FANDOM


Fie $ D \subset \mathbb R^3 \! $ un domeniu tridimensional, $ M (x, y, z) \! $ un punct oarecare din D şi $ f \in \mathcal F(D) \! $ o funcţie reală definită pe D. Valorile funcţiei f, scrise în forma $ f(M), \! $ sau în forma $ f(\mathbf x) = f(x, y, z), \! $ unde $ \mathbf x = (x, y, z) \in D, \! $ sunt numere reale sau scalari. Astfel, funcţia f se mai numeşte şi funcţie scalară.


Definiţia 1. Funcţia scalară $ f \in \mathcal F(D), \; D \subset \mathbb R^3, \! $ se numeşte câmp scalar tridimensional.


Dacă domeniul D este bidimensional, deci $ D \subset \mathbb R^2, \! $ sau D este o porţiune de suprafaţă mărginită de o curbă în spaţiu, poziţia punctului $ M \in D \! $ va fi determinată de doi parametri (coordonatele carteziene x şi y ale punctului din plan în primul caz, sau coordonatele curbilinii u şi v ale punctului stuat pe o suprafaţă în cel de-al doilea caz). După caz, vom scrie: $ f(M) = f(x, y); \; f(M) = f(u, v). \! $ În ambele cazuri, funcţia scalară $ f \in \mathcal F(D) \! $ se numeşte câmp scalar bidimensional.

În cele ce urmează vom presupune că funcţia f este continuă pe D şi admite derivate parţiale de orice ordin continue în D.

Exemplul 1. Câmpul temperaturilor $ T = T(M) \! $ într-o regiune tridimensională sau bidimensională şi câmpul presiunilor $ p=p(M) \! $ într-un domeniu plan sau spaţial sunt exemple de câmpuri scalare.


Exemplul 2. Funcţia reală de două variabile reale:

$ f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R, \; f(M) = f(x, y) = \frac {x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}, \; a, b \in \mathbb R^*_+, \! $   (1)

este un câmp scalar bidimensional.

Exemplul 3. Funcţia reală de trei variabile reale:

$ f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R, \; f(M)= f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \! $   (2)

este un câmp scalar definit în întreg spaţiul tridimensional.


Fie câmpul scalar $ f(M), M \in D \subset \mathbb R^3 \! $ şi $ M_0(x_0, y_0, z_0) \in D, \! $ fixat.

Definiţia 2. Se numeşte suprafaţă de nivel care trece prin $ M_0 \! $ a câmpului scalar tridimensional $ f(M), \! $ locul geometric al punctelor $ M \in D \! $ cu proprietatea:

$ f(M) = f(M_0) \! $   (3)

sau, având în vedere coordonatele carteziene ale punctelor $ M \! $ şi $ M_0, \! $

$ f(x, y, z) = f(x_0, y_0, z_0). \! $   (4)

Deoarece $ M_0 \! $ este un punct al suprafeţei de nivel $ S_0\! $ ecuaţia acesteia este (3) sau (4).


Observaţia 1. Prin orice punct $ M_0 \in D \! $ trece o suprafaţă de nivel a câmpului scalar tridimensional $ f \in \mathcal F(D), \! $ iar orice două suprafeţe de nivel ale sale ori sunt identice, ori nu au niciun punct comun.


Exemplul 4. Suprafeţele de nivel ale câmpului termic dintr-o regiune tridimensională sunt izotermele; cele ale câmpului presiunilor sunt izobarele; suprafeţele de nivel ale câmpului scalar (2) sunt sfere cu centrele în origine.

Definiţia 3. Prin curbă de nivel a câmpului scalar bidimensional $ f \in \mathcal F(D), \; D \subset \mathbb R^2 \! $ ( sau $ D \subset \Sigma, \! $ unde $ \Sigma \! $ este o suprafaţă), se înţelege locul geometric al punctelor $ M(x, y) \in D \! $ (sau $ M(u, v) \in D \subset \Sigma \! $) cu proprietatea:

$ f(x, y) = f(x_0, y_0) \; \; (f(u, v) = f(u_0, v_0)), \! $   (5)

unde $ M_0 (x_0, y_0, z_0), \! $ respectiv $ M_0 (u_0, v_0), \! $ sunt puncte oarecare, dar fixate, din D.

Camp scalar 2 Camp scalar 3 Camp scalar 4 Camp scalar 5


Câmp scalar 1 Câmp scalar 2 Câmp scalar 3 Câmp scalar 4 Câmp scalar 5 Câmp scalar 6 Câmp scalar 7 Câmp scalar 8 Câmp scalar 9 Câmp scalar 10

Vezi şi Edit

Surse Edit