FANDOM


Aproximarea [lat. approximare "a apropia"] este operaţia de determinare a unui element dintr-un spațiu metric a cărui distanță faţă de un element dat să fie mai mică decât un număr pozitiv dat.

Exemple:

$ |f(x) - P(x)| < \varepsilon, \! $ pentru orice $ \varepsilon >0 \! $ şi $ x \in [a, b]. \! $


Aproximarea se desemnează prin simbolul $ \approx, \! $ propus de A. Kratzer (1923).

Metoda aproximațiilor succesive Edit

(Vezi articolul: Metoda aproximațiilor succesive)

Aceasta metodă realizează aproximarea soluţiei unei ecuaţii prin construirea unui șir convergent către această soluţie. Metoda se bazează pe aplicarea unor teoreme de punct fix.

Exemplu: Soluţia ecuaţiei $ f(x) = x, \! $ unde $ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \! $ este o funcție cu proprietatea:

$ |f(x) - f(y)| \le \alpha |x-y| \; \; (0< \alpha <1), \! $ pentru orice $ x, y \in \mathbb R, \! $

este dată de limita şirului de aproximaţii succesive:

$ x_1=f(x_0), \; x_{n+1} = f(x_n), \; n= 1, 2, \cdots , \! $

unde $ x_0 \! $ este arbitrar.

Metoda este folosită (după exemplele iniţiate de Joseph Liouville, Émile Picard şi Traian Lalescu) la demonstrarea teoremelor de existenţă a soluţiei pentru ecuaţiile diferenţiale cu derivate parţiale sau la ecuaţiile integrale.

Vezi şi Edit