FANDOM


Definiţie Numim triplet Peano un triplet $ (N, 0, s) \! $ unde N este o mulţime nevidă, $ 0 \in N \! $ iar $ s: N \rightarrow N \! $ este o funcţie astfel încât sunt verificate axiomele:

  $ P_1 \; : \; 0 \notin s(N) \! $

  $ P_2 \! $: s este o funcţie injectivă

  $ P_3 \! $: dacă $ P \subseteq N \! $ este o submulţime astfel încât $ 0 \in P \! $ şi ($ n \in P \rightarrow s(n) \in P \! $), atunci $ P =N. \! $


Lemă. Dacă $ (N, 0 , s) \! $ este un triplet Peano, atunci $ N= \{0 \} \cup s(N). \! $

Demonstraţie. Dacă notăm $ P=\{0 \} \cup s(N), \! $ atunci $ P \subseteq N \! $ şi cum P verifică $ P_3, \! $ deducem că $ P=N. \! $ QED.


Teoremă. Fie $ (N, 0, s) \! $ un triplet Peano iar $ (N', 0', s') \! $ un alt triplet format dintr-o mulţime nevidă $ N', \! $ un element $ 0' \in N' \! $ şi o funcţie $ s': N' \rightarrow N'. \! $ Atunci:

  (i) Există o unică funcţie $ f: N \rightarrow N' \! $ astfel încât $ f(0)= 0' \! $ iar diagrama

Diagrama lui Peano

este comutativă (adică $ f \circ s= s' \circ f \! $)

  (ii) Dacă $ (N', 0', s') \! $ este un triplet Peano, atunci f este bijecţie.


Demonstraţie (i) Pentru a proba existenţa lui f, vom considera toate relaţiile $ R \subseteq N \times N' \! $ a.î.:

  $ r_1: \! $ $ (0, 0') \in R \! $

  $ r_2: \! $ Dacă $ (n, n' \in R), \! $ atunci $ (s(n), s' (n')) \in R \! $ iar prin $ R_0 \! $ vom nota intersecţia acestor relaţii.

Vom demonstra că $ R_0 \! $ este o relaţie funcţională şi astfel f va fi funcţia ce va avea drept grafic pe $ R_0 \! $ (astfel din $ (0, 0') \in R_0 \! $ vom deduce că f(0) = 0' iar dacă $ n \in N \! $ şi $ f(n)=n' \in N', \; (n, n') \in R_0, \! $ deci $ (s(n), s'(n')) \in R_0, \! $ adică $ f(s(n))=s'(n') = s'(f(n)). \! $)

Pentru a demonstra că $ R_0 \! $ este o relaţie funcţională, vom demonstra că pentru orice $ n \in N ,\! $ există $ n' \in N' \! $ a.î. $ (n, n') \in R_0 \! $ iar dacă pentru $ n \in N ,\! $ şi $ n, n'' \in N' \! $ avem $ (n, n') \in R_0 \! $ şi $ (n, n'') \in R_0, \! $ atunci $ n'=n''. \! $


Pentru prima parte, fie:

$ P =\{ n \in N \; | \; \! $ există $ n' \in N' \! $ a.î. $ (n, n') \in R_0 \} \subseteq N. \! $

Cum $ (0, 0') \in R_0 \! $ deducem că $ 0 \in P. \! $ Fie acum $ n \in P \! $ şi $ n' \in n' \in N' $ a.î. $ (n, n') \in R_0. \! $ Din definiţia lui $ R_0 \! $ deducem că $ (s(n), s'(n')) \in R_0; \! $ obţinem că $ s(n) \in P \! $ şi cum $ (N, 0, s) \! $ este triplet Peano, deducem că $ P=N. \! $


Pentru a doua parte, fie:

$ Q = \{ n \in N \; : \; \! $ dacă $ n', n'' \in N' \! $ şi $ (n, n'), (n', n'') \in R_0 \; \Rightarrow \; n'=n'' \} \subseteq N \! $

şi să demonstrăm la început că $ 0 \in Q. \! $


În acest sens, vom demonstra că dacă $ (0, n') \in R_0 \! $ atunci $ n'=0'. \! $ Dacă prin absurd, $ n' \neq 0', \! $ atunci vom considera relaţia $ R_1=R_0 \setminus \{ (0, n') \} \subseteq N \times N'. \! $ Din $ n' \neq 0' \! $ deducem că $ (0, 0') \in R_1 \! $ iar dacă pentru $ m \in N' \! $ avem $ (n, m) \in R_1, \! $ atunci $ (n, m) \in R_0 \! $ şi $ (n, m) \neq (0, n') \! $.

Astfel $ (s(n,), s'(m)) \in R_0 \! $ şi cum $ (s(n), s'(m)) \neq (0, n') \! $ (căci $ s(n) \neq 0 \! $ conform cu $ P_1 \! $), deducem că $ (s(n), s'(m)) \in R_1. \! $ Cum $ R_1 \! $ verifică $ r_1 \! $ şi $ r_2 \! $, ar trebui ca $ R_0 \subseteq R_1 \! $ - absurd (căci $ R_1 \! $ este inclusă strict în $ R_0. \! $)

Pentru a proba că $ 0 \in Q, \! $ fie $ n', n'' \in N' \! $ a.î. $ (0, n'), (0, n'') \in R_0. \! $ Atunci, ţinând cont de cele stabilite mai sus, deducem că $ n'=n''=0' \! $, deci $ 0 \in Q. \! $


Fie acum $ n \in Q \! $ şi $ n' \in N' \! $ a.î. $ (n, n') \in R_0; \! $ vom demonstra că dacă $ (s(n), n'') \in R_0, \! $ atunci $ n''=s'(n'). \! $ Să presupunem prin absurd că $ n'' \neq s'(n') \! $ şi să considerăm relaţia $ R_2 = R_0 \setminus \{ (s(n), n'') \}. \! $ Vom demonstra că $ R_2 \! $ verifică $ r_1 \! $ şi $ r_2. \! $

Într-adevăr, $ (0, 0') \in R_2 \! $ (căci $ 0 \neq s(n) \! $) iar dacă $ (p, p') \in R_2, \! $ atunci $ (p, p') \in R_0, \! $ şi $ (p, p') \neq (s(n), n''). \! $


Deducem că $ (s(p), s'(p')) \in R_0 \! $ şi dacă presupunem $ (s(p), s'(p'))=(s(n), n''), \! $ atunci $ s(p)=s(n), \! $ deci $ p=n. \! $ De asemenea, $ s'(p')=n''. \! $ Atunci $ (n, n') \in R_0 \! $ şi $ (n, p') \in R_0 \! $ iar cum $ n \in Q \; \Rightarrow \; n' = p', \! $ deci $ n''=s'(p')=s'(n'), \! $ ceea ce contrazice faptul că $ n'' \neq s(n'). \! $ Prin urmare, $ (s(p), s'(p')) \neq (s(n), n''), \! $ ceea ce arată că $ (s(p), s'(p')) \in R_2, \! $ adică $ R_2 \! $ satisface $ r_1 \! $ şi $ r_2. \! $ Din nou ar trebui ca $ R_0 \subset R_2 \! $ - absurd!.

Deci $ (s(n), n'') \in R_0 \; \Rightarrow \; n''=s'(n') \! $ astfel că dacă $ r, s \in N' \! $ şi $ (s(n), r), (s(n), s) \in R_0, \! $ atunci $ r=s=s'(n), \! $ adică $ s(n) \in Q, \! $ deci $ Q=N. \! $

Pentru a proba unicitatea lui f, să presupunem că mai există $ f: N \rightarrow N' \! $ a.î. $ f'(0)=0' \! $ şi $ s'(f'(n))= f'(s(n)) \! $ pentru orice $ n \in N. \! $


Considerând $ P = \{ n \in N \; | \; f(n) = f'(n) \} \subseteq N, \! $ atunci $ 0 \in P \! $ iar dacă $ n \in P \! $ (adică $ f(n) = f'(n) \! $), atunci $ s'(f(n))= s' (f'(n)) \; \Rightarrow \; f(s, (n))=f'(s(n)) \; \Rightarrow \; s(n) \in P \! $ şi atunci $ P=N, \! $ adică $ f=f'. \! $

Teoria multimilor 31

Axiomele $ P_1 - P_3 \! $ sunt cunoscute sub numele de axiomele lui Peano (axioma $ P_3 \! $ poartă numele de axioma inducției matematice).

Pornind de la mulţimea numerelor naturale $ \mathbb N \! $, putem defini mulţimile numerelor întregi $ \mathbb Z \! $, raționale $ \mathbb Q \! $, reale $ \mathbb R \! $ şi complexe $ \mathbb C \! $.

Resurse Edit