul versorilor axelor.PNG

Reprezentarea vectorului (2,3,2) cu ajutorul versorilor \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k

Un modalitate eficientă de a descrie un vector în spaţiu o constituie utilizarea versorilor axelor de coordonate, vectori de modul unitar şi orientaţi de-a lungul fiecărei axe:

  • \mathbf i = (1,0,0)
  • \mathbf j = (0,1,0)
  • \mathbf k = (0,0,1)

Astfel dacă \mathbf a este un vector legat cu componentele a_1, a_2, a_3 atunci se poate scrie:

\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k.

Adunarea vectorilor şi înmulţirea cu scalari poate fi scrisă acum:

(a_1 \mathbf i+a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k) + (b_1 \mathbf i+b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k)= (a_1+ b_1) \mathbf i + (a_2+ b_2) \mathbf j + (a_3+ b_3) \mathbf k
\alpha (a_1 \mathbf i+a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k)  = (\alpha a_1) \mathbf i + (\alpha a_2) \mathbf j + (\alpha a_3) \mathbf k.


Vectorul care uneşte două puncte

Pentru a aplica teoria vectorială în studiul problemelor de geometrie, este util să asociem unui vector o pereche de puncte în spaţiu astfel: Dându-se două puncte P şi P' trasăm un vector cu originea în P şi extremitatea în P' pe care îl notăm \overrightarrow {PP'}.
Vectorul din P în p prim.PNG
Dacă P=(x,y,z) şi P' (x', y', z') atunci vectorii \overrightarrow {OP} şi \overrightarrow {OP'} sunt \mathbf a = x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k şi \mathbf a = x' \mathbf i + y' \mathbf j + z' \mathbf k.

Aşadar, vectorul \overrightarrow {PP'} care uneşte punctul P cu P' are componentele (x'-x, y'-y, z'-z.)

Vectorul care uneste doua puncte.PNG


Teoreme din geometrie tratate vectorial

Multe din teoremele geometriei clasice pot fi demonstrate vectorial.

Exemplu. Demonstraţia vectorială a faptului că diagonalele unui paralelogram se intersectează în mijloacele acestora.

Fie paralelogramul OPRQ cu laturile alăturate reprezentate prin vectorii \mathbf a = \overrightarrow {OP} şi \mathbf b = \overrightarrow {OQ}. Fie M mijlocul diagonalei OR, N mijlocul diagonalei PQ.

Mijlocul unui paralelogra (vectorial).PNG

Se observă că \overrightarrow {OR} = \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {OQ}= \mathbf a + \mathbf b conform regulii paraleogramului, deci \overrightarrow {OM} = \frac 12 \overrightarrow {OR}= \frac 12 +(\mathbf a + \mathbf b).

Pe de altă parte,

\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {OQ} - \overrightarrow {OP} = \mathbf b - \mathbf a,

deci \overrightarrow {PN} = \frac 12 \overrightarrow {PQ} = \frac 12 (\mathbf b - \mathbf a),

şi de aici

\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {PN} =  \mathbf a + \frac 12 (\mathbf b - \mathbf a) = \frac 12 (\mathbf a + \mathbf b).

Deoarece vectorii  \overrightarrow {OM} şi \overrightarrow {ON} sunt egali rezultă că punctele M şi N coincid.


Ecuaţia dreptei

Utilizând interpretarea geometrică a adunării vectorilor şi înmulţirii acestora cu scalari, vom găsi ecuaţia dreptei l care trece prin vârful vectorului \mathbf a şi are direcţia dată de vectorul \mathbf v.

Dreapta definită de vectorii a şi v.PNG

Ecuaţia dreptei este:

\mathbf l(t) = \mathbf a + t \mathbf v,

unde l \in \mathbb R este un parametru.

