FANDOM


Aproximare liniară 1

Dreapta care aproximează graficul funcţiei f(x).

O aproximare liniară a unei funcții $ f(x) \! $ într-un punct $ x_0 \! $ poate fi calculată cu ajutorul primilor termeni din seria Taylor:

$ f(x_0 + \Delta x) = f(x_0) + f' (x_0) \Delta x + \cdots. \! $

O altă modalitate de a aproxima funcţia f(x) în punctul x=a o constituie utilizarea ecuaţiei tangentei la graficul funcţiei:

$ f_l(x) = f(a) + f '(a) (x - a) \! $

Pentru valori ale lui x apropiate de a, ne aşteptăm ca f(x) şi $ f_l(x) \! $ să aibă valori apropiate.

Exemple Edit

1) Să determinăm o aproximare liniară a funcţiei $ f(x) = \tan x \! $ în vecinătatea lui x=0.

Avem:

$ f'(x) = \sec x \! $

Deci aproximarea liniară este:

$ f_l(x) = f(0) + f'(0) (x-0)=0 \! $

Aşadar, $ \tan x \approx x \! $ în vecinătatea lui x=0 şi aceasta când x este dat în radiani (!).


2) Să determinăm o aproximare liniară pentru $ f(x) = \ln x \! $ pentru x în vecinătatea lui 1.


$ f'(x) = \frac 1 x \! $
$ f_l(x) = \ln 1 + f'(1) (x-1) = x-1 \! $

Aşadar, $ \ln x \approx x-1 \! $ în vecinătatea lui 1.

3) $ f(x) = e^x, \! $ pentru x=0.

La fel, se arată că $ e^x \approx x+1 \! $ în vecinătatea lui x=0.


Aproximarea liniară este una dintre cele mai simple metode prin care o funcție transcendendală poate fi exprimată algebric.

Vezi şi Edit

Resurse Edit