Fandom

Math Wiki

Bimediană

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Bimediana unui patrulater.gif

Bimedianele unui patrulater

[lat. bis "de două ori", mediană]

1. (Pentru un patrulater), segmentul de dreaptă care uneşte mijloacele laturilor opuse.

2. (Pentru un tetraedru), segmentul de dreaptă care uneşte mijloacele muchiilor opuse.

Bimedianele unui tetraedru sunt concurente în centrul său de greutate, care le împarte în părţi egale.


Bimedianele unui tetraedru Edit

Inegalităţile bimedianei Edit

Fie ABCD un tetraedru, M mijlocul lui [AB] \! şi N al lui [AC]; \! atunci:

|BC-AD|< 2 MN < BC + AD, \; |BD-AC| < 2 MN < BD+AC. \!


Demonstraţie.

Vom demonstra următoarea lemă:


Propoziţie. Dacă în tetraedrul ABCD, M \in (AB) \! astfel încât \frac {AM}{AB} = k \! şi N \in (CD) \! astfel încât \frac{CN}{ND} = 1-k; \! atunci au loc:

|k BC - (1-k)| AD < MN < k BC + (1-k) AD \!
|k BD - (1-k)| AC < MN < k BD + (1-k) AC \!

Demonstraţie Fie P \in (AC) \! astfel încât MP \| BC . \! Din teorema fundamentală a asemănării avem MP = k BC \! şi \frac{PC}{AC} = 1 -k. \! Cum \frac{CN}{ND} = 1-k, \! vom obţine că PN \| AD \! şi în consecinţă, în baza teoremei menţionate anterior, vom avea PN = (1-k) AD. \! Deoarece punctele M, P, N \! nu pot fi coliniare, din inegalităţile triunghiului obţinem:

|MP-PN| < MN < MP + PN \!

sau, după înlocuiri, avem:

|k BC - (1-k) AD| < MN < k BC + (1-k) AD. \!

Procedând la fel, obţinem şi al doilea grup de inegalităţi.


Pentru a demonstra inegalităţile bimedianei, nu avem decât să facem k = \frac 1 2.


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki