Fandom

Math Wiki

Calcul variațional

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Calculul variaţional este un capitol al analizei matematice care are ca obiect studiul problemelor de determinare a extremelor unei funcționale.

Printre problemele care au generat apariţia calculului variaţional se numără problema izoperimetrelor şi problema brahistocronei (Jean Bernoulli, 1696).

Denumirea şi fundamentarea calculului variaţional i se datorează lui Euler (1744). Lagrange (1760) a introdus noţiunea de variaţie şi a dat o metodă de determinare a extremelor unei funcţionale.

Calculul variaţional are aplicaţii în mecanica sistemelor, hidrodinamică, teoria elasticității, optică geometrică.


Din punct de vedere istoric, prima problema de calcul variaţional este aşa numita problema a lui Dido. Legenda mitologică spune că Dido, sau Didona, prinţesă a uneia din cetăţile vechii Grecii şi sora a lui Pygmalion, era măritată cu pontiful Siharbas. Pygmalion îl asasineaza pe pontif şi Dido fuge cu fratele său şi cu averea soţului într-o flotilă improvizată. Debarcând pe ţărmul african, localnicii îi oferă ca loc de adăpost atâta pământ cât poate cuprinde cu o piele de taur. Dido taie pielea în fâşii înguste pe care le leagă cap la cap şi înconjoară cu ele o bucată de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, a carei regină devine Dido.

Încă din antichitate, latura matematică a legendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus firul alcatuit din fâşiile înguste pentru ca el sa înconjoare o porţiune de arie maximă?

Problema are mai multe variante. Una din acestea ar fi următoarea: să presupunem că axa x'Ox reprezintă ţărmul mării şi că punctele A(a, 0), B(b, 0) \! reprezintă capetele firului, graficul funcţiei y=f(x), \! definită şi derivabilă pe [a, b], este firul. Aria limitată de fir şi ţărm este:

S = \int_a^b y(x) dx, \!

în timp de lungimea firului este:

L= \int_a^b \sqrt {1+y' (x)^2}dx. \!

Atunci problema lui Dido revine la determinarea funcţiei y=y(x), \! definite şi derivabile pe [a, b], care satisface condiţiile:


y(a) =0, \; y(b) =0, \; L= \int_a^b \sqrt {1 +y'(x)^2}dx \!

astfel încât integrala:

S= \int_a^b y(x) dx \!

să aibă valoarea maximă. Din motive evidente, o asemenea problemă se numeşte problemă izoperimetrică. Încă din antichitate se cunoştea că formă căutată a firului este cea a unui arc de cerc, aşa cum vom arăta ulterior.

Putem raţiona şi altfel. Fie \overset {\frown}{AB} \! arcul graficului. În relaţia:

S= \int_{\overset {\frown}{AB}} y(x) dx \!

considerăm pe x, y ca funcţii de absisa curbilinie s şi integrăm prin părți:

S = yx |_A^B - \int_{\overset {\frown}{AB}} xdy = - \int_0^L x(s) \sqrt {1-x'(s)^2} ds. \!

Problema revine la a determina funcţia x=x(s) \! definită pe intervalul [0, L] \! cu proprietatea că x(0) =a, \; x(L) = b \! şi că integrala:

S = \int_0^L x(s) \sqrt {1-x'(s)^2} ds \!

are valoare minimă.

O altă variantă a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem că firul ar reprezenta o curbă netedă închisă cu ecuațiile parametrice:

\begin{cases} x=x(t) & \\ & t \in [t_1, t_2], \\ y=y(t) &  \end{cases} \!

funcţiile x(t), y(t) \! fiind deci derivabile pe porţiuni pe [t_1, t_2]. \! Atunci lungimea firului este:

L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt {x'(t)^2 + y'(t)^2} dt, \!

iar aria limitată de fir este:

S= \frac 1 2 \int_{t_1}^{t_2} \left [ y(t) x'(t) - x(t) y'(t)  \right ] dt. \!

Problema revine deci la determinarea celor două funcţii x(t), y(t) \! definite şi derivabile pe porţiuni pe intervalul [t_1, t_2] \! astfel încât să aibă relaţia:

L= \int_{t_1}^{t_2} \sqrt {x'(t)^2 + y'(t)^2} dt \!

şi ca integrala:

S= \frac 1 2 \int_{t_1}^{t_2} \left [ y(t) x'(t) - x(t) y'(t)  \right ] dt. \!

să fie maximă. Şi aceasta este tot o problemă izoperimetrică şi curba care dă soluţia este un cerc.

O altă problemă importantă care a dus la apariţia calculului variaţional este problema brahistocronei. Ea fost propusă în 1696 de către Jean Bernoulli şi a fost rezolvată în diferite moduri de Jacques Bernoulli, Leibniz, l'Hospital, Euler. Ea constă în determinarea unei curbe care uneşte punctele A(0, h) \! şi B(b, 0) \! pe care se mişcă un punct material de masă m plecând din A cu viteză iniţială nulă şi ajunge în B sub influenţa greutăţii după un timp T minim. Dacă presupunem că y=y(x) \! este ecuaţia curbei căutate şi v(x) \! este mărimea vitezei punctului în poziţia (x, y(x)), \! atunci conform legii conservării energiei avem:

gm(h-y) = \frac{mv(x)^2}{2}, \!

de unde:

v(x) = \sqrt {2g(h-y)}. \!


Calcul variational 3.png Calcul variational 4.png Calcul variational 5.png Calcul variational 6.png Calcul variational 7.png

Noţiuni de calcul variaţional Edit

Să se determine funcţia y=y(x) \! care minimizează sau maximisează integrala:

\int_{x_1}^{x_2} f(x, y, y') dx ; \; \; I: \mathcal C^{(\infty)} (\mathbb R) \rightarrow \mathbb R \!

şi verifică următoarele condiţii la limită:

y(x_1) = y_1, \; \; y(x_2) = y_2 \!
y(x) \to y(x)+ \varepsilon \cdot \theta (x); \; \; \varepsilon \neq \varepsilon = const. \!
I[y(x) + \varepsilon \cdot \theta (x)] = \int_{x_1}^{x_2} \{ f(x, y + \varepsilon \cdot \theta, y' + \varepsilon \cdot \theta') - f(x, y, y') \} dx = \!
\int_{x_1}^{x_2} \left \{ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y} + \varepsilon \cdot \frac{d \theta}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'} + O(\varepsilon^2) \right \} dx = \!
= \int_{x_1}^{x_2}  \left \{ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y} + \varepsilon \cdot \theta' \frac{\partial f}{\partial y'} - O (\varepsilon^2)  \right \} dx \!
\frac{d}{dx} \left [ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y'} \right ] = \varepsilon \cdot \theta' \frac{\partial f}{\partial y'} + \varepsilon \cdot \frac{d}{dx} \left [\frac{\partial f}{\partial y'} \right ] \!
\varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y'} = \frac{d}{dx} \left [ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y;} \right ] - \varepsilon \cdot \theta \frac{d}{dx} \left [ \frac{\partial f}{\partial y'} \right ] \!


Surse Edit

Also on Fandom

Random Wiki