Câmp vectorial

Definiție

Un câmp vectorial este o funcție vectorială de două sau trei variabile, definită pe un domeniu $D \subseteq \mathbb R^2, \!$ respectiv $\Omega \subseteq \mathbb R^3: \!$

$\vec {\mathbb V} : D \rightarrow \mathbb R^2 \!$ sau $\mathbb {\vec V}: \Omega \rightarrow \mathbb R^3 \!$   (1)

Consideră, cazul unui câmp vectorial cu trei componente, deci care ia valori în spațiul $\mathbb R^3. \!$ În reperul ortonormat standard al acestui spațiu $(\vec i, \vec j, \vec k) \!$ câmpul vectorial din (1) se va scrie:

$\vec {\mathbb V} = V_1(x, y, z) \vec i + V_2 (x, y, z) \vec j + V_3 (x, y, z) \vec k. \!$   (2)

Fiecare dintre cele trei componente ale câmpului din (2) sunt funcții scalare de câte 3 variabile (sau numai două, în cazul $D \subseteq \mathbb R^2 \!$) și sunt deci câmpuri scalare. Asupra acestora se fac presupuneri de regularitate:

$V_1, V_2, V_3 \in \mathcal C_{\Omega}^p, \; p \ge 1 \!$   (3)

Divergență, rotor

Unui câmp vectorial de forma (2) i se pot asocia câteva caracteristici scalare, respectiv vectoriale, dar și anumite obiecte geometrice (curbe, suprafețe).

Definiția 1 Fiind dat un câmp vectorial de forma (1)-(2) cu condiția (3), divergența câmpului este definită prin:

$\mathit {div} \vec {\mathbb V} \underset {def}{=} \frac {\partial V_1}{\partial x} + \frac {\partial V_2}{\partial y} + \frac {\partial V_3}{\partial z}. \!$   (4)

Divergența este - evident - o funcție scalară. În cazul în care ea se anulează pe întreg domeniul $\Omega \!$ sau pe un subdomeniu $\Omega_0 \subseteq \Omega \!$ al acestuia, se spune că este un câmp vectorial solenoidal pe (sub)domeniul respectiv.

Un vector (de fapt, chiar un câmp vectorial) este asociat unu câmp vectorial $\vec V \!$ prin definiția ce urmează.

Definiția 2. Fie dat un câmp vectorial de forma (1)-(2) cu condiția (3) și un punct fixat $M_0 \in \Omega. \!$ Fie s o direcție fixată iar $(\pi) \!$ un plan care trece prin $M_0, \!$ ortogonal pe s: $(\pi) \perp s. \!$ Se consideră o curbă închisă netedă $(\gamma) \subset (\pi) \!$ cu $M_0 \in int (\gamma). \!$ Notăm cu G domeniul plan închis de $(\gamma), \!$ deci $(\gamma) = \partial G; \!$ în fine, fie $Aria (G)= \sigma_{\overline G}. \!$

Rotorul câmpului $\vec {\mathbb V} \!$ este un vector defint prin ecuația de mai jos, cu condiția ca limita din membrul drept să existe:

$pr_s \mathit {rot} \vec{\mathbb V} (M_0) = \lim_{(\gamma) \to M_0} \frac {1}{\sigma_{\overline G}} \int_{(\gamma)} \vec V \cdot d \vec r. \!$   (5)

Dacă cele trei componente ale câmpului $V_1, V_2, V_3 \in \mathcal C_{\Omega}^p, \; p \ge 2 \!$ atunci se poate demonstra că expresia analitică a lui $\mathit {rot} \vec {\mathbb V} \!$ într-un punct curent M este în reperul ortonormat standard, dată de:

$\mathit{rot} \vec{\mathbb V(M)} = (\frac {\partial V_3}{\partial y} - \frac {\partial V_2}{\partial z}) \vec i + (\frac {\partial V_1}{\partial z} - \frac {\partial V_3}{\partial x}) \vec j + (\frac {\partial V_2}{\partial x} - \frac {\partial V_1}{\partial y}) \vec k \!$$\!$$\!$$\!$   (6)

Expresia (6) se poate scrie sub forma mai ușor de reținut:

