FANDOM


Calculul variaţional este un capitol al analizei matematice care are ca obiect studiul problemelor de determinare a extremelor unei funcționale.

Printre problemele care au generat apariţia calculului variaţional se numără problema izoperimetrelor şi problema brahistocronei (Jean Bernoulli, 1696).

Denumirea şi fundamentarea calculului variaţional i se datorează lui Euler (1744). Lagrange (1760) a introdus noţiunea de variaţie şi a dat o metodă de determinare a extremelor unei funcţionale.

Calculul variaţional are aplicaţii în mecanica sistemelor, hidrodinamică, teoria elasticității, optică geometrică.


Din punct de vedere istoric, prima problema de calcul variaţional este aşa numita problema a lui Dido. Legenda mitologică spune că Dido, sau Didona, prinţesă a uneia din cetăţile vechii Grecii şi sora a lui Pygmalion, era măritată cu pontiful Siharbas. Pygmalion îl asasineaza pe pontif şi Dido fuge cu fratele său şi cu averea soţului într-o flotilă improvizată. Debarcând pe ţărmul african, localnicii îi oferă ca loc de adăpost atâta pământ cât poate cuprinde cu o piele de taur. Dido taie pielea în fâşii înguste pe care le leagă cap la cap şi înconjoară cu ele o bucată de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, a carei regină devine Dido.

Încă din antichitate, latura matematică a legendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus firul alcatuit din fâşiile înguste pentru ca el sa înconjoare o porţiune de arie maximă?

Problema are mai multe variante. Una din acestea ar fi următoarea: să presupunem că axa x'Ox reprezintă ţărmul mării şi că punctele $ A(a, 0), B(b, 0) \! $ reprezintă capetele firului, graficul funcţiei $ y=f(x), \! $ definită şi derivabilă pe [a, b], este firul. Aria limitată de fir şi ţărm este:

$ S = \int_a^b y(x) dx, \! $

în timp de lungimea firului este:

$ L= \int_a^b \sqrt {1+y' (x)^2}dx. \! $

Atunci problema lui Dido revine la determinarea funcţiei $ y=y(x), \! $ definite şi derivabile pe [a, b], care satisface condiţiile:


$ y(a) =0, \; y(b) =0, \; L= \int_a^b \sqrt {1 +y'(x)^2}dx \! $

astfel încât integrala:

$ S= \int_a^b y(x) dx \! $

să aibă valoarea maximă. Din motive evidente, o asemenea problemă se numeşte problemă izoperimetrică. Încă din antichitate se cunoştea că formă căutată a firului este cea a unui arc de cerc, aşa cum vom arăta ulterior.

Putem raţiona şi altfel. Fie $ \overset {\frown}{AB} \! $ arcul graficului. În relaţia:

$ S= \int_{\overset {\frown}{AB}} y(x) dx \! $

considerăm pe x, y ca funcţii de absisa curbilinie s şi integrăm prin părți:

$ S = yx |_A^B - \int_{\overset {\frown}{AB}} xdy = - \int_0^L x(s) \sqrt {1-x'(s)^2} ds. \! $

Problema revine la a determina funcţia $ x=x(s) \! $ definită pe intervalul $ [0, L] \! $ cu proprietatea că $ x(0) =a, \; x(L) = b \! $ şi că integrala:

$ S = \int_0^L x(s) \sqrt {1-x'(s)^2} ds \! $

are valoare minimă.

O altă variantă a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem că firul ar reprezenta o curbă netedă închisă cu ecuațiile parametrice:

$ \begin{cases} x=x(t) & \\ & t \in [t_1, t_2], \\ y=y(t) & \end{cases} \! $

funcţiile $ x(t), y(t) \! $ fiind deci derivabile pe porţiuni pe $ [t_1, t_2]. \! $ Atunci lungimea firului este:

$ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt {x'(t)^2 + y'(t)^2} dt, \! $

iar aria limitată de fir este:

$ S= \frac 1 2 \int_{t_1}^{t_2} \left [ y(t) x'(t) - x(t) y'(t) \right ] dt. \! $

Problema revine deci la determinarea celor două funcţii $ x(t), y(t) \! $ definite şi derivabile pe porţiuni pe intervalul $ [t_1, t_2] \! $ astfel încât să aibă relaţia:

$ L= \int_{t_1}^{t_2} \sqrt {x'(t)^2 + y'(t)^2} dt \! $

şi ca integrala:

$ S= \frac 1 2 \int_{t_1}^{t_2} \left [ y(t) x'(t) - x(t) y'(t) \right ] dt. \! $

să fie maximă. Şi aceasta este tot o problemă izoperimetrică şi curba care dă soluţia este un cerc.

O altă problemă importantă care a dus la apariţia calculului variaţional este problema brahistocronei. Ea fost propusă în 1696 de către Jean Bernoulli şi a fost rezolvată în diferite moduri de Jacques Bernoulli, Leibniz, l'Hospital, Euler. Ea constă în determinarea unei curbe care uneşte punctele $ A(0, h) \! $ şi $ B(b, 0) \! $ pe care se mişcă un punct material de masă m plecând din A cu viteză iniţială nulă şi ajunge în B sub influenţa greutăţii după un timp T minim. Dacă presupunem că $ y=y(x) \! $ este ecuaţia curbei căutate şi $ v(x) \! $ este mărimea vitezei punctului în poziţia $ (x, y(x)), \! $ atunci conform legii conservării energiei avem:

$ gm(h-y) = \frac{mv(x)^2}{2}, \! $

de unde:

$ v(x) = \sqrt {2g(h-y)}. \! $


Calcul variational 3 Calcul variational 4 Calcul variational 5 Calcul variational 6 Calcul variational 7

Noţiuni de calcul variaţional Edit

Să se determine funcţia $ y=y(x) \! $ care minimizează sau maximisează integrala:

$ \int_{x_1}^{x_2} f(x, y, y') dx ; \; \; I: \mathcal C^{(\infty)} (\mathbb R) \rightarrow \mathbb R \! $

şi verifică următoarele condiţii la limită:

$ y(x_1) = y_1, \; \; y(x_2) = y_2 \! $
$ y(x) \to y(x)+ \varepsilon \cdot \theta (x); \; \; \varepsilon \neq \varepsilon = const. \! $
$ I[y(x) + \varepsilon \cdot \theta (x)] = \int_{x_1}^{x_2} \{ f(x, y + \varepsilon \cdot \theta, y' + \varepsilon \cdot \theta') - f(x, y, y') \} dx = \! $
$ \int_{x_1}^{x_2} \left \{ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y} + \varepsilon \cdot \frac{d \theta}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'} + O(\varepsilon^2) \right \} dx = \! $
$ = \int_{x_1}^{x_2} \left \{ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y} + \varepsilon \cdot \theta' \frac{\partial f}{\partial y'} - O (\varepsilon^2) \right \} dx \! $
$ \frac{d}{dx} \left [ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y'} \right ] = \varepsilon \cdot \theta' \frac{\partial f}{\partial y'} + \varepsilon \cdot \frac{d}{dx} \left [\frac{\partial f}{\partial y'} \right ] \! $
$ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y'} = \frac{d}{dx} \left [ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y;} \right ] - \varepsilon \cdot \theta \frac{d}{dx} \left [ \frac{\partial f}{\partial y'} \right ] \! $


Surse Edit