FANDOM


Bimediana unui patrulater

Bimedianele unui patrulater

[lat. bis "de două ori", mediană]

1. (Pentru un patrulater), segmentul de dreaptă care uneşte mijloacele laturilor opuse.

2. (Pentru un tetraedru), segmentul de dreaptă care uneşte mijloacele muchiilor opuse.

Bimedianele unui tetraedru sunt concurente în centrul său de greutate, care le împarte în părţi egale.


Bimedianele unui tetraedru Edit

Inegalităţile bimedianei Edit

Fie ABCD un tetraedru, M mijlocul lui $ [AB] \! $ şi N al lui $ [AC]; \! $ atunci:

$ |BC-AD|< 2 MN < BC + AD, \; |BD-AC| < 2 MN < BD+AC. \! $


Demonstraţie.

Vom demonstra următoarea lemă:


Propoziţie. Dacă în tetraedrul ABCD, $ M \in (AB) \! $ astfel încât $ \frac {AM}{AB} = k \! $ şi $ N \in (CD) \! $ astfel încât $ \frac{CN}{ND} = 1-k; \! $ atunci au loc:

$ |k BC - (1-k)| AD < MN < k BC + (1-k) AD \! $
$ |k BD - (1-k)| AC < MN < k BD + (1-k) AC \! $

Demonstraţie Fie $ P \in (AC) \! $ astfel încât $ MP \| BC . \! $ Din teorema fundamentală a asemănării avem $ MP = k BC \! $ şi $ \frac{PC}{AC} = 1 -k. \! $ Cum $ \frac{CN}{ND} = 1-k, \! $ vom obţine că $ PN \| AD \! $ şi în consecinţă, în baza teoremei menţionate anterior, vom avea $ PN = (1-k) AD. \! $ Deoarece punctele $ M, P, N \! $ nu pot fi coliniare, din inegalităţile triunghiului obţinem:

$ |MP-PN| < MN < MP + PN \! $

sau, după înlocuiri, avem:

$ |k BC - (1-k) AD| < MN < k BC + (1-k) AD. \! $

Procedând la fel, obţinem şi al doilea grup de inegalităţi.


Pentru a demonstra inegalităţile bimedianei, nu avem decât să facem k = \frac 1 2.


Resurse Edit