Dacă \mathbf a= (x_1, y_1, z_1) şi \mathbf v = (a, b, c) atunci ecuaţiile parametrice ale dreptei sunt:

\begin{matrix}  x=x_1 + at \\ y= y_1 + bt \\ z=z_1+ ct. \end{matrix}


Exemple.

a) Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul (3,-1,2) şi are direcţia 2 \mathbf i - 3 \mathbf j + 4 \mathbf k.

b) Care este vectorul director al dreptei x=-3t+2, \; y=-2(t-1), \; z= 8t+2 \; ?

c) Se intersectează dreptele (x,y,z)= (t, -6t+1, 2t-8) şi (x,y,z) = (3t+1, 2t, 0) \; ?


Soluţie.

a) Avem \mathbf a= (3,-1,2) = (x_1, y_1, z_1) şi \mathbf v= 2 \mathbf i - 3 \mathbf j + 4 \mathbf k, deci a=2, \; b=-3, \; c=4.

Ecuaţiile sunt:

x= 3+2t, \; y=-1-3t, \; z=2+4t.


b) Conform formulelor indicate:

\mathbf v= -3 \mathbf i - 2 \mathbf j + 8 \mathbf k.


c) Dacă dreptele se intersectează, există t_1, t_2 \in \mathbb R astfel încât:

(t_1, -6 t_1, 2t_1-8) = (3t_2+1, 2t_2, 0)

şi obţinem sistemul de ecuaţii:

\begin{matrix}  t_1 & = & 3t_2+1 \\ -6t_1 & = & 2t_2 \\ 2t_1 -8 & = & 0. \end{matrix}

Din a treia ecuaţie t_1=4 şi atunci din prima rezultă t_2=1. Atunci ecuaţia a treia nu se verifică, deci dreptele nu se intersectează.


Observaţie. Ecuaţia vectorială a unei drepte poate avea mai multe forme. Astfel, dacă în locul vectorului \mathbf a este ales vectorul \mathbf a + \mathbf v (şi extremitatea acestuia aparţine dreptei), atunci ecuaţia parametrică devine:

\mathbf l_1(t)= (\mathbf a + \mathbf v) + t \mathbf v.

Dacă în locul vectorului \mathbf v este considerat vectorul \alpha \mathbf v, unde \alpha \in \mathbb R^*, ecuaţia devine:

\mathbf l_2(t)= \mathbf a  + t \alpha \mathbf v.


Să determinăm ecuaţia vectorială a dreptei care trece prin extremităţile a doi vectori diferiţi \mathbf a, \mathbf b. Deoarece vectorul \mathbf b - \mathbf a este paralel cu dreapta, ecuaţia dreptei este:

\mathbf l(t) = \mathbf a + t (\mathbf b - \mathbf a).

Ecuaţia dreptei care trece prin extremitatile a doi vectori.PNG

Aşadar, dreapta care trece prin punctele P= (x_1, y_1, z_1) şi Q=(x_2, y_2, z_3) are ecuaţiile parametrice:

\begin{matrix} x & = & x_1 + (x_2-x_1) t, \\ y & = & y_1 + (y_2-y_1) t, \\ z & = & z_1 + (z_2-z_1) t,  \end{matrix}

Eliminând parametrul t \in \mathbb R, ecuaţiile mai pot fi scrise:

\frac {x-x_1}{x_2-x_1} = \frac {y-y_1}{y_2-y_1} = \frac {z-z_1}{z_2-z_1}.


Exemple.

a) Să se determine ecuaţiile parametrice ale dreptei care trece prin punctele (2,1, -3) şi (6,-1, -5).

b) Să se determine vectorii de poziţie ai paralelogramului având ca laturi alăturate vectorii \mathbf a şi \mathbf b, ambii cu originea în O.


Soluţie.

a) 
\begin{cases} 
x = 2+4t \\ 
y = 1-2t \\ 
z = -3-2t. 
\end{cases}


b)

Se construiesc dreptele l_1 şi l_2 care trec prin P şi sunt paralele cu vectorii \mathbf a respectiv \mathbf b. Se va deduce că \overrightarrow {OP} = s \mathbf a + t \mathbf b, unde s,t \in [0, 1].

Punctele din interiorul unui paralelogram.PNG



Aşa cum două drepte diferite care trec prin originea axelor determină un plan, în mod similar doi vectori neparaleli \mathbf v, \; \mathbf w determină un plan. Acest plan este mulţimea punctelor având ca vector de poziţie s \mathbf v + t \mathbf w, unde s,t \in \mathbb R.

Planul determinat de doi vectori.PNG



1.2 Produs scalar, lungime, distanţă


Produsul scalar

Considerăm vectorii \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^3 şi dorim să determinăm unghiul dintre aceştia adică unghiul \theta format de direcţiile acestora în planul determinat de vectori.

Dacă \mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k şi \mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k atunci definim produsul scalar dintre cei doi vectori, notat \mathbf a \cdot \mathbf b, ca fiind:

\mathbf a \cdot \mathbf b= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.

Unghiul theta dintre doi vectori.PNG

Observaţii.

1) Rezultatul produsului scalar este un scalar, de unde şi denumirea.

2) Produsul scalar dintre \mathbf a şi \mathbf b mai poate fi notat şi (\mathbf a, \mathbf b).


Exemplu. Calculaţi (2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) \cdot (3 \mathbf k - 2 \mathbf j).

Soluţie. (2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) \cdot (3 \mathbf k - 2 \mathbf j)= (2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) \cdot (0 \mathbf i -2 \mathbf j +3 \mathbf k) = 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3= -5.


Proprietăţile produsului scalar rezultă chiar din definiţie. Astfel, dacă \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c \in \mathbb R^3 şi \alpha, \beta \in \mathbb R atunci:

(i)   \mathbf a \cdot \mathbf a \ge 0;

\mathbf a \cdot \mathbf a = 0; dacă şi numai dacă \mathbf a = \mathbf 0.

(ii)   (\alpha \mathbf a ) \cdot \mathbf b = \alpha (\mathbf a  \cdot \mathbf b)   şi    \mathbf a  \cdot ( \beta \mathbf b )= \beta (\mathbf a  \cdot \mathbf b)

(iii)   \mathbf a \cdot (\mathbf b \cdot \mathbf c) = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \cdot \mathbf c   şi   (\mathbf a + \mathbf b) \cdot \mathbf c= \mathbf a \cdot \mathbf c + \mathbf b \cdot \mathbf c.

(iv)   \mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf b \cdot \mathbf a.


Pentru a demonstra prima proprietate, se va observa că dacă \mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k, atunci \mathbf a \cdot \mathbf a= a_1^2 + a_2^2 + a_3^2. Deoarece a_1, a_2, a_3 \in \mathbb R avem a_1^2 \ge 0, \; a_2 \ge o, \; a_3 \ge 0 şi deci \mathbf a \cdot \mathbf a \ge 0. Mai departe, dacă a_1^2 + a_2^2 + a_3^2=0, atunci a_1=a_2=a_3=0 deci \mathbf = \mathbf 0 (vector nul).

Celelalte proprietăţi sunt uşor de demonstrat.

Din teorema lui Pitagora rezultă că lungimea vectorului \mathbf a= a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k este \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. Lungimea unui vector \mathbf a se notează \| \mathbf a \|, cantitate care mai este numită şi norma lui \mathbf a.

Deoarece \mathbf a \cdot \mathbf a= a_1^2 + a_2^2 + a_2^2 rezultă că:

\| \mathbf a \| = (\mathbf a \cdot \mathbf a)^{1/2}.

Pentru calculul lungimii unui vector.PNG


Vectorii cu norma 1 sunt numiţi vectori unitari. Astfel de vectori sunt \mathbf i, \mathbf j \mathbf k. Se remarcă faptul că, pentru orice vector nenul \mathbf a, vectorul \mathbf a / \| \mathbf a \| este vector unitar, numit vectorul \mathbf a, normalizat.


Exemple.

