FANDOM


Câmpul magnetic creat de un curent rectiliniu Edit

Să considerăm un conductor filiform, rectiliniu şi foarte lung, parcurs de un curent electric I . Fie punctul M în care vrem să calculam câmpul de inducţie magnetică $ \vec B \! $ produs de o porţiune AB din conductor, de lungime finită.

Camp magnetic produs de un curent rectiliniu

Inducția magnetică se va calcula cu ajutorul relației:

$ \vec B = \frac{\mu I}{4 \pi} \int_{AB} \frac{d \vec l \times \vec r}{r^3} \! $   (1)

$ \vec B \! $ este perpendicular pe planul care trece prin conductor şi punctul M şi are sensul dat de produsul vectorial $ \mathit d \vec l r \times \vec r \! $ Rămâne să calculam mărimea sa. Să delimităm un element de conducţie dl delimitat intre punctele infinit apropiate $ P \! $ şi $ P' .\! $ Dacă notez cu R perpendiculara din M pe conductor, atunci distanţa $ PM = r, \! $ formează cu R un unghi $ \theta , \! $ pe care il vom lua drept parametru.

Deci: $ r= \frac{R}{\cos \theta} \! $   (2)

Elementului $ PP' \! $ de conductor îi corespunde unghiul $ d \theta .\! $ Să proiectăm punctul P pe directia $ eMP', \! $ în punctul Q. Atunci:

$ PQ = dl \cos \theta \! $   (3)
$ \Rightarrow \! $
$ dl= \frac{rd \theta}{\cos \theta} = \frac{Rd \cos \theta}{\cos^2 \theta} \! $   (4)

Deci inducţia magnetică $ d \vec B \! $ în punctul M va fi:

$ dB = \frac{\mu I dl \cos \theta}{4 \pi r^2} \! $   (5)

sau folosindu-ne de relaţia (4):

$ dB = \frac{\mu I \cos \theta d \theta}{4 \pi R} \! $   (6)

Prin integrarea relaţiei (6) obţinem:

$ B = \frac{\mu I}{4 \pi R} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \cos \theta d \theta = \frac{\mu I}{4 \pi R} (\sin \theta_2 - \sin \theta_1) \! $   (7)

Din această relaţie rezultă că dacă un conducător filiform de formă oarecare, se îndepărtează de punctul M, câmpul magnetic care îi corespunde în M, tinde către 0, deoarece R creşte foarte mult. În plus, dacă distanţa R este neglijabilă în comparaţie cu OA şi OB $ \Rightarrow \; \theta_1 = - \frac{\pi}{2}; \; \theta_2 = \frac{\pi}{2} \! $ , iar câmpul produs este acela a unui conductor rectiliniu şi infinit:

$ B=\frac{\mu I}{2 \pi R} \! $   (8)

Câmpul de inducţie magnetică produs de o spiră circulară într-un punct pe axul său Edit

Să considerăm o spiră circulară cu centrul în O străbătută de un curent constant I.

Spira circulara strabatuta de curent constant

Câmpul de inducţie magnetică $ d \vec B \! $ asociat elementului $ d \vec l. \! $ este perpendicular pe MP şi are expresia:

$ d \vec B = \frac{\mu I}{4 \pi} \cdot \frac{d \vec l \times \vec r}{r^3} \! $   (9)

Să exprimăm pe $ \vec r \! $ in funcţie de raza R a spirei şi de cota Z a punctului M:

$ \vec r = \vec Z - \vec R \! $   (10)
$ \Rightarrow \! $
$ d \vec B = \frac{\mu I}{4 \pi} \left ( \frac{d \vec l \times \vec Z}{r^3} - \frac{d \vec l \times \vec R}{r^3} \right ) \! $   (11)

Relaţia (11) pune în evidenţă cele două componente ale lui $ d \vec B \! $: una după direcţia $ d \vec l \times \vec R, \! $ adică după $ \vec Z, \! $ iar cealaltă după $ d \vec l \times \vec Z, \! $ adică după $ \vec R. \! $

Integrând expresia (11) obţinem inducţia în punctul M. Componenta după OZ, $ d \vec B_z \! $ are acelaşi sens independent de poziţia lui $ d \vec l \! $ pe arc, componenta după $ \vec R \! $ în punctul M este anulată de o componentă egală şi de sens contrar, dată de elementul de curent dintr-un punct diametral opus de pe spiră. Deoarece $ d \vec l \! $ perpendicular $ \vec R \! $:

$ -d \vec l \times \vec R = \vec R \times d \vec l = R \cdot dl \frac{\vec Z}{Z} \! $   (12)

şi prin urmare:

$ \vec B = \frac{\mu IR}{4 \pi r^3} \cdot \frac {\vec Z}{Z} \oint_e dl = \frac{2 \pi \mu IR^2}{4 \pi r^3} \cdot \frac{\vec Z}{Z} = \frac{\mu IR^2}{2 \pi r^3} \cdot \frac{\vec Z}{Z} \! $   (13)

În particular, în centrul spirei , $ \vec B \! $ are expresia:

$ \vec B_0 = \frac{\mu I}{2R} \cdot \frac{\vec Z}{Z} \! $   (14)

Vezi şi Edit

Resurse Edit