$\mathit {rot} \vec{\mathbb V} (M) = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_1 & V_2 & V_3 \end{vmatrix} \!$   (7)

Utilizând operatorul cu derivate parțiale $\nabla : \!$

$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \vec i + \frac{\partial}{\partial y} \vec j + \frac{\partial}{\partial z} \vec k. \!$

rotorul din (6), (7) se poate scrie sub forma:

$\mathit{rot} \vec{\mathbb V} (M) = \nabla \times \vec{\mathbb V}. \!$   (8)

Desigur, expresia (7) a rotorului scris ca un determinant simbolic ce este dezvoltat după prima linie, implică "produse" de forma:

$\frac {\partial}{\partial y} V_1= \frac {\partial V_1}{\partial y}, \!$ etc.

Definiția 3. Câmpul vectorial $\vec {\mathbb V} \!$ se spune că este irotațional pe $\Omega \!$ dacă $rot \vec {\mathbb V}=0 \!$ pe $\Omega. \!$ $\vec {\mathbb V} \!$ se numește câmp potențial dacă există un câmp scalar $f(M) \!$ astfel încât $\vec {\mathbb V} = \mathit {grad} f(M). \!$ f este numită funcția de forță (a câmpului vectorial $\vec {\mathbb V} \!$).

Propoziția 1. Un câmp vectorial admite un potențial (adică o funcție potențial)$\Leftrightarrow \; \mathit {rot} \mathbb {\vec V} = 0, \!$ adică dacă și numai dacă acest câmp este irotațional. Dat fiind un câmp vectorial (irotațional) $\vec {\mathbb V}, \!$ funcția sa de forță ntr-un punct curent M poate fi determinată cu ajutorul integralei curbilinii:

$f(M) = \int_{\overset {\frown}{AM}} \vec {\mathbb V} \cdot d \vec r. \!$   (9)

unde A este un punct fixat oarecare, iar M este punctul curent; $\overset {\frown}{AM} \!$ desemnează un arc de curbă care le unește, eventual char segmentul de dreaptă $\overline {AM}. \!$

Exemple

 1. Pentru câmpul vectorial:

$\mathbb {\vec V} = (xy-2z^2) \vec i + (4xz-y^2) \vec j + (yz- 2x^2) \vec k, \!$   (10)

să se determine $\mathit{div} \vec {\mathbb V}, \; \mathit{rot} \vec {\mathbb V} \!$ într-un punct curent precum și în $M_0 (1, 2, -1). \!$

$(10) \; \underset {(6)}{\Rightarrow} \; \mathit {div} \mathbb {\vec V} = y-2y+y=0 \; \Rightarrow \; \mathbb {\vec V} \; este \; solenoidal.\!$

$(10) \; \underset {(6)}{\Rightarrow} \; \mathit {rot} \mathbb {\vec V} (M) \underset {not} {=} \mathit{rot} \mathbb {\vec V} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac {\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ xy-2z^2 & 4xz-y^2 & yz-2x^2 \end{vmatrix} = \!$

$= (z-4x) \vec i + (-4z+4x) \vec j + (4z-x) \vec k. \!$   (11)

În punctul dat $M_0 (1, 2, -1), \!$ divergența este evident nulă iar rotorul din (11) devine:

$\mathit{rot} \mathbb {\vec V} (M_0) = -5 \vec i + 8 \vec j - 5 \vec k. \!$

  2. Se cer $\mathit{div} \vec {\mathbb V}, \mathit{rot} \vec {\mathbb V} \!$ într-un punct curent precum și în $M_0 (2, 0, -2) \!$ pentru câmpul:

$\mathbb {\vec V} = (x^2-yz) \vec i + (y^2-zx) \vec j + (z^2-xy) \vec k \!$   (12)

Să se determine și o funcție de forță, dacă $\vec {\mathbb V} \!$ este un câmp irotațional, plecând din punctul $A(1, 0, 0). \!$

Soluție

$\mathit{div} \vec {\mathbb V} = 2x+2y+2z=2 (x+y+z); \; \mathit{div} \vec {\mathbb V} (M_0) = 8. \!$

$\mathit{rot} \vec {\mathbb V} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = (-x+x) \vec i + (-y+y) \vec j + (-z+z) \vec k =0. \!$

Deci câmpul este irotațional și - conform propoziției 1 - este un câmp potențial. O funcție de forță se poate găsi calculând integrala:

$f(M) = \int_{\overset{\frown}{AM}} \mathbb {\vec V} \cdot d \vec r \underset{(12)}{=} \int_{\overset{\frown}{AM}} (x^2-yz) dx + (y^2-zx) dy + (z^2-xy) dz \!$   (13)

Drumul $\Gamma= \overset{\frown}{AM} \!$ pe care se va calcula integrala din (13) poate fi o linie poligonală formată din 3 segmente de dreaptă, fiecare paralel cu (sau chiar situat pe) o axă de coordonate:

$\Gamma= \Gamma_1 \cup \Gamma_2 \cup \Gamma_3 \; \; unde \;\; \begin{cases} \Gamma_1 = \overline{AM_1} \; cu \; A(1, 0, 0) \; \land \; M_1 (x, 0, 0), \\ \Gamma_2 = \overline{M_1M_2} \; cu \; M_1(x, 0, 0) \; \land \; M_2 (x, y, 0), \\ \Gamma_2 = \overline{M_1M} \; cu \; M_2(x, y, 0) \; \land \; M (x, y, z) \end{cases} \!$   (14)

Pe fiecare dintre cele trei segmente o singură variabilă variază, deci celelalte două variații sunt nule, iar segmentul respectiv se poate descrie analitic utilizând un parametru t.

$\begin{cases} \Gamma_1= \overline{AM_1}: \; dy=dz=0, \; x=t \in [1, x], \; y=z=0; \\ \Gamma_2= \overline{M_1M_2}: \; dx=dz=0, \; y=t \in [0, y], \; z=0; \\ \Gamma_2= \overline{M_1M}: \; dx=dy=0, \; z=t \in [0, z] \end{cases} \!$   (15)

Cu (13)-(15) avem:

$f(M) = \int_{\Gamma_1} \mathbb {\vec V} \cdot d \vec r + \int_{\Gamma_2} \mathbb {\vec V} \cdot d \vec r + \int_{\Gamma_3} \mathbb {\vec V} \cdot d \vec r =\!$

$= \int_1^x t^2 dt + \int_0^y t^2 dt + \int_0^y (t^2 -xy) dt= \!$

$= \frac 1 3 [t^3]_1^x + \frac 1 3 [t^3]_0^y + \left [\frac 1 3 t^3-xyt \right ]_{t=0}^{t=z} = \!$

$= \frac 1 3 (x^3 - 1 + y^3 + z^3) - xyz. \!$   (16)

Se poate constata cu ușurință că funcția (sau câmpul scalar) din (16) verifică egalitatea din definiția 3:

$\vec {\mathbb V} (M) = \mathit {grad} f(M). \!$

Linii de câmp și suprafețe de câmp

Definiții riguroase ale câmpurlor scalare și ale celor vectoriale, cu noțiunile aferente de gradient, divergență, rotor, ar necesita o introducere prealabilă privind așa-numitele coordonate generalizate - "coordonate curbilinii ortogonale."

De asemenea, și divergența se poate introduce printr-o construcție geometrică și o trecere la limită, oarecum analoagă cu cea pentru rotor. (Definiția, relația (5), iar din expresia sa în coordonate curbilinii se ajunge la expresia uzuală în coordonate carteziene (4).

Ecuațiile unui câmp vectorial

Ecuațiile unui câmp vectorial derivă din legile/teoremele specifice câmpului, fiind cele care conduc la determinarea univocă a vectorului în toate punctele domeniului considerat.

Un câmp vectorial este de natură potențială dacă în toate punctele lui rotorul vectorului ce îl caracterizează este nul (câmp nerotațional). Câmpul este de natură solenoidală (rotațională) dacă în toate punctele lui divergența vectorului ce îl caracterizează este nulă.

În cazul general, câmpul vectorial poate avea atât o componentă potențială, cât și o componentă solenoidală.

Teorema de unicitate a soluției ecuațiilor unui câmp vectorial

Ne referim aci la unicitatea ecuațiilor unui câmp electric vectorial în regim staționar, caracterizat în fiecare punct prin vectorul $\vec F. \!$ Mediul în care are loc câmpul este liniar și izotrop. Într-un caz particular, acest câmp poate fi câmpul electric, caracterizat în fiecare punct al domeniului prin vectorul $\vec E, \!$ respectiv prin vectorul $\vec D. \!$.

Enunțul teoremei este:

Vectorul $\vec F \!$ ce caracterizează un câmp staționar dintr-un mediu liniar și izotrop este univoc determinat în domeniul de volum $v_{\Sigma}, \!$ mărginit de suprafața închisă $\Sigma \!$ (suprafața de frontieră), dacă se cunosc, în fiecare punct al domeniului: - divergența volumetrică: $div \vec F = f(\vec r); \!$ - rotorul volumetric: $rot \vec F = g(\vec r), \!$ iar în punctele suprafeței de frontieră $\Sigma \!$ sunt prescrise: - fie componentele normale $F_n, \!$ - fie componentele tangențiale $F_t. \!$

S-a notat cu $\vec r \!$ vectorul de poziție al punctului, iar funcțiile $f(\vec r) \!$ și $g (\vec r) \!$ sunt considerate ca fiind continui.

Demonstrația teoremei o facem numai pentru cazul când în toate punctele frontierei $\Sigma \!$ sunt prescrise valorile componentelor normale $F_n. \!$

Prin absurd, fie $\vec F' \!$ și $\vec F'' \!$ două soluții distincte ale problemei, care satisfac fiecare, ecuațiile din domeniu și condiția de frontieră. Vectorul câmp diferență $\vec F_D = \vec F' - \vec F'' \!$ va satisface următoarele condiții:

$div \vec F_D=0, \; \; \; rot \vec F_D=0 \; \; \; F_{D_n}=0. \!$

Deoarece $rot \vec F_D=0, \!$ înseamnă că $\vec F_D \!$ derivă dintr-un potențial scalar $\varphi, \!$ $\vec F_D= - \nabla \varphi, \!$ care satisface ecuația Laplace $\nabla^2 \varphi = 0, \!$ iar în punctele frontierei $\Sigma \!$ $F_{D_n}=0, \!$ adică $\frac{\P j}{\P n} = 0. \!$ În aceste condiții, recurgând la prima formulă a lui Green pentru funcții scalare, se obține:

$\underset{v_S}{\grave O} (\tilde N_j)^2 dv = 0, \!$

adică $\nabla \varphi = 0 \!$ și $\vec F_D=0.\!$

Deci $\vec F' = \vec F'', \!$ ceea ce reprezintă o soluție unică a ecuațiilor câmpului de vectori $\vec F. \!$

Aplicații

Să se demonstreze că ecuația cu diferențiale totale:

$2zx \mathit{dx}+ 2zy \mathit{dy} + (x^2+y^2) \mathit{dz}=0. \!$

este complet integrabilă și să se determine soluția generală.

Soluție.

Considerăm câmpul vectorial:

$\vec {\mathbb V} = 2zx \vec i + 2zy \vec j - (x^2+y^2) \vec k \!$

Calculăm: $\mathit {rot} \vec {\mathbb V} = -4y \vec i + 4x \vec j. \!$

Liniile vectoriale ale câmpului $\mathit {rot} \vec {\mathbb V} \!$ sunt date de următorul sistem de ecuații diferențiale:

$\frac {dx}{-4y} = \frac {dy}{4x} = \frac {dz}{0} \!$

$dz=0; \; z=c_1 \!$

$4x \mathit {dx} = -4y \mathit {dy}, \; x \mathit {dx} = -y \mathit {dy} \!$

$\frac {x^2}{2} = - \frac {y^2}{2} + c_2 \!$

Rezultă:

$\begin{cases} x^2+y^2=c \\ z=c_1 \end{cases} \!$

Vezi și

• Spațiu vectorial
• Divergența unui câmp vectorial
• Câmp scalar

Resurse

• Calcul vectorial (copie la Wikia)
• Analiză globală și geometrie riemanniană (p. 65) (copie la Wikia)
• Vector Fields
• Maths.Adelaide.edu.au