Fandom

Math Wiki

Aristotel

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Aristotel.jpg

Aristotel, sculpură în marmură

Aristotel - (Stagira-Macedonia, 384 - Chalkis-Atena, 322 î.e.n.), filozof grec care a studiat la Academia lui Platon din Atena. În 335 î.e.n. a înfiinţat la Atena vestita şcoală numită Lykeion (Liceul). A scris circa 400 de lucrări (păstrate în întregime doar 47).

Are cercetări de logică cunoscute sub titlul de Organon, de filozofie, reunite în Metaphisika, în domeniul ştiinţelor naturii, în lucrarea Peri uranu, despre societate, stat, drept, morală, arte. A considerat Universul fără început şi sfârşit în timp, dar finit în spaţiu, în centrul căruia se află Pământul imobil - idee ce a dăinuit până la N. Copernic (1493-1543)..........



Nu a scris în mod special lucrări de matematică, dar în opera sa există referiri de valoare pentru această ştiinţă. A expus principiile fundamentale ale construirii unui sistem deductiv, analizând esenţa axiomelor, a postulatelor, definiţiilor, demonstraţiilor; a descoperit tipul de eroare logică cunoscută ulterior sub numele de petitio principii (cercul vicios); este întemeietorul logicii formale ca ştiinţă.

I se datorează compunerea primei lucrări de istorie a geometriei. A cercetat conceptul de continuitate, de infinit matematic; a dat definiţiile unităţii, punctului, liniei, suprafeţei şi corpului. A folosit literele alfabetului pentru a nota mărimile; cunoştea că suma unghiurilor exterioare ale unui poligon convex este egală cu patru unghiuri drepte; a introdus unele denumiri matematice precum: perimetru, teoremă şi silogism. A inventat dicţionarul şi peniţa de metal.

Biografie Edit

Aristotel s-a născut în 384 î.H. (anul 1 al Olimpiadei a 90-a), în Stagira – oraş în peninsula Chalcis, la graniţa cu Macedonia (din acest motiv, Aristotel este supranumit Stagiritul). Tatăl său, medicul Nicomah, provenea dintr-o familie venită în regiune din Mesenia, în secolul VIII sau VII î. Hr. Nicomah era un om cultivat, medic al regelui Filip al Macedoniei şi autor a două lucrări literare. Mama sa, Phaetis, era din Stagira, lucru demonstrat şi prin retragerea pentru scurtă vreme (în 340 î.H) a lui Aristotel - când a fost atacat de duşmanii săi politici - pe o proprietate din Stagira, moştenire maternă. Aristotel îşi incepe educaţia sub instruirea tatălui său, iar după ce rămâne orfan de ambii părinţi, sub directa îndrumare a rudei sale Proxenos.

La vârsta de 17 ani pleacă la Atena, unde timp de două decenii este membru al Academiei platonice, întâi ca elev, apoi ca profesor, până la moartea lui Platon (347 î.H). În această perioadă devine cunoscut ca autor a numeroase lucrări şi cursuri ţinute în cadrul Academiei. După moartea lui Platon, Aristotel trăieşte câtva timp în Assos (regatul Misia - Asia Mică), la curtea tiranului Hermias (cu a cărui nepoată, Pythias, se căsătoreşte) şi în Mytilane. Apoi, în 343 î.Hr., Aristotel este chemat la Pella, la curtea regelui Filip al Macedoniei, ca să se ocupe de educaţia fiului acestuia, Alexandru. În scrisoarea în care regele îi propunea să fie educatorul fiului sau, scria: "Am un fiu, dar mulţumesc mai puţin zeilor că mi l-au dat, cât mai ales că ei au făcut ca el să se nască în timpul tău. Sper ca grija ta şi vederile tale îl vor face demn de mine şi de viitoarea sa ţară". După ce Alexandru ajunge rege al Macedoniei (336 î.H) şi impune o pace între cetăţile greceşti, Aristotel se întoarce în Atena şi, împreună cu prietenul şi discipolul său Teophrast, întemeiază o şcoală filozofică proprie, numită "Lykeion" (Liceul) sau "peripatetica" (deoarece filozoful obişnuia să filozofeze plimbându-se cu elevii săi). Gallius relatează că în această şcoală Aristotel ţinea dimineaţa conferinţe acromatice, destinate ascultătorilor mai avansaţi, iar după prânz conferinţe exoterice (retoricepopulare) pentru publicul mare. Învăţătura exoterică se referea la studiile de retorică - la arta de a argumenta şi la ştiinţa politică. Învăţătura acromatică avea un obiect mai profund şi mai subtil - fizica şi problemele de logică.

Datorită familiei regale macedonene care l-a susţinut, Aristotel a reuşit să înfiinţeze o bibliotecă foarte bine dotată cu cărţi din toate domeniile ştiinţei epocii sale. Pe plan familial, Aristotel se căsătoreşte de două ori. Prima soţie este Pythia, de la care a avut o fată ce purta numele mamei şi pe care, când îşi întocmeşte testamentul, o destinează ca soţie lui Nicanor, fiul lui Proxenos, primul său tutore - educator. Pythia, soţia, a murit, probabil imediat după întoarcerea lui Aristotel la Atena, în 335 î.H. sau, eventual, în timpul vreunei călătorii în această cetate. Asta se deduce din testamentul lui în care stabileşte ca osemintele primei soţii să fie aşezate în acelaşi mormânt cu ale sale, ceea ce poate să însemne că ele se aflau undeva în preajma Atenei. Cu a doua soţie (nenominalizată în documente), Aristotel are un băiat Nicoimachos, căruia îi dedică una din operele sale. Aristotel conduce Lykeion timp de 12 ani (335-322 î.Hr.). Din pricina morţii lui Alexandru (323 î.Hr.), el este silit să plece din Atena, fiind acuzat - ca şi Socrate - de "asebie". Se spune că, cu această ocazie, el ar fi zis: "Nu voi mai da prilej atenienilor ca să păcătuiască a doua oară împotriva filozofiei". Lykeyon continuă să existe vreme de câteva secole după moartea lui Aristotel. Refugiat la Chalkis în insula Eubeea, Aristotel moare după un an (322 i.Hr.). Asupra sfârşitului său au existat felurite versiuni printre autorii vechi. Unii spuneau că s-ar fi otrăvit de teama continuării unui proces, în care, deşi Aristotel era întemeietorul logicii, nu se putea apăra deoarece nu era ascultat de către instanţă; alţii - că s-ar fi aruncat în canalul Eurit care separă Eubeea de restul Greciei, disperat că nu poate să explice mareele, fenomen foarte sensibil în acest punct al Mediteranei. Cel mai probabil însă, se pare că Aristotel a murit de pe urma unei maladii stomacale, de care suferise toată viaţa.

Opera Edit

Aristotel de Rafael.jpg

Aristotel portretizat de Rafael Sanzio în Şcoala din Atena

Opera lui Aristotel are o istorie foarte interesantă. Aristotel şi-a lăsat manuscrisele prin testament lui Teofrast care - la rândul lui - le-a lăsat unui oarecare Nelsus, un elev al lui Aristotel. Strabo istoriseşte că, pentru a le salva de furia de colecţionar a prinţului de Pergamon, opera aristotelică a trebuit să fie ascunsă într-o pivniţă umedă, unde a zăcut 13 ani; de acolo a fost adusă abia pe la 100 î.H. la Atena, iar de aici, prin Sulla, la Roma. Această relatare priveşte numai manuscrisele lui Aristotel, fiindcă în secolul al III-lea î.H. operele acestuia erau cunoscute. În 50 î.H. a apărut la Roma o ediţie nouă a tuturor lucrărilor aristotelice, sub îngrijirea lui Andronicos din Rhodos. Această ediţie constituie temeiul tradiţiei aristotelice. Ea a apărut întâi în limba latină, cu un comentariu al arabului Averroes, în Veneţia (1489), apoi în limba greacă (1495). După aceea studiul filozofiei aristotelice a fost neglijat până în secolul al XIX-lea, când începe să renască iarăşi. În acest secol, cea mai completă ediţie a operelor aristotelice o constituie ediţia Academiei de ştiinţe din Berlin, care a apărut în 5 volume (1831-1870). Apoi a apărut marea ediţie a aceleiaşi Academii, a Comentariilor greceşti (Commentaria in Aristotelem Graeca) în 23 de volume şi 3 volume supliment. O altă ediţie a textelor aristotelice, însoţite de un aparat critic, a fost publicată în "Bibliotheca Teubeneriana".

Ce trebuie reţinut este vastitatea operei aristotelice, realizată într-o perioadă relativ scurtă. După caracteristica literară, această operă se împarte în trei mari grupe.

1. Lucrările editate de Aristotel însuşi. Acestea au o formă dialogică şi îşi au originea în epoca în care Aristotel aparţinea Academiei platonice. Din nefericire ele s-au pierdut, nemai rămânând decât câteva fragmente răzleţe.

2. Colecţii făcute cu ajutorul elevilor săi pentru a fi folosite ca material didactic în "Lykeion". Acestea cuprindeau domenii diverse. Este instructivă în această privinţă lucrarea "Constituţia ateniană" găsită şi editată în 1892 de Kaibel şi Wilamowitz, care n-ar fi decât o parte dintr-o operă monumentală ce purta titlul „Politeia”.

3. Lucrări pur ştiinţifice. Acestea s-au păstrat în întregime şi au forma unor prelegeri, având adesea neglijenţe stilistice şi exprimări obscure, explicabile prin moartea neaşteptată a autorului, care l-a împiedicat de a le da o formă finală. Aceste scrieri se împart în:

a) Scrieri cu caracter logic ce au fost adunate în epoca bizantină sub titlul Organon (unealta spirituală). Aici sunt grupate:

- Categoriile (moduri ale existentului);

- Analitica priora (despre silogisme) şi Analitica posteriora (despre argumente, definiţii şi împărţiri);

- Peri arimineias (De interpretatione, despre principiu şi judecată);

- Topica (un fel de îndreptare pentru arta de a discuta, precum şi o colecţie a sofismelor, pe care Aristotel le combate, descoperindu-le erorile logice).

b) Scrieri din domeniul ştiinţelor naturii: Fizica (în 8 cărţi), Despre cer (4 cărţi), Despre naştere şi dispariţie (2 cărţi), Meteorologie (4 cărţi), Despre suflet (3 cărţi), Istoria mare a animalelor (10 cărţi) şi asa-zisa Parva naturalia.

c) Scrieri etice. Opera principală este Etica Nichomachiana (în 10 cărţi), numită aşa după Nicoimachos, fiul lui Aristotel. Eudemos, un elev al lui Aristotel, a preluat această etică care s-a afirmat sub numele de Etica Eudemica. În afară de acestea, mai este cunoscută o a treia etică, prelucrare a celorlaltor două anterioare, cunoscută sub numele de Etica mare (Magna moralia). Aristotel a mai scris şi o lucrare de etică practică sau aplicată, cu titlul Politica (în 8 cărţi), care a rămas neterminată. Tot aici se mai poate aminti un dialog "Eudemos", care s-a pierdut.

d) Scrieri din domeniul esteticii: Retorica (în 3 cărţi) şi Poetica.

e) Scrieri cu caracter filozofic general: Metafizica (în 14 cărţi).

Logica aristotelică Edit

Statuia lui Aristotel de la Universitatea din Freiburg.jpg

Statuia lui Aristotel de la Universitatea din Freiburg

Aristotel este considerat a fi părintele logicii ca ştiinţă, iar cele 6 scrieri de logică ale sale (Categoriile, Despre interpretare, Analitica Primă, Analitica Secundă, Topica, Respingerile Sofistice), reunite mai târziu în Organon, sunt considerate a fi primul tratat de logică.

Ca un detaliu interesant, ceea ce înţelegem astăzi prin Logică aristotelică, Aristotel ar fi numit Analitică. Pentru logică, el folosea termenul de Dialectică. Este posibil ca multe din lucrările atrubuite lui Aristotel să nu fi fost autentice, pentru că cea mai mare parte a lor au fost editate de elevi şi colaboratori ai săi. Aceste lucrări au fost aranjate în forma actuală (6 cărţi) cam prin secolul 1 î.H. Înafara lor mai există un volum al lui Aristotel referitor la logică, inclus în a patra carte din Metafizică.

Termeni Edit

În logica aristotelică, o propoziţie este formată dintr-un subiect şi un predicat. Un subiect sau un predicat este numit termen. Subiectul are ataşată o proprietate cantitativă, iar el împreună cu această proprietate se numeşte subiect gramatical. Un subiect poate fi universal sau particular. De exemplu, “Toate planetele” este un subiect gramatical universal, pe când “Unele planete” este un subiect gramatical particular. Proprietatea cantitativă a unui subiect este particulară când caracterizează o submulţime a mulţimii subiecţilor. Predicatele pot fi numai universale; orice construcţie gramaticală este numită predicat gramatical.

De exemplu:

Unii greci sunt oameni puternici.

Aici “greci” este subiect, “Unii greci” este un subiect gramatical particular, “oameni” este predicat, “sunt oameni puternici” este predicat gramatical.

Nota: Corect este "Greci"= subiect logic; "Oameni puternici"=predicat logic.

"Sunt"=copula sau termen de legatura, ce determina calitatea propozitiei logice.. In cazul acesta propozitia fiind afirmativa

"Unii"=indicator al cantitatii. Iin cazul acesta, propozitia logica fiind particulara.

Subiectele şi predicatele se pot interschimba (un subiect dintr-o propoziţie poate fi predicat în alta). Astfel

Unii oameni puternici sunt greci.

este de asemenea o propoziţie. Pentru a asigura această posibilitate de interschimbare, Aristotel exclude din logica sa termenii singulari.

Termeni singulari:

Exemple de termeni singulari pot fi “Socrate”, “Platon”, “Xenocrate”. Termenii singulari nu pot avea proprietăţi cantitative universale; nu se poate spune de exemplu “Toţi Platon” (Platon este considerat ca individ unic). Aristotel a enunţat dicotomia: “Unele lucruri sunt universale, altele sunt individuale” ca un element de bază al logicii, detaliind: “Un lucru este universal dacă poate fi folosit şi drept predicat pentru mai mulţi subiecţi, iar un lucru este individual dacă nu poate fi utilizat ca predicat”. În consecinţă, toţi termenii singulari – şi deci toate propoziţiile singulare – sunt ignorate de logica aristotelică (fapt considerat de logicieni ca un punct slab al acestei construcţii).

Propoziţii Edit

Aşa cum am spus mai sus, o propoziţie este formată din doi termeni: un subiect gramatical şi un predicat gramatical. De asemenea, o propoziţie are două proprietăţi: calitate şi cantitate. Calitatea unei propoziţii este afirmativă (predicatul este afirmat de către subiect) sau negativă (predicatul este negat de către subiect). Deci vor exista două tipuri de propoziţii: afirmative şi negative. Cantitatea unei propoziţii este universală sau particulară; deci există propoziţii universale şi propoziţii particulare. Din combinarea lor, în logica aristotelică există patru tipuri de propoziţii:

Cod Cantitate Calitate Exemplu
A universal afirmativ Toţi oamenii sunt muritori.
E universal negativ Nu toţi oamenii sunt muritori.
I particular afirmativ Unii oameni sunt slabi.
O particular negativ Unii oameni nu sunt cinstiţi.


Codurile A, E, I, O provin din vocalele cuvintelor latine affirmo şi nego. Pentru a le ţine minte se foloseau versurile (scrise în latină):

Asserit A, negat E, verum generaliter ambo;

Asserit I, negat O, sed particulariter ambo.

Alte tipuri de propoziţii nu există în logica aristotelică.


O tabelă care compară propoziţiile din logica modernă a predicatelor cu propoziţiile din logica aristotelică:


Cod Cantitate Calitate Propoziţie Notaţie actuală
A universal afirmativ Toţi sunt P \forall x \; \left ( S(x) \; \rightarrow \; P(x) \right ) \!
E universal negativ Niciun S nu este P. \forall x \; \left ( S(x) \; \rightarrow \; \neg P(x) \right ) \!
I particular afirmativ Unii S sunt P. \forall x \; \left ( S(x) \; \land P(x) \right ) \!
O particular negativ Unii S nu sunt P. \forall x \; \left ( S(x) \; \land \neg P(x) \right ) \!


Codurile diferă puţin de cele din tabela anterioară, iar S şi P marchează subiectul, respectivul predicatul propoziţiilor.

Pătratul opoziţiilor:

Relaţia dintre propoziţii îm logica aristotelică este analizată sugestiv folosind un pătrat al opoziţiilor. Două propoziţii cu acelaşi subiect şi acelaşi predicat sunt opuse dacă diferă prin cel puţin unul din cele două atribute ale lor. De exemplu: “Toţi oamenii sunt muritori.” şi “Unii oameni sunt muritori.” sunt propoziţii opuse. Există mai multe tipuri de propoziţii opuse. Astfel:

- Două propoziţii sunt alternative dacă ele diferă numai prin atributul calitate (de exemplu: “Toţi S sunt P” şi “Unii S sunt P”).

- Două propoziţii universale sunt contrare dacă diferă numai prin atributul calitate (de exemplu: “Toţi S sunt P” şi “Nici un S nu este P”).

- Două propoziţii particulare sunt sub-contrare dacă dacă diferă prin atributul calitate (de exemplu “Unii S sunt P” şi “Unii S nu sunt P”).

- Două propoziţii sunt contradictorii dacă diferă prin ambele atribute (de exemplu: “Nici un S nu este P” şi “Unii S sunt P”. Sau: “Toţi S sunt P” şi “Unii S nu sunt P”).

Aceste relaţii de opoziţie sunt reliefate prin următoarea diagramă (prezentată în Stanford Encyclopedia of Philosophy: Traditional Square of Opposition):

Diagrama logica a lui Aristotel.png


Construcţia nu a fost realizată de Aristotel; ea a fost prezentată prima oară în secolul II A.D. de Boetius, folosind direct definiţiile lui Aristotel.

Propoziţii singulare:

În logica aristotelică nu există propoziţii singulare. Propoziţii cum ar fi “Socrate este un om” nu pot fi prezente aici. Deci construcţia Toţi oamenii sunt muritori. Socrate este om. Deci Socrate este muritor. nu a fost niciodată elaborată (sau acceptată) de Aristotel, ea nefiind un silogism aristotelic.

Silogisme: Edit

Un silogism aristotelic este format din două ipoteze (premise) şi o concluzie care rezultă ca un caz particular din aceste ipoteze. Atât premisele cât şi concluzia sunt propoziţii de tipul A, E, I, O.

Teminologie (definită de Aristotel): :

- Ipotezele conţin un termen comun, numit termen mijlociu. Ceilalţi termeni ai ipotezelor sunt numiţi termeni extremi.

- Predicatul concluziei este un termen major, iar subiectul concluziei este un termen minor.

- Ipoteza care conţine termenul minor se numeşte premiză minoră; similar, ipoteza care conţine termenul major se numeşte premiza majoră.

Un exemplu:

Premiza majoră Toţi oamenii sunt muritori.

Premiza minoră Toţi grecii sunt oameni.

Concluzia Deci toţi grecii sunt muritori.


Aici termenul “muritori” este major, “grecii” – minor, iar “oameni” este termenul mijlociu.

Ordinea prezentării ipotezelor nu este importantă pentru Aristotel; Jan Lukasiewicz arată însă că unele deducţii filozofice care nu se pot explicate raţional a condus pe unii comentatori ai operei aristotelice la concluzia că premiza majoră trebuie să fie prima, premiza minoră a doua, iar concluzia – ultima.

Aristotel împarte silogismele în două categorii:

- Silogisme perfecte “care nu necesită nimic altceva atunci când sunt enunţate pentru a trage concluzia”.

- Silogisme imperfecte: “necesită una sau mai multe propoziţii care sunt consecinţe ale termenilor, dar nu au fost enunţate ca ipoteze”.


Silogismele perfecte nu sunt demonstrabile; în logica aristotelică ele sunt luate ca axiome şi folosite ulterior – cu operaţia de conversie - pentru a demonstra silogismele imperfecte.

Conversia:

Conversia este procesul de inter-schimbare a subiectului cu predicatul dintr-o propoziţie, păstrând calitatea.

Sunt două tipuri de conversie:

- conversia simplă, unde atributul cantitate este neschimbat, şi

- conversia morfologică (per accidens), unde atributul cantitate este schimbat de la universal la particular.

Nu toate conversiile sunt valide, iar unele conversii nici nu există. Prezentăm un tabel al conversiilor posibile din logica aristotelică:

Propoziţie simplă Conversie simplă Conversie morfologică
Toţi S sunt P Asp nevalidă Unii P sunt S Ips
Niciun S nu este P Esp Niciun P nu este S Eps Unii P sunt S Ops
Unii S sunt P Isp Unii P sunt S Ips Nu există
Unii S nu sunt P Osp Nevalidă Nu există


Observaţii:

1. Aristotel acceptă conversia morfologică Asp \rightarrow Ips \! dar nu şi o conversie simplă Asp \rightarrow Aps, \! spunând: “termenii unei afirmaţii trebuie să fie convertibili, dar nu universal ci numai particular”. Mai mult, el dă un exemplu de conversie corectă: Dacă tot ce este plăcut este bun, atunci ceva bun trebuie să fie plăcut.

2. Conversiile Esp \rightarrow Eps \! şi Esp \rightarrow Ops \! sunt corecte. Iată demonstraţia lui Aristotel pentru conversia simplă Esp \rightarrow Eps \!: Dacă nici un B nu este A, atunci nici un A nu poate fi B. Dacă un A (să spunem C) ar fi B, atunci nu ar mai fi adevărat că nici un B nu este A (pentru că C este B).

3. Arată conversia simplă Isp \rightarrow Ips \! şi dă numeroase exemple de conversii nevalide. Celebru este exemplul lui Aristotel că particularul negativ nu admite conversie simplă (Osp nu se transformă în Ops): “Dacă unele animale nu sunt oameni, asta nu înseamnă că unii oameni nu sunt animale”.

4. Pentru ca o conversie morfologică să fie validă, trebuie să existe o ipoteză suplimentară: aceea că în universal discursului există cel puţin un element. Multe atacuri şi controverse referitoare la logica aristotelică se bazează pe această problemă: ce se întâmplă dacă universal discursului este vid.


Cele patru figuri: Poziţia termenului mijlociu în premise conduce la aşa numitele figuri. Figurile definesc aşezările posibile ale termenului mijlociu într-un silogism. Dacă notăm cu M termenul mijlociu, cu P termenul major şi cu S termenul minor, există patru variante posibile, definite prin 4 figuri:

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Premisa majoră MPPMMPPM
Premisa minoră SMSMMSMS
Concluzia SPSPSPSDP


Figura 1 este deducţia (conform gândirii aristotelice), cea mai apropiată de raţionamentul natural. Deci ea va genera numai silogisme perfecte. De remarcat că Figura 4 nu a fost definită explicit în lucrările lui Aristotel, deşi acesta a acceptat raţionamente deductibile din această figură. Figura 4 este numită adesea figura Galeniană, deoarece se pare că cel care a folosit-o primul a fost Galenus (131 – 201 A.D.).

Reprezentări silogstice Edit

Reprezentarea unui silogism este o secvenţă de propoziţii şi concluzii. Figurile asociate unei reprezentări compun un silogism. Silogismele valide, cu figurile şi reprezentările asociate sunt strânse în tabelul:


Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
AAA AEE AAIAAI
EAEEAEIAIAEE
AIIEIOIAIAEE

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki