Fandom

Math Wiki

Câmp scalar

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Fie D \subset \mathbb R^3 \! un domeniu tridimensional, M (x, y, z) \! un punct oarecare din D şi f \in \mathcal F(D) \! o funcţie reală definită pe D. Valorile funcţiei f, scrise în forma f(M), \! sau în forma f(\mathbf x) = f(x, y, z), \! unde \mathbf x = (x, y, z) \in D, \! sunt numere reale sau scalari. Astfel, funcţia f se mai numeşte şi funcţie scalară.


Definiţia 1. Funcţia scalară f \in \mathcal F(D), \; D \subset \mathbb R^3, \! se numeşte câmp scalar tridimensional.


Dacă domeniul D este bidimensional, deci D \subset \mathbb R^2,  \! sau D este o porţiune de suprafaţă mărginită de o curbă în spaţiu, poziţia punctului M \in D \! va fi determinată de doi parametri (coordonatele carteziene x şi y ale punctului din plan în primul caz, sau coordonatele curbilinii u şi v ale punctului stuat pe o suprafaţă în cel de-al doilea caz). După caz, vom scrie: f(M) = f(x, y); \; f(M) = f(u, v). \! În ambele cazuri, funcţia scalară f \in \mathcal F(D) \! se numeşte câmp scalar bidimensional.

În cele ce urmează vom presupune că funcţia f este continuă pe D şi admite derivate parţiale de orice ordin continue în D.

Exemplul 1. Câmpul temperaturilor T = T(M) \! într-o regiune tridimensională sau bidimensională şi câmpul presiunilor p=p(M) \! într-un domeniu plan sau spaţial sunt exemple de câmpuri scalare.


Exemplul 2. Funcţia reală de două variabile reale:

f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R, \; f(M) = f(x, y) = \frac {x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}, \; a, b \in \mathbb R^*_+, \!   (1)

este un câmp scalar bidimensional.

Exemplul 3. Funcţia reală de trei variabile reale:

f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R, \; f(M)= f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \!   (2)

este un câmp scalar definit în întreg spaţiul tridimensional.


Fie câmpul scalar f(M), M \in D \subset \mathbb R^3 \! şi M_0(x_0, y_0, z_0) \in D, \! fixat.

Definiţia 2. Se numeşte suprafaţă de nivel care trece prin M_0 \! a câmpului scalar tridimensional f(M), \! locul geometric al punctelor M \in D \! cu proprietatea:

f(M) = f(M_0) \!   (3)

sau, având în vedere coordonatele carteziene ale punctelor M \! şi M_0, \!

f(x, y, z) = f(x_0, y_0, z_0). \!   (4)

Deoarece M_0 \! este un punct al suprafeţei de nivel S_0\! ecuaţia acesteia este (3) sau (4).


Observaţia 1. Prin orice punct M_0 \in D \! trece o suprafaţă de nivel a câmpului scalar tridimensional f \in \mathcal F(D), \! iar orice două suprafeţe de nivel ale sale ori sunt identice, ori nu au niciun punct comun.


Exemplul 4. Suprafeţele de nivel ale câmpului termic dintr-o regiune tridimensională sunt izotermele; cele ale câmpului presiunilor sunt izobarele; suprafeţele de nivel ale câmpului scalar (2) sunt sfere cu centrele în origine.

Definiţia 3. Prin curbă de nivel a câmpului scalar bidimensional f \in \mathcal F(D), \; D \subset \mathbb R^2 \! ( sau D \subset \Sigma, \! unde \Sigma \! este o suprafaţă), se înţelege locul geometric al punctelor M(x, y) \in D \! (sau M(u, v) \in D \subset \Sigma \!) cu proprietatea:

f(x, y) = f(x_0, y_0) \; \; (f(u, v) = f(u_0, v_0)), \!   (5)

unde M_0 (x_0, y_0, z_0), \! respectiv M_0 (u_0, v_0), \! sunt puncte oarecare, dar fixate, din D.

Camp scalar 2.png Camp scalar 3.png Camp scalar 4.png Camp scalar 5.png


Câmp scalar 1.png Câmp scalar 2.png Câmp scalar 3.png Câmp scalar 4.png Câmp scalar 5.png Câmp scalar 6.png Câmp scalar 7.png Câmp scalar 8.png Câmp scalar 9.png Câmp scalar 10.png

Vezi şi Edit

Surse Edit

Also on Fandom

Random Wiki