Fie un domeniu tridimensional, un punct oarecare din D şi o funcţie reală definită pe D. Valorile funcţiei f, scrise în forma sau în forma unde sunt numere reale sau scalari. Astfel, funcţia f se mai numeşte şi funcţie scalară.
Definiţia 1. Funcţia scalară se numeşte câmp scalar tridimensional.
Dacă domeniul D este bidimensional, deci sau D este o porţiune de suprafaţă mărginită de o curbă în spaţiu, poziţia punctului va fi determinată de doi parametri (coordonatele carteziene x şi y ale punctului din plan în primul caz, sau coordonatele curbilinii u şi v ale punctului stuat pe o suprafaţă în cel de-al doilea caz).
După caz, vom scrie:
În ambele cazuri, funcţia scalară se numeşte câmp scalar bidimensional.
În cele ce urmează vom presupune că funcţia f este continuă pe D şi admite derivate parţiale de orice ordin continue în D.
Exemplul 1. Câmpul temperaturilor într-o regiune tridimensională sau bidimensională şi câmpul presiunilor într-un domeniu plan sau spaţial sunt exemple de câmpuri scalare.
Exemplul 2.
Funcţia reală de două variabile reale:
- (1)
este un câmp scalar bidimensional.
Exemplul 3.
Funcţia reală de trei variabile reale:
- (2)
este un câmp scalar definit în întreg spaţiul tridimensional.
Fie câmpul scalar şi fixat.
Definiţia 2. Se numeşte suprafaţă de nivel care trece prin a câmpului scalar tridimensional locul geometric al punctelor cu proprietatea:
- (3)
sau, având în vedere coordonatele carteziene ale punctelor şi
- (4)
Deoarece este un punct al suprafeţei de nivel ecuaţia acesteia este (3) sau (4).
Observaţia 1.
Prin orice punct trece o suprafaţă de nivel a câmpului scalar tridimensional iar orice două suprafeţe de nivel ale sale ori sunt identice, ori nu au niciun punct comun.
Exemplul 4.
Suprafeţele de nivel ale câmpului termic dintr-o regiune tridimensională sunt izotermele; cele ale câmpului presiunilor sunt izobarele; suprafeţele de nivel ale câmpului scalar (2) sunt sfere cu centrele în origine.
Definiţia 3. Prin curbă de nivel a câmpului scalar bidimensional ( sau unde este o suprafaţă), se înţelege locul geometric al punctelor (sau ) cu proprietatea:
- (5)
unde respectiv sunt puncte oarecare, dar fixate, din D.
Vezi şi[]
Surse[]
- Scribd.com (p. 103)