1) Să se normalizeze vectorul \mathbf v = 2 \mathbf i + 3 \mathbf j - \frac 12 \mathbf k.

2) Să se găsească trei vectori unitari \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c în plan astfel încât \mathbf b + \mathbf c = \mathbf a.

Soluţie.

1) Avem \| \mathbf v \| = \sqrt {2^2 + 3^2+ (1/2)^2} = (1/2) \sqrt {53}, deci normalizarea lui \mathbf v este:

\mathbf u = \frac {1}{\| \mathbf v \|} \mathbf v = \frac {4}{\sqrt {53}} \mathbf i + \frac {6}{\sqrt {53}} \mathbf j - \frac {1}{\sqrt {53}} \mathbf k.

2)

Deoarece cei trei vectori au lungimea 1, triunghiul cu laturile \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c este echilateral. Orientăm triunghiul ca în figură astfel încât \mathbf a = \mathbf i şi deci

\mathbf b= \frac 12 \mathbf i + \frac {\sqrt 3}{2} \mathbf j, \; \mathbf c= \frac 12 \mathbf i - \frac {\sqrt 3}{2} \mathbf j.

Triunghi format din vectori unitari.PNG


În plan, vectorul unitar care formează unghiul \theta cu axa Ox este:

\mathbf i_{\theta} = (\cos \theta) \mathbf i + (\sin \theta) \mathbf j.

Vectorul i(theta).PNG


Distanţa

Dacă \mathbf a, \mathbf b sunt vectori, atunci vectorul \mathbf b- \mathbf a este paralel şi are modulul egal cu lungimea segmentului determinat de extremităţile vectorilor \mathbf a, \mathbf b. Deci această distanţă este \| \mathbf b- \mathbf a \|.

Distanta dintre vectorii a, b.PNG


Rezumat

Dacă \mathbf a= a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k, \; \mathbf b= b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k , produsul scalar al acestora este:

\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3,

iar lungimea lui \mathbf a este:

\|  \mathbf a \| = \sqrt {\mathbf a \cdot \mathbf a} = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.

Pentru a normaliza vectorul \mathbf a se formează vectorul   \frac {\mathbf a}{\| \mathbf a \|}.

Distanţa dintre extremităţile vectorilor \mathbf a, \mathbf b   este   \| \mathbf a - \mathbf b \|, iar distanţa dintre P, Q   este   \overrightarrow {PQ}.


Unghiul dintre doi vectori

Teorema 1. Fie vectorii \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^3 şi fie \theta \in [0, \pi] unghiul dintre vectori. Atunci

\mathbf a \cdot \mathbf b= \| \mathbf a \| \cdot \| \mathbf b \| \cdot \cos \theta.

Rezultă că, dacă vectorii \mathbf a, \mathbf b sunt nenuli, unghiul dintre aceştia este:

\theta = \arccos \left ( \frac {\mathbf a \cdot \mathbf b}{\|  \mathbf a \| \| \mathbf b \|} \right )


Demonstraţie. Se aplică teorema cosinusurilor pentru triunghiul cu vârful în
origine şi celelalte vârfuri în extremităţile vectorilor:

\| \mathbf b - \mathbf a \| ^2 = \| \mathbf a \| ^2 + \| \mathbf b \| ^2 - 2  \| \mathbf a \|  \| \mathbf b \| \cos \theta.

Unghiul dintre doi vectori.PNG

Deoarece \| \mathbf b - \mathbf a \|^2 = (\mathbf b - \mathbf a) \cdot  ( \mathbf b - \mathbf a ) , \; \| \mathbf a \|^2 = \mathbf a \cdot \mathbf a, \; \| \mathbf b \|^2 = \mathbf b \cdot \mathbf b putem să scriem:

(\mathbf b - \mathbf a) \cdot (\mathbf b - \mathbf a) =  \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta.


Putem de asemenea să dezvoltăm (\mathbf b - \mathbf a) \cdot (\mathbf b - \mathbf a) după cum urmează:

 (\mathbf b - \mathbf a) \cdot (\mathbf b - \mathbf a) = \mathbf b \cdot (\mathbf a - \mathbf a) - \mathbf a \cdot (\mathbf a - \mathbf a) = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \mathbf a \cdot \mathbf b.

Deci

\mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta,

ceea ce înseamnă că:

\mathbf a \cdot \mathbf b = \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \cos \theta.


Exemplu. Să se determne unghiul dintre vectorii \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k şi \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k.


Soluţie. Conform teoremei 1 avem

(\mathbf i + \mathbf j + \mathbf k )  \cdot (\mathbf i + \mathbf j - \mathbf k) =

= \| \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k \|  \| \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k \| \cos \theta,

deci:

1+1-1 = \sqrt 3 \sqrt 3 \cos \theta,

de unde \cos \theta = \frac 13,

ceea ce înseamnă că:

\theta = \arccos \frac 13 \approx 1,23 \; rad \; (71^{\circ}).
Unghiul dintre vectori (exemplu).PNG

Reprezentarea geometrică a diferenţei a doi vectori


Inegalitatea Cauchy-Schwarz

O consecinţă importantă a teoremei 1 este:


Corolar: Inegalitatea Cauchy-Schwarz. Pentru orice doi vectori \mathbf a, \mathbf b avem:

|\mathbf a \cdot \mathbf b| \le \| \mathbf a \| \| \mathbf b \|

cu egalitate dacă şi numai dacă \mathbf a este multiplu scalar de \mathbf b sau unul dintre cei doi vectori este nul.


Demonstraţie. Dacă \mathbf a nu este multiplu scalar de \mathbf b, atunci \theta , unghiul dintre vectori nu este zero sau \pi deci | \cos \theta | <1 şi are loc inegalitatea. În caz contrar, \theta \in \{ 0, \pi  \} şi are loc egalitatea.


Consecinţă. Dându-se doi vectori nenuli, produsul scalar al acestora este zero dacă şi numai dacă vectorii sunt perpendiculari (ortogonali).

Vectorii bazei standard, \mathbf i, \mathbf j , \mathbf k, sunt ortogonali între ei şi de lungime unitară. Un astfel de sistem se numeşte ortonormat. Se adoptă convenţia ca vectorul nul să fie ortogonal cu orice vector.


Exemplu. Vectorii \mathbf i_{\theta}= \mathbf i \cos \theta + \mathbf j \sin \theta şi \mathbf j_{\theta}= - \mathbf i \sin \theta + \mathbf j \cos \theta sunt ortogonali deoarece:

\mathbf i_{\theta} \cdot \mathbf j_{\theta} = - \cos \theta \sin \theta + \sin \theta \cos \theta = 0.
Vectorii i(theta) şi j(theta0.PNG


Exemplu. Fie \mathbf a, \mathbf b doi vectori nenuli ortogonali. Dacă \mathbf c este un vector situat în planul determinat de \mathbf a, \mathbf b atunci există scalarii \alpha, \beta \in \mathbb R astfel încât \mathbf c = \alpha \mathbf a + \beta \mathbf b. Utilizaţi produsul scalar pentru determinarea lui \alpha, \beta .

Determinarea lui alpha şi beta pentru un unghi.PNG

Soluţie. Avem:

\mathbf a \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot (\alpha \mathbf a + \beta \mathbf b) = \alpha \mathbf a \cdot \mathbf a + \beta \mathbf a \cdot \mathbf b.

Deoarece \mathbf a, \mathbf b sunt ortogonali, \mathbf a \cdot \mathbf b =0 şi deci:

\alpha = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf c}{\mathbf a \cdot \mathbf a} = \frac {\mathbf a \cdot \mathbf c}{\| \mathbf a \|^2}.

În mod similar:

\beta = \frac {\mathbf b \cdot \mathbf c}{\|  \mathbf b \|^2}.



Proiecţie ortogonală


Proiectia ortogonala a unui vector.PNG


Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki