FANDOM


Bisectoarea unui unghi

Bisectoarea [lat. bis "în două", secare "a tăia"] unui unghi este o semidreaptă cu originea în vârful unghiului, care îl împarte în două unghiuri adiacente congruente.

Ecuatiile bisectoarei:

Bisection construction
Construcţia cu rigla şi compasul a bisectoarei unui unghi.

Unghiul format de dreptele:

$ (D_1): \; A_1x+B_1y +C_1 = 0 \! $
$ (D_2): \; A_2x+B_2y +C_2 = 0 \! $

admite ca bisectoare dreptele:

$ \frac{A_1x+B_1y +C_1}{\sqrt{A_1^2 +B_1^2}} = \pm \frac{A_2x+B_2y +C_2}{\sqrt{A_2^2 +B_2^2}}. \! $


Unghiurile formate de dreptele din spaţiu:

$ \frac{x-a}{l_1} = \frac{y-b}{m_1} = \frac{z-c}{n_1} \! $
$ \frac{x-a}{l_2} = \frac{y-b}{m_2} = \frac{z-c}{n_2} \! $

sunt date de ecuaţiile:

$ x=a + \left ( \frac{l_1}{D_1} \pm \frac{l_2}{D_2} \right ) t, \! $
$ x=b + \left ( \frac{m_1}{D_1} \pm \frac{m_2}{D_2} \right ) t, \! $
$ x=c + \left ( \frac{n_1}{D_1} \pm \frac{n_2}{D_2} \right ) t, \! $

unde

$ D_1 = \sqrt {l_1^2 + m_1^2 + n_1^2}, \! $
$ D_2 = \sqrt {l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}. \! $


Dându-se triunghiul de vârfuri $ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), \! $ ecuaţiile bisectoarelor din A sunt:

$ \frac { \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \end{vmatrix} }{b} \pm \frac{\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix}}{c} =0, \! $

unde semnele + şi - se referă la bisectoarea exterioară, respectiv interioară. Ecuaţii analoage se obţin şi pentru bisectoarele unghiurilor B şi C.

Bisectoarele unui triunghi Edit

Bisectoarele interioare ale unui triunghi sunt concurente într-un punct I (care este centrul cercului înscris triunghiului). Bisectoarea unui unghi interior, de exemplu $ \hat A, \! $ şi bisectoarele unghiurilor exterioare neadiacente, $ \hat B \! $ şi $ \hat C, \! $ sunt concurente în punctul $ I_a \! $ care este centrul cercului exînscris triunghiului, corespunzător vârfului A. La fel pentru celelalte două vârfuri.

Formule de calcul a lungimii Edit

Dacă $ a, b, c \! $ sunt lungimile laturilor triunghiului ABC, atunci lungimile bisectoarelor interioare sunt:

$ l_a = \frac{2}{b+c} \sqrt {bcp (p-a)}, \! $
$ l_b = \frac{2}{c+a} \sqrt {cap (p-b)}, \! $
$ l_c = \frac{2}{a+b} \sqrt {abp (p-c)}, \! $

unde $ p =\frac{a+b+c}{2} \! $ este semiperimetrul triunghiului.

Pentru bisectoarele exterioare avem formulele:

$ l'_a = \frac{2}{b-c} \sqrt {bc(p-b)(p-c)}, \! $
$ l'_b = \frac{2}{a-c} \sqrt {ac(p-a)(p-c)}, \! $
$ l'_c = \frac{2}{a-b} \sqrt {ab(p-a)(p-b)}, \! $

unde s-a presupus că $ a>b>c. \! $

Inegalitatea bisectoareiEdit

Fie ABCD un tetraedru, AE bisectoarea triedrului cu vârful în A, $ E \in int (BCD) ; \! $ atunci:

$ AE<\frac {S_B}{S_B+S_C+S_D}AB + \frac {S_C}{S_B+S_C+S_D}A C+ \frac {S_D}{S_B+S_C+S_D}AD . \! $


Demonstraţie. Vom demonstra mai întâi următoarele leme:


Lema 1.

Pt demonstr ineg med

Fie ABC un triunghi şi $ M \in (BC) \! $ astfel încât $ \frac{BM}{BC} = k \in (0, 1). \! $ Atunci:

$ AM < k AC +(1-k) AB. \! $

Demonstraţie. Fie $ N \in (AB) \! $ astfel încât $ MN \| AC. \! $ Din teorema fundamentală a asemănării obţinem $ MN= k AC \! $ şi $ AN= (1-k) AB. \! $ Aplicând în triunghiul AMN inegalitatea triunghiului, avem:

$ AM< MN + AN \! $

sau, conform celor de mai sus,

$ AM< k AC + (1-k) AB. \! $


Lema 2. Fie ABCD un tetraedru, $ M \in int (BCD), \; N \in (CM \cap BD \! $ şi $ P \in (DM \cap BC. \! $ Dacă $ \frac{BN}{ND} = u \! $ şi $ \frac{BP}{PC} = v, \! $ atunci:

$ AM < \frac{1}{u+v+1} AB +\frac{v}{u+v+1} AC +\frac{u}{u+v+1} AD. \! $

Demonstraţie. Fie $ Q \in (BM \cap CD. \! $ În baza teoremei lui van Aubel,

$ \frac{MB}{MQ} = \frac{BN}{ND} + \frac{BP}{PC} = u+v, \! $

de unde:

$ \frac{BM}{MQ} = \frac{u+v}{u+v+1}. \! $   (1)

Având în vedere lema 1, obţinem:

$ AM < \frac{1}{u+v +1} AB + \frac{u+v}{u+v+1} AQ. \! $   (2)

Din teorema lui Ceva, aplicată în $ \triangle BCD, \! $ obţinem $ \frac {CQ}{QD} = \frac u v, \! $ adică $ \frac {CQ}{QD} = \frac{u}{u+v}. \! $ Aplicând iar lema 1 în $ \triangle ACD \! $ vom avea:

$ AQ< \frac{v}{u+v} AC + \frac{u}{u+v} AD. \! $   (3)

Relaţiile (2) şi (3) conduc la:

$ AM< \frac{1}{u+v+1}AB + \frac{v}{u+v+1} AC + \frac{u}{u+v+1} AD, \! $

QED.


Observaţie. Lema 2 se mai poate demonstra şi cu ajutorul relaţiei lui Stewart, care permite determinarea lui AM în funcţie de $ AB, AC, AD, u, v .\! $


Acum să demonstrăm inegalitatea bisectoarei. Din teorema planului bisector, $ (AE \! $ este intersecţia planelor bisectoare ce compun triedrul cu vârful în A, avem:

$ u = \frac{BN}{ND} = \frac{S_D}{S_B}, \; \; v = \frac{BP}{PC} = \frac{S_C}{S_B}. \! $

Aplicând lema 2, obţinem:

$ AE< \frac{S_B}{S_B+S_C+S_D} AB + \frac{S_C}{S_B+S_C+S_D} AC + \frac{S_D}{S_B+S_C+S_D} AD, \! $

adică inegalitatea din enunţ.

Bisectoarea unui triedru Edit

Bisectoarea unui triedru este semidreapta cu originea în vârful triedrului, intersecţie a planelor bisectoare ale celor trei diedre formate de feţele triedrului.

Vezi şi Edit

Resurse Edit