Fandom

Math Wiki

Axiomele lui Peano

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţie Numim triplet Peano un triplet (N, 0, s) \! unde N este o mulţime nevidă, 0 \in N \! iar s: N \rightarrow N \! este o funcţie astfel încât sunt verificate axiomele:

  P_1 \; : \; 0 \notin s(N) \!

  P_2 \!: s este o funcţie injectivă

  P_3 \!: dacă P \subseteq N \! este o submulţime astfel încât 0 \in P \! şi (n \in P \rightarrow s(n) \in P \!), atunci P =N. \!


Lemă. Dacă (N, 0 , s) \! este un triplet Peano, atunci N= \{0 \} \cup s(N). \!

Demonstraţie. Dacă notăm P=\{0 \} \cup s(N),  \! atunci P \subseteq N \! şi cum P verifică P_3, \! deducem că P=N. \! QED.


Teoremă. Fie (N, 0, s) \! un triplet Peano iar (N', 0', s') \! un alt triplet format dintr-o mulţime nevidă N', \! un element 0' \in N' \! şi o funcţie s': N' \rightarrow N'. \! Atunci:

  (i) Există o unică funcţie f: N \rightarrow N' \! astfel încât f(0)= 0' \! iar diagrama

Diagrama lui Peano.png

este comutativă (adică f \circ s= s' \circ f \!)

  (ii) Dacă (N', 0', s') \! este un triplet Peano, atunci f este bijecţie.


Demonstraţie (i) Pentru a proba existenţa lui f, vom considera toate relaţiile R \subseteq N \times N' \! a.î.:

  r_1: \! (0, 0') \in R \!

  r_2: \! Dacă (n, n' \in R), \! atunci (s(n), s' (n')) \in R \! iar prin R_0 \! vom nota intersecţia acestor relaţii.

Vom demonstra că R_0 \! este o relaţie funcţională şi astfel f va fi funcţia ce va avea drept grafic pe R_0 \! (astfel din (0, 0') \in R_0 \! vom deduce că f(0) = 0' iar dacă n \in N \! şi f(n)=n' \in N', \; (n, n') \in R_0, \! deci (s(n), s'(n')) \in R_0, \! adică f(s(n))=s'(n') = s'(f(n)). \!)

Pentru a demonstra că R_0 \! este o relaţie funcţională, vom demonstra că pentru orice n \in N ,\! există n' \in N' \! a.î. (n, n') \in R_0 \! iar dacă pentru n \in N ,\! şi n, n'' \in N' \! avem (n, n') \in R_0 \! şi (n, n'') \in R_0, \! atunci n'=n''. \!


Pentru prima parte, fie:

P =\{ n \in N \; | \;  \! există  n' \in N'  \! a.î. (n, n') \in R_0 \} \subseteq N. \!

Cum (0, 0') \in R_0 \! deducem că 0 \in P. \! Fie acum n \in P \! şi n' \in n' \in N' a.î. (n, n') \in R_0. \! Din definiţia lui R_0 \! deducem că (s(n), s'(n')) \in R_0; \! obţinem că s(n) \in P \! şi cum (N, 0, s) \! este triplet Peano, deducem că P=N. \!


Pentru a doua parte, fie:

Q = \{ n \in N \; : \; \! dacă  n', n'' \in N' \! şi (n, n'), (n', n'') \in R_0 \; \Rightarrow \; n'=n'' \} \subseteq N \!

şi să demonstrăm la început că 0 \in Q. \!


În acest sens, vom demonstra că dacă (0, n') \in R_0 \! atunci n'=0'. \! Dacă prin absurd, n' \neq 0', \! atunci vom considera relaţia R_1=R_0 \setminus \{ (0, n') \} \subseteq N \times N'. \! Din n' \neq 0' \! deducem că (0, 0') \in R_1 \! iar dacă pentru m \in N' \! avem (n, m) \in R_1, \! atunci (n, m) \in R_0 \! şi (n, m) \neq (0, n') \!.

Astfel (s(n,), s'(m)) \in R_0 \! şi cum (s(n), s'(m)) \neq (0, n') \! (căci s(n) \neq 0 \! conform cu P_1 \!), deducem că (s(n), s'(m)) \in R_1. \! Cum R_1 \! verifică r_1 \! şi r_2 \!, ar trebui ca R_0 \subseteq R_1 \! - absurd (căci R_1 \! este inclusă strict în R_0. \!)

Pentru a proba că 0 \in Q, \! fie n', n'' \in N' \! a.î. (0, n'), (0, n'') \in R_0. \! Atunci, ţinând cont de cele stabilite mai sus, deducem că n'=n''=0' \!, deci 0 \in Q. \!


Fie acum n \in Q \! şi n' \in N' \! a.î. (n, n') \in R_0; \! vom demonstra că dacă (s(n), n'') \in R_0, \! atunci n''=s'(n'). \! Să presupunem prin absurd că n'' \neq s'(n') \! şi să considerăm relaţia R_2 = R_0 \setminus \{ (s(n), n'') \}. \! Vom demonstra că R_2 \! verifică r_1 \! şi r_2. \!

Într-adevăr, (0, 0') \in R_2 \! (căci 0 \neq s(n) \!) iar dacă (p, p') \in R_2, \! atunci (p, p') \in R_0, \! şi (p, p') \neq (s(n), n''). \!


Deducem că (s(p), s'(p')) \in R_0 \! şi dacă presupunem (s(p), s'(p'))=(s(n), n''), \! atunci s(p)=s(n), \! deci p=n. \! De asemenea, s'(p')=n''. \! Atunci (n, n') \in R_0 \! şi (n, p') \in R_0 \! iar cum n \in Q \; \Rightarrow \; n' = p', \! deci n''=s'(p')=s'(n'), \! ceea ce contrazice faptul că n'' \neq s(n'). \! Prin urmare, (s(p), s'(p')) \neq (s(n), n''), \! ceea ce arată că (s(p), s'(p')) \in R_2, \! adică R_2 \! satisface r_1 \! şi r_2. \! Din nou ar trebui ca R_0 \subset R_2 \! - absurd!.

Deci (s(n), n'') \in R_0 \; \Rightarrow \; n''=s'(n') \! astfel că dacă r, s \in N' \! şi (s(n), r), (s(n), s) \in R_0, \! atunci r=s=s'(n), \! adică s(n) \in Q, \! deci Q=N. \!

Pentru a proba unicitatea lui f, să presupunem că mai există f: N \rightarrow N' \! a.î. f'(0)=0' \! şi s'(f'(n))= f'(s(n)) \! pentru orice n \in N. \!


Considerând P = \{ n \in N \; | \; f(n) = f'(n) \} \subseteq N, \! atunci 0 \in P \! iar dacă n \in P \! (adică f(n) = f'(n) \!), atunci s'(f(n))= s' (f'(n)) \; \Rightarrow \; f(s, (n))=f'(s(n)) \; \Rightarrow \; s(n) \in P \! şi atunci P=N, \! adică f=f'. \!

Teoria multimilor 31.png

Axiomele P_1 - P_3 \! sunt cunoscute sub numele de axiomele lui Peano (axioma P_3 \! poartă numele de axioma inducției matematice).

Pornind de la mulţimea numerelor naturale \mathbb N \!, putem defini mulţimile numerelor întregi \mathbb Z \!, raționale \mathbb Q \!, reale \mathbb R \! şi complexe \mathbb C \!.

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki