Fandom

Math Wiki

Bisectoare

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Bisectoarea unui unghi.gif

Bisectoarea [lat. bis "în două", secare "a tăia"] unui unghi este o semidreaptă cu originea în vârful unghiului, care îl împarte în două unghiuri adiacente congruente.

Ecuaţiile bisectoarei Edit

Bisection construction.gif
Construcţia cu rigla şi compasul a bisectoarei unui unghi.

Unghiul format de dreptele:

(D_1): \; A_1x+B_1y +C_1 = 0 \!
(D_2): \; A_2x+B_2y +C_2 = 0 \!

admite ca bisectoare dreptele:

\frac{A_1x+B_1y +C_1}{\sqrt{A_1^2 +B_1^2}} = \pm \frac{A_2x+B_2y +C_2}{\sqrt{A_2^2 +B_2^2}}.  \!


Unghiurile formate de dreptele din spaţiu:

\frac{x-a}{l_1} = \frac{y-b}{m_1} = \frac{z-c}{n_1} \!
\frac{x-a}{l_2} = \frac{y-b}{m_2} = \frac{z-c}{n_2} \!

sunt date de ecuaţiile:

x=a + \left ( \frac{l_1}{D_1} \pm \frac{l_2}{D_2} \right ) t, \!
x=b + \left ( \frac{m_1}{D_1} \pm \frac{m_2}{D_2} \right ) t, \!
x=c + \left ( \frac{n_1}{D_1} \pm \frac{n_2}{D_2} \right ) t, \!

unde

D_1 = \sqrt {l_1^2 + m_1^2 + n_1^2}, \!
D_2 = \sqrt {l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}. \!


Dându-se triunghiul de vârfuri A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), \! ecuaţiile bisectoarelor din A sunt:

\frac { \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \end{vmatrix} }{b} \pm \frac{\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix}}{c} =0, \!

unde semnele + şi - se referă la bisectoarea exterioară, respectiv interioară. Ecuaţii analoage se obţin şi pentru bisectoarele unghiurilor B şi C.

Bisectoarele unui triunghi Edit

Bisectoarele interioare ale unui triunghi sunt concurente într-un punct I (care este centrul cercului înscris triunghiului). Bisectoarea unui unghi interior, de exemplu \hat A, \! şi bisectoarele unghiurilor exterioare neadiacente, \hat B \! şi \hat C, \! sunt concurente în punctul I_a \! care este centrul cercului exînscris triunghiului, corespunzător vârfului A. La fel pentru celelalte două vârfuri.

Formule de calcul a lungimii Edit

Dacă a, b, c \! sunt lungimile laturilor triunghiului ABC, atunci lungimile bisectoarelor interioare sunt:

l_a = \frac{2}{b+c} \sqrt {bcp (p-a)}, \!
l_b = \frac{2}{c+a} \sqrt {cap (p-b)}, \!
l_c = \frac{2}{a+b} \sqrt {abp (p-c)}, \!

unde p =\frac{a+b+c}{2} \! este semiperimetrul triunghiului.

Pentru bisectoarele exterioare avem formulele:

l'_a = \frac{2}{b-c} \sqrt {bc(p-b)(p-c)}, \!
l'_b = \frac{2}{a-c} \sqrt {ac(p-a)(p-c)}, \!
l'_c = \frac{2}{a-b} \sqrt {ab(p-a)(p-b)}, \!

unde s-a presupus că a>b>c. \!

Inegalitatea bisectoareiEdit

Fie ABCD un tetraedru, AE bisectoarea triedrului cu vârful în A, E \in int (BCD) ; \! atunci:

AE<\frac {S_B}{S_B+S_C+S_D}AB + \frac {S_C}{S_B+S_C+S_D}A C+ \frac {S_D}{S_B+S_C+S_D}AD . \!


Demonstraţie. Vom demonstra mai întâi următoarele leme:


Lema 1.

Pt demonstr ineg med.png

Fie ABC un triunghi şi M \in (BC) \! astfel încât \frac{BM}{BC} = k \in (0, 1). \! Atunci:

AM < k AC +(1-k) AB. \!

Demonstraţie. Fie N \in (AB) \! astfel încât MN \| AC. \! Din teorema fundamentală a asemănării obţinem MN= k AC \! şi AN= (1-k) AB. \! Aplicând în triunghiul AMN inegalitatea triunghiului, avem:

AM< MN + AN \!

sau, conform celor de mai sus,

AM< k AC + (1-k) AB. \!


Lema 2. Fie ABCD un tetraedru, M \in int (BCD), \; N \in (CM \cap BD \! şi P \in (DM \cap BC. \! Dacă \frac{BN}{ND} = u \! şi \frac{BP}{PC} = v, \! atunci:

AM < \frac{1}{u+v+1} AB +\frac{v}{u+v+1} AC +\frac{u}{u+v+1} AD. \!

Demonstraţie. Fie Q \in (BM \cap CD. \! În baza teoremei lui van Aubel,

\frac{MB}{MQ} = \frac{BN}{ND} + \frac{BP}{PC} = u+v, \!

de unde:

\frac{BM}{MQ} = \frac{u+v}{u+v+1}. \!   (1)

Având în vedere lema 1, obţinem:

AM < \frac{1}{u+v +1} AB + \frac{u+v}{u+v+1} AQ. \!   (2)

Din teorema lui Ceva, aplicată în \triangle BCD, \! obţinem \frac {CQ}{QD} = \frac u v, \! adică \frac {CQ}{QD} = \frac{u}{u+v}. \! Aplicând iar lema 1 în \triangle ACD \! vom avea:

AQ< \frac{v}{u+v} AC + \frac{u}{u+v} AD. \!   (3)

Relaţiile (2) şi (3) conduc la:

AM< \frac{1}{u+v+1}AB + \frac{v}{u+v+1} AC + \frac{u}{u+v+1} AD, \!

QED.


Observaţie. Lema 2 se mai poate demonstra şi cu ajutorul relaţiei lui Stewart, care permite determinarea lui AM în funcţie de AB, AC, AD, u, v .\!


Acum să demonstrăm inegalitatea bisectoarei. Din teorema planului bisector, (AE \! este intersecţia planelor bisectoare ce compun triedrul cu vârful în A, avem:

u = \frac{BN}{ND} = \frac{S_D}{S_B}, \; \; v = \frac{BP}{PC} = \frac{S_C}{S_B}. \!

Aplicând lema 2, obţinem:

AE< \frac{S_B}{S_B+S_C+S_D} AB + \frac{S_C}{S_B+S_C+S_D} AC + \frac{S_D}{S_B+S_C+S_D} AD,  \!

adică inegalitatea din enunţ.

Bisectoarea unui triedru Edit

Bisectoarea unui triedru este semidreapta cu originea în vârful triedrului, intersecţie a planelor bisectoare ale celor trei diedre formate de feţele triedrului.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki