Calcul variațional

Calculul variaţional este un capitol al analizei matematice care are ca obiect studiul problemelor de determinare a extremelor unei funcționale.

Printre problemele care au generat apariţia calculului variaţional se numără problema izoperimetrelor şi problema brahistocronei (Jean Bernoulli, 1696).

Denumirea şi fundamentarea calculului variaţional i se datorează lui Euler (1744). Lagrange (1760) a introdus noţiunea de variaţie şi a dat o metodă de determinare a extremelor unei funcţionale.

Calculul variaţional are aplicaţii în mecanica sistemelor, hidrodinamică, teoria elasticității, optică geometrică.

---

Din punct de vedere istoric, prima problema de calcul variaţional este aşa numita problema a lui Dido. Legenda mitologică spune că Dido, sau Didona, prinţesă a uneia din cetăţile vechii Grecii şi sora a lui Pygmalion, era măritată cu pontiful Siharbas. Pygmalion îl asasineaza pe pontif şi Dido fuge cu fratele său şi cu averea soţului într-o flotilă improvizată. Debarcând pe ţărmul african, localnicii îi oferă ca loc de adăpost atâta pământ cât poate cuprinde cu o piele de taur. Dido taie pielea în fâşii înguste pe care le leagă cap la cap şi înconjoară cu ele o bucată de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, a carei regină devine Dido.

Încă din antichitate, latura matematică a legendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus firul alcatuit din fâşiile înguste pentru ca el sa înconjoare o porţiune de arie maximă?

Problema are mai multe variante. Una din acestea ar fi următoarea: să presupunem că axa x'Ox reprezintă ţărmul mării şi că punctele $A(a, 0), B(b, 0) \!$ reprezintă capetele firului, graficul funcţiei $y=f(x), \!$ definită şi derivabilă pe [a, b], este firul. Aria limitată de fir şi ţărm este:

$S = \int_a^b y(x) dx, \!$

în timp de lungimea firului este:

$L= \int_a^b \sqrt {1+y' (x)^2}dx. \!$

Atunci problema lui Dido revine la determinarea funcţiei $y=y(x), \!$ definite şi derivabile pe [a, b], care satisface condiţiile:

$y(a) =0, \; y(b) =0, \; L= \int_a^b \sqrt {1 +y'(x)^2}dx \!$

astfel încât integrala:

$S= \int_a^b y(x) dx \!$

să aibă valoarea maximă. Din motive evidente, o asemenea problemă se numeşte problemă izoperimetrică. Încă din antichitate se cunoştea că formă căutată a firului este cea a unui arc de cerc, aşa cum vom arăta ulterior.

Putem raţiona şi altfel. Fie $\overset {\frown}{AB} \!$ arcul graficului. În relaţia:

$S= \int_{\overset {\frown}{AB}} y(x) dx \!$

considerăm pe x, y ca funcţii de absisa curbilinie s şi integrăm prin părți:

$S = yx |_A^B - \int_{\overset {\frown}{AB}} xdy = - \int_0^L x(s) \sqrt {1-x'(s)^2} ds. \!$

Problema revine la a determina funcţia $x=x(s) \!$ definită pe intervalul $[0, L] \!$ cu proprietatea că $x(0) =a, \; x(L) = b \!$ şi că integrala:

$S = \int_0^L x(s) \sqrt {1-x'(s)^2} ds \!$

are valoare minimă.

O altă variantă a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem că firul ar reprezenta o curbă netedă închisă cu ecuațiile parametrice:

$\begin{cases} x=x(t) & \\ & t \in [t_1, t_2], \\ y=y(t) & \end{cases} \!$

funcţiile $x(t), y(t) \!$ fiind deci derivabile pe porţiuni pe $[t_1, t_2]. \!$ Atunci lungimea firului este:

$L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt {x'(t)^2 + y'(t)^2} dt, \!$

iar aria limitată de fir este:

$S= \frac 1 2 \int_{t_1}^{t_2} \left [ y(t) x'(t) - x(t) y'(t) \right ] dt. \!$

Problema revine deci la determinarea celor două funcţii $x(t), y(t) \!$ definite şi derivabile pe porţiuni pe intervalul $[t_1, t_2] \!$ astfel încât să aibă relaţia:

$L= \int_{t_1}^{t_2} \sqrt {x'(t)^2 + y'(t)^2} dt \!$

şi ca integrala:

$S= \frac 1 2 \int_{t_1}^{t_2} \left [ y(t) x'(t) - x(t) y'(t) \right ] dt. \!$

să fie maximă. Şi aceasta este tot o problemă izoperimetrică şi curba care dă soluţia este un cerc.

O altă problemă importantă care a dus la apariţia calculului variaţional este problema brahistocronei. Ea fost propusă în 1696 de către Jean Bernoulli şi a fost rezolvată în diferite moduri de Jacques Bernoulli, Leibniz, l'Hospital, Euler. Ea constă în determinarea unei curbe care uneşte punctele $A(0, h) \!$ şi $B(b, 0) \!$ pe care se mişcă un punct material de masă m plecând din A cu viteză iniţială nulă şi ajunge în B sub influenţa greutăţii după un timp T minim. Dacă presupunem că $y=y(x) \!$ este ecuaţia curbei căutate şi $v(x) \!$ este mărimea vitezei punctului în poziţia $(x, y(x)), \!$ atunci conform legii conservării energiei avem:

$gm(h-y) = \frac{mv(x)^2}{2}, \!$

de unde:

$v(x) = \sqrt {2g(h-y)}. \!$

Noţiuni de calcul variaţional

Să se determine funcţia $y=y(x) \!$ care minimizează sau maximisează integrala:

$\int_{x_1}^{x_2} f(x, y, y') dx ; \; \; I: \mathcal C^{(\infty)} (\mathbb R) \rightarrow \mathbb R \!$

şi verifică următoarele condiţii la limită:

$y(x_1) = y_1, \; \; y(x_2) = y_2 \!$

$y(x) \to y(x)+ \varepsilon \cdot \theta (x); \; \; \varepsilon \neq \varepsilon = const. \!$

$I[y(x) + \varepsilon \cdot \theta (x)] = \int_{x_1}^{x_2} \{ f(x, y + \varepsilon \cdot \theta, y' + \varepsilon \cdot \theta') - f(x, y, y') \} dx = \!$

$\int_{x_1}^{x_2} \left \{ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y} + \varepsilon \cdot \frac{d \theta}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'} + O(\varepsilon^2) \right \} dx = \!$

$= \int_{x_1}^{x_2} \left \{ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y} + \varepsilon \cdot \theta' \frac{\partial f}{\partial y'} - O (\varepsilon^2) \right \} dx \!$

$\frac{d}{dx} \left [ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y'} \right ] = \varepsilon \cdot \theta' \frac{\partial f}{\partial y'} + \varepsilon \cdot \frac{d}{dx} \left [\frac{\partial f}{\partial y'} \right ] \!$

$\varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y'} = \frac{d}{dx} \left [ \varepsilon \cdot \frac{\partial f}{\partial y;} \right ] - \varepsilon \cdot \theta \frac{d}{dx} \left [ \frac{\partial f}{\partial y'} \right ] \!$

Surse

• Matematici speciale şi explicaţii teoretice (copie la Wikia)
• Cursuri Universitatea Brâncuşi, Tg. Jiu (Probleme)
• Elemente de calcul variaţional
• Scribd.com