Fandom

Math Wiki

Câmpul magnetic creat de un curent continuu

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Câmpul magnetic creat de un curent rectiliniu Edit

Să considerăm un conductor filiform, rectiliniu şi foarte lung, parcurs de un curent electric I . Fie punctul M în care vrem să calculam câmpul de inducţie magnetică \vec B \! produs de o porţiune AB din conductor, de lungime finită.

Camp magnetic produs de un curent rectiliniu.png

Inducția magnetică se va calcula cu ajutorul relației:

\vec B = \frac{\mu I}{4 \pi} \int_{AB} \frac{d \vec l \times \vec r}{r^3} \!   (1)

\vec B \! este perpendicular pe planul care trece prin conductor şi punctul M şi are sensul dat de produsul vectorial \mathit d \vec l r \times \vec r \! Rămâne să calculam mărimea sa. Să delimităm un element de conducţie dl delimitat intre punctele infinit apropiate P \! şi P' .\! Dacă notez cu R perpendiculara din M pe conductor, atunci distanţa PM = r, \! formează cu R un unghi \theta , \! pe care il vom lua drept parametru.

Deci: r= \frac{R}{\cos \theta} \!   (2)

Elementului PP' \! de conductor îi corespunde unghiul d \theta .\! Să proiectăm punctul P pe directia eMP', \! în punctul Q. Atunci:

PQ = dl \cos \theta \!   (3)
\Rightarrow \!
dl= \frac{rd \theta}{\cos \theta} = \frac{Rd \cos \theta}{\cos^2 \theta} \!   (4)

Deci inducţia magnetică d \vec B \! în punctul M va fi:

dB = \frac{\mu I dl \cos \theta}{4 \pi r^2} \!   (5)

sau folosindu-ne de relaţia (4):

dB = \frac{\mu I \cos \theta d \theta}{4 \pi R} \!   (6)

Prin integrarea relaţiei (6) obţinem:

B = \frac{\mu I}{4 \pi R} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \cos \theta d \theta = \frac{\mu I}{4 \pi R} (\sin \theta_2 - \sin \theta_1) \!   (7)

Din această relaţie rezultă că dacă un conducător filiform de formă oarecare, se îndepărtează de punctul M, câmpul magnetic care îi corespunde în M, tinde către 0, deoarece R creşte foarte mult. În plus, dacă distanţa R este neglijabilă în comparaţie cu OA şi OB \Rightarrow \; \theta_1 = - \frac{\pi}{2}; \; \theta_2 = \frac{\pi}{2} \! , iar câmpul produs este acela a unui conductor rectiliniu şi infinit:

B=\frac{\mu I}{2 \pi R} \!   (8)

Câmpul de inducţie magnetică produs de o spiră circulară într-un punct pe axul său Edit

Să considerăm o spiră circulară cu centrul în O străbătută de un curent constant I.

Spira circulara strabatuta de curent constant.png

Câmpul de inducţie magnetică d \vec B \! asociat elementului d \vec l. \! este perpendicular pe MP şi are expresia:

d \vec B = \frac{\mu I}{4 \pi} \cdot \frac{d \vec l \times \vec r}{r^3} \!   (9)

Să exprimăm pe \vec r \! in funcţie de raza R a spirei şi de cota Z a punctului M:

\vec r = \vec Z - \vec R \!   (10)
\Rightarrow \!
d \vec B = \frac{\mu I}{4 \pi} \left ( \frac{d \vec l \times \vec Z}{r^3} - \frac{d \vec l \times \vec R}{r^3} \right ) \!   (11)

Relaţia (11) pune în evidenţă cele două componente ale lui d \vec B \!: una după direcţia d \vec l \times \vec R, \! adică după \vec Z, \! iar cealaltă după d \vec l \times \vec Z, \! adică după \vec R. \!

Integrând expresia (11) obţinem inducţia în punctul M. Componenta după OZ, d \vec B_z \! are acelaşi sens independent de poziţia lui d \vec l \! pe arc, componenta după \vec R \! în punctul M este anulată de o componentă egală şi de sens contrar, dată de elementul de curent dintr-un punct diametral opus de pe spiră. Deoarece d \vec l \! perpendicular \vec R \!:

-d \vec l \times \vec R = \vec R \times d \vec l = R \cdot dl \frac{\vec Z}{Z} \!   (12)

şi prin urmare:

\vec B = \frac{\mu IR}{4 \pi r^3} \cdot \frac {\vec Z}{Z} \oint_e dl = \frac{2 \pi \mu IR^2}{4 \pi r^3} \cdot \frac{\vec Z}{Z} = \frac{\mu IR^2}{2 \pi r^3} \cdot \frac{\vec Z}{Z} \!   (13)

În particular, în centrul spirei , \vec B \! are expresia:

\vec B_0 = \frac{\mu I}{2R} \cdot \frac{\vec Z}{Z} \!   (14)

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki